Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung

In dieser Aufgabe musst du das Extremum einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berechnen.

Dass die Bahn in den Punkten A und B "ohne Knick" verläuft, bedeutet, dass gelten muss:

$f'(x_A)=f'(x_B)=0$

$f''(-\sqrt{5})\gt0$ und $f''(+\sqrt{5})\lt0$

Damit ist $A$ lokales Minimum und $B$ lokales Maximum der Funktion f.

Es gilt:

$f(-\sqrt{5})=-0{,}1\cdot(-\sqrt{5})\cdot(5-15)+\sqrt{5}=-\sqrt{5}+\sqrt{5}=0\;\;LE$

$f(+\sqrt{5})=-0{,}1(+\sqrt{5})\cdot(5-15)+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\approx4{,}47\;\;\;LE$

$B$ ist also der höchste Punkt des Aufstiegsteils der Bahn.

Für das Verhältnis $Rechnung:Wirklichkeit$ gilt $1\,LE:10\,m$.

Die neue Achterbahn übertrifft demnach die alte Bahn mit einer Höhe von etwa 44,70 m deutlich.

Zur Lösung musst du wissen, wie man Geradensteigungen berechnet.

Die mittlere Steigung im Aufstiegsteil der Bahn ist die Steigung $m_{[AB]}$ der Strecke $[AB]$.

Es gilt:

$\displaystyle m_{[AB]}=\frac{f(x_b)-f(x_A)}{x_B-x_A}=\frac{2\sqrt{5}-0}{2\sqrt{5}}=1$

Die Steigung 1 ist der Tangens des Steigungswinkels $\alpha$.

$tan\;\alpha=1$

$\alpha=tan^{-1}(1)=45°$

Der mittlere Steigungswinkel der neuen Achterbahn beträgt 45°.

Die mittlere Steigung des Aufstiegsteils der neuen Bahn entspricht mit dem Wert 1 bzw. dem Steigungswinkel 45° den Erwartungen des Juniorchefs.

So berechnet man die Punkte der Aufstiegsfunktion $f$ in denen die lokale Steigung gleich der berechneten mittleren Steigung ist:

$\displaystyle f(-\sqrt{\frac{5}{3}})=-0{,}1\cdot(-\sqrt{\frac{5}{3}})(\frac{5}{3}-15)+\sqrt{5}\approx0{,}51$

$\displaystyle f(+\sqrt{\frac{5}{3}})=-0{,}1\cdot(+\sqrt{\frac{5}{3}})(\frac{5}{3}-15)+\sqrt{5}\approx3{,}96$

Die beiden gesuchten Punkte sind:

$P_1(-1{,}30\,; 0{,}51)$ und $P_2(+1.30\,; 3{,}96)$

In dieser Aufgabe musst du die Steigung im Wendepunkt einer Funktion berechnen.

Die Wendepunkte ganzrationaler Funktionen sind Stellen mit lokal größtem Steigungsbetrag.

f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades und hat als solche genau einen Wendepunkt.

Zu berechnen ist also die Steigung im Wendpunkt der Funktion f-

$tan\,\alpha=1{,}5\Rightarrow\alpha=tan^{-1}(1{,}5)=56{,}3°$

Ergebnis:

Im steilsten Punkt des Anstiegs ist der Neigungswinkel kleiner als 60°. Der Juniorchef hat auch in dieser Hinsicht keine Einwände gegen die neue Bahn.

Vertiefung der Aufgabenstellung

Eine Wagensteigung ist die durch den Abstand der Vorder- und Hinterachse bedingte mittlere Steigung des Wagens an einer bestimmten Stelle der Bahn.

Im nachfolgenden Applet kann man die Wagensteigungen während der Auffahrt verfolgen und ablesen. Ziehe dazu den vorderen Wagen am Punkt A.

Was auffällt: Die Wagensteigung erreicht - als mittlerer Steigungswert - an keiner Stelle den maximalen lokalen Steigungswert 1,5.

Bei einem angenommenen Achsenabstand von 1 LE ist die größte Wagensteigung während der Auffahrt mit 1,492 kleiner als 1,5. Prüfe dies am Applet oder auch rechnerisch nach.

Hier musst du eine Flächenberechnung mit Hilfe eines bestimmten Integrals durchführen.

$\displaystyle\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;=\left(-\frac{25}{40}+\frac{15}{4}+5\right)-\left(-\frac{25}{40}+\frac{15}{4}-5\right)=10$

Da für den gezeichneten Funktionsgraphen gilt $1\,LE=10\,m$, ergibt sich für die Flächeneinheit $1\,FE=100\,m^2.$

Die Fläche des angebotenen Werbebanners beträgt demnach $1000\,m^2$.

Ergebnis:

Die Gesamtkosten des Angebots für das Werbebanner betragen somit:

8500.- € (Materialkosten) + 3000.- € (Anbringung) = 11500.- €

Das Angebot wird abgelehnt.

Hier musst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen.

Gesucht wird eine ganzrationale Funktion dritten Grades der Form

$\displaystyle g(x)=\color{red}{a}x^3+\color{red}{b}x^2+\color{red}{c}x+\color{red}{d}$.

Zur Berechnung der vier unbekannten Parameter $a,b,c$ und $d$ benötigt man vier Gleichungen, die man aus den gegebenen Angaben entnimmt.

Man benötigt also ein Gleichungssystem von vier Gleichungen mit vier Gleichungen.

Stelle die vier Gleichungen mit den zugehörigen Funktionstermen zu einem Gleichungssystem zusammen und löse dieses.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\,\,g(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\\,g'(x)&=3ax^2+2bx+c\\g''(x)&=6ax+2b\end{aligned}$

Die von der Urenkelin vorgeschlagene Funktion $g$ lautet somit:

$\displaystyle g(x)=-\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4} x+\frac{5}{12}$

Die Aufstiegshöhe der Bahn ergibt sich als Funktionswert des Punktes $B(x;g(x))$ mit $g'(x)=0$.

Ergebnis:

Wegen $1\,LE=10\,m$ erreicht die von der Urenkelin vorgeschlagene Achterbahn eine Höhe von rund $26{,}7\,m$.

Der Streckenverlauf wird durch eine gebrochenrationale Funktion erfasst, so dass deren Steigungsverhalten zu untersuchen ist.

Die Funktion $h$ ist wegen $h(x) = h(-x)$ achsensymmetrisch zu $x = 0$ und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung von $h$ in den Wendepunkten höchstens 6 % beträgt.

$h(x)=\dfrac{3}{x^2+6}$

Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel $h'(x)$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcc}h'(x) &=& \dfrac{0\cdot(x^2+6)-3\cdot2x}{(x^2+6)^2}\\ &=&-\dfrac{6x}{\left(x^2+6\right)^2} \end{array}$

Bilde jetzt die 2. Ableitung $h''(x)$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c} h''(x) &=&-\dfrac{6(x^2+6)^2-24x^2(x^2+6)}{(x^2+6)^4} \\ \\ &=&-\dfrac{6(x^2+6)\left[(x^2+6)-4x^2\right]}{(x^2+6)^4} \\ \\&=&-\dfrac{6(x^2+6)(6-3x^2)}{(x^2+6)^4} \\ \\&=&+\dfrac{18(x^2+6)(x^2-2)}{(x^2+6)^4} \\ \\&=&\dfrac{18(x^2-2)}{(x^2+6)^3} \end{array}$

Löse jetzt die Gleichung $h''(x) = 0$ um die Wendepunkte und somit die Stellen des größten Steigungsbetrags der Funktion $h$ zu bestimmen

$\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x_1=-\sqrt2\;\text{und}\;x_2=+\sqrt2$

$x_1$ und $x_2$ liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da $h''(x)$ bei $x_{1{,}2}=\pm\sqrt2$ das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.

Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:

Ergebnis:

Damit kann die Autobahnteilstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.

Für diese Teilaufgabe muss die Steigung einer quadratischen Funktion untersucht werden.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}h:y=\dfrac3{x^2+6}\end{array} \\$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}p:y=-\dfrac3{484}(x^2-38)\end{array}$

Bestimme die Funktionswerte von $h$ und $p$ an den Stellen $-4$ und $4$, an denen die beiden Funktionen aneinandergefügt sind.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}h(\pm4)=p(\pm4)=\dfrac3{22}\end{array}$

Die Funktionswerte stimmen also überein. Die Straße hat keinen "Sprung"

Berechne die ersten beiden Ableitungen von $p$.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}p':\;y=-\dfrac{6x}{484}\end{array} \\$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}p'':\;y=-\dfrac{6}{484}\end{array}$

Bestimme nun die Werte von $p'$ am Rand der Definitionsmenge von $p$

Da $p''$ eine konstante Funktion und $<0$ ist, liegen die Werte der Steigung von $p$ im Intervall $[-4;4]$ im Bereich $\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}[-\dfrac6{121};\dfrac6{121}]\end{array}$. Der Betrag der Steigung ist also immer $\le 5\%$.

Ergebnis:

Diese Autobahnteilstrecke kann im Hinblick auf den Höhenverlauf gebaut werden.

Tipp: Mit einem Programm wie Geogebra kannst du den graphischen Verlauf der Autobahnstrecke "nachbauen" und mit dem Steigungsverhalten experimentieren und deine Rechenergebnisse bestätigen.

Verschiebe im Geogebra-Applet die Punkte A, B, C, D und bestätige mit den jeweils abzulesenden Steigungswerten deine Rechenergebnisse aus den Teilaufgaben a und b.

Die Funktion h ist wegen $h(x)=h(-x)$ achsensymmetrisch zu x = 0 und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung in den Wendepunkten höchstens 6% beträgt.

$\Rightarrow$ $x^2 - 3 = 0$ $\Rightarrow$ $x_1 = -\sqrt{3}$ und $x_2 =+\sqrt{3}$

$x_1$ und $x_2$ liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da $h''(x)$ bei $x_{1;2}= \pm \sqrt{3}$ das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.

Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:

Bei einer maximalen Steigung von 9,6 % kann die Autobahnstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.

Die Funktionswerte stimmen überein. Die Autobahn hätte an diesen Stellen also keinen "Sprung".

Die nach unten geöffnete Parabel hat ihren größten Steigungsbetrag jeweils am Rande ihres Definitionsbereiches, also an den Stellen $x\;=\;\pm2$.

Berechne den Steigungsbetrag der Parabel p und der Funktion h an den "Nahtstellen" $x=\pm2$.

Die Streckenabschnitte würden also an den Nahtstellen ohne Sprung und sogar ohne Knick in einander übergehen. Aber mit dem maximalen Steigungsbetrag von rund 9,5%.Der geplante Geländeabbau ist somit nicht ausreichend. Die Autobahnstrecke könnte mit diesem Höhenprofil nicht erneuert werden.

In dem gegebenen Geogebra-Applet kannst du die Planungssituation graphisch nachvollziehen und durch Verschieben der Punkte A, B, C und D die Steigungswerte überprüfen.

Lösungsplan

1. Steigung bei $x_0=0$ mithilfe der Ableitung ausrechnen.

2. Steigungswinkel über die Formel $m= \tan(\alpha)$ berechnen.

Ableitung berechnen

$f'(x)=-7{,}5\cdot10^{-7} x^2 + 5 \cdot 10^{-4}x - 0{,}0625$

Neigungswinkel berechnen

$m=\tan(\alpha)$ $m=f'(x_0)$ $x_0 = 0$ $f’(0) = -0{,}0625$ $\alpha=\tan^{-1}(-0{,}0625)\approx -3{,}5763°$

$\rightarrow$ Der Neigungswinkel beträgt näherungsweise $3{,}58°$. Die Bahn fährt also mit einem Winkel von $3{,}58°$ nach unten.

Lösungsplan

1. Nullstellen der Ableitung berechnen.

2. Monotonie bestimmen.

3. Minimum der Funktion berechnen.

4. Punkt unter der Gesteinsschicht berechnen.

Nullstellen der Ableitung

$f'(x)=-7{,}5\cdot10^{-7}\cdot x^2+5\cdot10^{-4}\cdot x-0{,}0625$ $f'(x) = 0$ $-7{,}5\cdot10^{-7}\cdot x^2+5\cdot10^{-4}\cdot x-0{,}0625=0$

Löse die Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel

$x_{1/2}=\dfrac{-5\cdot10^{-4}\pm\sqrt{(5\cdot10^{-4})^2-4\cdot(-7{,}5\cdot10^{-7})\cdot(-0{,}0625)}}{2\cdot(-7{,}5\cdot10^{-7})}$

$x_{1}=\frac{500}{3}$ $x_{2}=500$

Monotonie bestimmen

Setze Werte unter $\frac{500}{3}$, zwischen $\frac{500}{3}$ und $500$ und Werte über $500$ in die Ableitung ein. Prüfe welche Vorzeichen sich für die Funktion ergeben. Wenn die Ableitung ein negatives Vorzeichen hat, fällt die Funktion. Wenn die Ableitung positiv ist, steigt die Funktion. So ergibt sich $\frac{500}{3}$ als Minimum und $500$ als Maximum.

Minimum der Funktion berechnen

$f(\frac{500}{3})=-2{,}5\cdot10^{-7}\cdot(\frac{500}{3})^3+2{,}5\cdot10^{-4}\cdot(\frac{500}{3})^2-0{,}0625\cdot\frac{500}{3}+1{,}55=-\frac{1663}{540}$ Daraus ergibt sich die Stelle $x_{0}$ am Punkt $P (\frac{500}{3}\vert-\frac{1663}{540})$

Punkt unter der Gesteinsschicht berechnen

Die Gesteinsschicht beträgt 80cm. Wir ziehen also von den $\frac{1663}{540}$m unter der x-Achse - also der oberen Gesteinsschicht - noch $0{,}8$m ab.

$\frac{1663}{540}-0{,}8=\frac{1231}{540}\approx 2{,}28$

Antwort: Der Punkt liegt ca. 2,28m unter der Gesteinsschicht.

Lösungsplan

1. Bedingung für einen knickfreien Übergang an der Stelle $x_0$ lautet: $f'(x_0)=g'(x_0)$

2. Steigung bei $x_0=500$ mit Hilfe der Ableitung berechnen.

3. Steigung des Ausstellungsraumes bestimmen.

In Teilaufgabe 2 wurden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet.

Sie liegen bei $x=\frac{500}{3}$ und bei $x=500$. Somit gilt: $f'(500)=0$

Der Ausstellungsraum liegt laut Text waagrecht, d.h. die Steigung des Ausstellungsraumes ist gleich Null: $g'(500)=0$

$\Rightarrow$$f'(500)=g'(500)$

Antwort: Die Bedingung für einen knickfreien Übergang der Bahnlinie in den Ausstellungsraum ist erfüllt. Beide Graphen haben am Übergangspunkt die gleiche Steigung.

Lösungsplan

1. Die mittlere Steigung über die Formel $m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ berechnen.

2. Die 1.Ableitung gleich der mittleren Steigung setzen.

3. Die Gleichung lösen.

Der tiefste Punkt der Strecke hat die Koordinaten $P (\frac{500}{3}\vert-\frac{1663}{540})$

Der Endpunkt hat die Koordinaten $E(500\vert f(500)$.

Berechne $f(500)$:

$f(500) = -2{,}5 \cdot 10^{-7} \cdot (500)^3+2{,}5 \cdot 10^{-4} \cdot (500)^2 - 0{,}0625 \cdot 500+1{,}55= 1{,}55$

Die mittlere Steigung wird zwischen den Punkten $P (\frac{500}{3}\vert-\frac{1663}{540})$ und $E(500\vert1{,}55)$ berechnet:

$m=\frac{1{,}55-(-\frac{1663}{540})}{500-\frac{500}{3}}=\frac{1}{72}$

Antwort: Die mittlere Steigung, die die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt der Strecke P und dem Endpunkt E überwinden muss, beträgt  $\dfrac{1}{72}.$

Die lokale Steigung soll gleich dieser mittleren Steigung sein.

$f'(x)=-7{,}5\cdot10^{-7} x^2 + 5 \cdot 10^{-4}x - 0{,}0625$

$f'(x)=\dfrac{1}{72}$

$-7{,}5\cdot10^{-7} x^2 + 5 \cdot 10^{-4}x - 0{,}0625=\dfrac{1}{72}$

$-7{,}5\cdot10^{-7} x^2 + 5 \cdot 10^{-4}x -\dfrac{11}{144}=0$

Löse die Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel

$x_{1/2}=\frac{-5\cdot 10^{-4}\pm \sqrt{(5\cdot 10^{-4})^2-4\cdot (-7{,}5\cdot 10^{-7})\cdot (-\frac{11}{144})}}{2\cdot (-7{,}5\cdot 10^{-7})}$

$x_1\approx237{,}11$

$x_2\approx 429{,}56$

Antwort: An den Stellen $x_1\approx 237{,}11$ und $x_2\approx 429{,}56$ ist die lokale Steigung gerade genauso groß wie die mittlere Steigung.

Lösungsplan

1. Berechnung der Wendestelle $x_w$

2. Berechnung der Steigung an der Wendestelle $x_w$.

In den Wendepunkten einer Funktion ist die Steigung (lokal) maximal oder minimal.

Berechne die 2. Ableitung der Funktion $f(x)$ und bestimme ihre Nullstellen.

$f''(x)=-15\cdot10^{-7}x+5\cdot10^{-4}$

$f''(x)=0$

$-15\cdot10^{-7} x + 5 \cdot 10^{-4}=0$

Löse die Gleichung nach $x$ auf: $x_w= \dfrac{5 \cdot 10^{-4}}{15\cdot10^{-7}}=\dfrac{1000}{3}$

Zur Überprüfung, ob $x_w$ Wendestelle ist, bilden wir die dritte Ableitung.

$f'''(x)=-15\cdot10^{-7}\ne0$ . Damit ist $x_w$ Wendestelle.

Zur Bestimmung der Steigung an der Wendestelle wird $x_w$ in die 1. Ableitung eingesetzt.

$f'(\frac{1000}{3})=-7{,}5\cdot 10^{-7}(\frac{1000}{3})^2+5\cdot 10^{-4}(\frac{1000}{3})-0{,}0625=\frac{1}{48}$

Die Steigung ist positiv, d.h. es handelt sich um die maximalste Steigung.

Antwort: Die maximalste Steigung, die die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt P und dem Punkt E bewältigen muss, beträgt $\dfrac{1}{48}.$

Lösung

Gegeben sind die Funktionen $g(x)=x+1$; $h(x) = 6$ und die Punkte $A(-2-1)$.

und $B(4\vert6)$.

Quadratischer Ansatz für die Funktion $f(x)$: $f(x)=ax²+bx+c$.

Die erste Ableitung von $f(x)$ lautet: $f'(x)=2ax+b$.

Die erste Ableitung von $g(x)$ lautet: $g'(x)=1$.

Die erste Ableitung von $h(x)$ lautet: $h'(x)=0$.

1. versatzfrei: $f(-2)=g(-2)= -1$ $\Rightarrow$ $-1=4a-2b+c$ $(1)$ $f(4)=h(4)= 6$ $\Rightarrow$ $6=16a+4b+c$ $(2)$

2. knickfrei: $f'(-2)=g'(-2)= 1$ $\Rightarrow$ $1=-4a+b$ $(3)$ $f'(4)=h'(4)=0$ $\Rightarrow$ $0=8a+b$ $(4)$

Somit erhält man vier Gleichungen für $3$ Unbekannte $a,b,c$.

Das Gleichungssystem wird mit dem Gauß- Algorithmus gelöst:

Zur einfacheren Berechnung werden die Spalten getauscht.

Die Reihenfolge der Variablen ist jetzt $c, b, a$.

Man erhält das folgende Gleichungssystem:

$c-2b+4a=-1$

$c+4b+16a=6$

$b-4a=1$

$b+8a=0$

Die erweiterte Koeffizientenmatrix lautet:

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr|c}1 & -2 & 4 & -1 \\1 & 4 & 16& 6 \\ 0 & 1 &-4&1\\0&1&8&0 \end{array}\right)$

Die Koeffizientenmatrix wird durch geeignete Umformungen so bearbeitet, dass unterhalb der Diagonalen nur Nullen stehen.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr|c}1 & -2 & 4 & -1 \\1 & 4 & 16& 6 \\ 0 & 1 &-4&1\\0&1&8&0 \end{array}\right) \underrightarrow{\mathrm{II}+\mathrm{I}\cdot(-1)}$