ūüéď Ui, fast schon Pr√ľfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Pr√ľfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung

Wie h√§ngen Steigung und Fl√§che zusammen? Vertiefe dein Wissen √ľber die Differential- und Integralrechnung mit diesen √úbungsaufgaben!

  1. 1
    Achterbahn Angebot

    Eine Schaustellerfamilie ist seit Jahrzehnten mit ihrer Achterbahn auf Volksfesten vertreten. Nun bestellt sie bei einem Hersteller ein neues Modell.

    Sie erh√§lt f√ľr den Aufstiegsteil der Bahn das abgebildete (nicht ma√üstabsgetreue) Angebot.

    Der zahnradbetriebene Aufstiegsteil dem die Mittelpunkte der Wagenräder folgen, beginnt demnach nach einer kurzen horizontalen Fahrt ohne Knick im Punkt AA und verläuft von da an nach der Funktion

    f(x)=‚ąí0,1x(x2‚ąí15)+5f(x)=-0{,}1x(x^2-15)+\sqrt{5}

    1‚ÄČLE=10‚ÄČm1\,LE=10\,m

    bis zum höchsten Achterbahnpunkt BB, ab dem sich (wieder ohne Knick) eine kurze horizontale Strecke bis zur ersten Abfahrt anschließt.

    Im Familienkreis wird √ľber das Angebot beraten.

    1. Der Seniorchef legt Wert darauf, dass die bisherige Achterbahnh√∂he von 40 m von der neuen Bahn deutlich √ľbertroffen wird.

      Sagt ihm das Angebot zu?

    2. Der Juniorchef ist als Ingenieur f√ľr die Sicherheit und den Energiebedarf der Bahn zust√§ndig.

      Er m√∂chte, dass die mittlere Steigung der Aufstiegsstrecke, die f√ľr den Energiebedarf der Bahn ma√ügeblich ist, den Wert 1 nicht √ľbersteigt.

      Außerdem möchte er wissen, in welchen Punkten der Aufstiegsstrecke die lokale Steigung gleich der mittleren Steigung ist.

      Berechne die jeweiligen Werte.

    3. Aus Sicherheitsgr√ľnden f√ľr die Passagiere liegt ihm auch daran, dass im steilsten Punkt des Aufstiegs der lokale Steigungswinkel kleiner als 60¬į ist.

      Hat er einen Einwand?

    4. Achterbahn Neigunswinkel

      Au√üerdem m√∂chte er sichergehen, dass der Neigungswinkel ŌÜ\varphi zwischen zwei knapp hintereinander gekoppelten Wagen kleiner als 25¬į ist, damit sich die Aufbauten der Wagen nicht ber√ľhren.

      Er berechnet diesen Winkel f√ľr die Situation, bei der sich die Vorderachse des ersten Wagens am Punkt P(‚ąí1,5;f(‚ąí1,5))P(-1{,}5;f(-1{,}5)) und die Hinterachse am Punkt A(‚ąí5;0)A(-\sqrt{5};0) befindet.

      Wie groß ist dieser Winkel?

    5. Die Enkelin des Seniorchefs ist als Marketingleiterin von der Idee der Herstellerfirma begeistert, unter die Aufstiegsstrecke von AA bis BB ein Werbebanner zu spannen.

      Dessen Kosten veranschlagt der Hersteller mit 3000.-‚ā¨ f√ľr die Befestigung und 8,50‚ā¨ pro Quadratmeter f√ľr die Materialkosten. Die Familie ist allerdings nicht bereit, mehr als 10000.-‚ā¨ f√ľr das Banner auszugeben.

      Wird das Banner bestellt?

    6. Die Urenkelin des Seniorchefs ist Abiturientin und empfiehlt der Familie eine bescheidenere Vegrößerung der Bahn.

      Sie rät, eine Aufstiegsfunktion der Form

      ‚ÄÖ‚Ää‚ÄÖ‚Ää‚ÄÖ‚Ää‚ÄÖ‚Ääg(x)=ax3+bx2+cx+d‚ÄÖ‚Ää;‚ÄÖ‚Ää‚ÄÖ‚Ää‚ÄÖ‚Ää1‚ÄČLE=10‚ÄČm\;\;\;\;g(x)= ax^3+bx^2+cx + d\;;\;\;\;1\,LE=10\,m

      so zu w√§hlen, dass sich A(‚ąí1;0)A(-1;0) als Startpunkt des Aufstiegsteils der Bahn und die gr√∂√üte lokale Steigung im Punkt P(1;g(1))P(1;g(1)) mit einem Steigungswinkel von 45¬į ergibt.

      Die Berechnung von g(x) bereitet ihr keine Probleme.

      Welche Höhe hätte die neue Achterbahn nach ihrem Vorschlag?

  2. 2

    Auf einem Streckenabschnitt soll eine Autobahnteilstrecke neu gebaut werden.

    Durch Steigungen und Gef√§lle k√∂nnen Probleme f√ľr die Verkehrsteilnehmer entstehen.Deshalb werden beim Neubau von Autobahnen Steigungen √ľber 6%6\% vermieden.

    Das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke wird durch die Funktion h(x)=3x2+6h(x)=\dfrac3{x^2+6} beschrieben (siehe Figur 1).

    Graph der Steigung der Autobahn
    1. Begr√ľnde rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

    2. Im Intervall [-4;+4] soll die Autobahn daraufhin parabelförmig mit dem Höhenverlauf

      untertunnelt werden (siehe Figur 2 und die Vergrößerung in Figur 3).

      Bild
      Bild

      Kann die geplante Autobahnteilstrecke jetzt gebaut werden?

    3. Bestätige deine Rechenergebnisse z.B. mithilfe von Geogebra graphisch.

  3. 3

    Beim Neubau von Autobahnen werden Steigungen √ľber 6% vermieden. Deshalb sind oft Untertunnelungen oder Gel√§ndeabtragungen n√∂tig.

    Bei dieser Aufgabe wird das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke durch die Funktion

    beschrieben (siehe Fig. 1).

    Bild
    1. Begr√ľnde rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

    2. Im Intervall [-2;+2] soll das Gelände daraufhin parabelförmig mit dem Höhenprofil

      abgetragen werden (siehe die Fig.2 und die Vergrößerung in Fig.3)

      Bild
      Bild

      Kann die Autobahn jetzt gebaut werden?

      Best√§tige das Rechenergebnis graphisch, indem du z.B. in einem Geogebra-Applet die kritischen Steigungswerte √ľberpr√ľfst!

  4. 4

    Das Aufsprungprofil einer Skisprungschanze wird näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:

    Unter dem "K-Punkt" einer Sprungschanze versteht man den Aufsprungpunkt mit der geringsten Aufsprungbelastung f√ľr den Springer.

    Berechne die horizontale Entfernung des K-Punktes vom Schanzentisch sowie den Neigungswinkel der Aufsprungbahn im K-Punkt.

    Kurvendiskussion Graph

    Ma√üstab der Zeichnung: 1‚ÄČLE=50‚ÄČm1\,LE = 50\,{m}

  5. 5

    Eine Gemeinde möchte in einem Gebirgsmassiv, in dem sich eine waagrecht verlaufende, geologisch interessante Schicht befindet, ein kleines Museum errichten, welches Besuchern einen Einblick in die Besonderheiten der Gesteinsformation geben soll.

    Geplant ist ein Ausstellungsraum mit Erklärungstafeln, Tonbildschau und ähnlichem, der sich ca. 500 m weit innerhalb des Berges befinden soll, und zu dem die Besucher mit einer kleinen Bahn hingebracht werden.

    Die Bahnstrecke soll dabei so gef√ľhrt werden, dass die Besucher w√§hrend der Fahrt einen m√∂glichst guten Einblick in die interessante Gesteinsschicht bekommen.

    Skizze: Berg mit waagr. Gesteinsschicht, Bahnverlauf, Ausstellungsraum

    Skizze nicht maßstabsgetreu

    Nach dem Architektenentwurf liegt der Punkt, in dem der Zug in den Berg hineinfahren soll, 1,55 m oberhalb der Höhe der Gesteinsschicht. Von dort aus verläuft die geplante Strecke in einer leicht geschwungenen Linie teils oberhalb, teils unterhalb der Schicht bis zu dem Ausstellungsraum.

    W√§hlt man den oberen Rand der Gesteinsschicht als xx-Achse, und setzt am Einstiegspunkt der Bahn in den Berg x=0x=0, so wird der H√∂henverlauf der Strecke f√ľr 0‚ȧx‚ȧ5000\le x\le 500 angen√§hert beschrieben durch die Funktion ff mit

    f:x‚ܶy=‚ąí2,5‚čÖ10‚ąí7‚čÖx3+2,5‚čÖ10‚ąí4‚čÖx2‚ąí0,0625‚čÖx+1,55f:x\mapsto y=-2{,}5\cdot 10^{-7}\cdot x^3+ 2{,}5\cdot 10^{-4} \cdot x^2-0{,}0625\cdot x+1{,}55

    wobei xx und yy in Metern gemessen werden.

    1. Berechne den Neigungswinkel gegen die Horizontale, in dem der Zug im Punkt A(0‚ą£1.55)A(0|1.55) in den Berg einf√§hrt.

    2. Bestimme rechnerisch die Stelle x0x_0, an der die Bahnstrecke ihren tiefsten Punkt erreicht. Runde dabei auf zwei Stellen hinter dem Komma. Wie tief unterhalb des unteren Randes der Gesteinsschicht liegt dieser Punkt, wenn die Gesteinsschicht ca. 80 cm dick ist? (Teilergebnis: x0‚Čą166,67x_0\approx 166{,}67)

    3. Im Endpunkt E(500‚ą£f(500))E(500|f(500)) f√§hrt der Zug in den Ausstellungsraum ein. Begr√ľnde durch eine geeignete Rechnung, dass der √úbergang von der geschwungenen Bahnstrecke auf den waagrecht liegenden Ausstellungsraum ohne Knick erfolgt.

    4. Welche mittlere Steigung √ľberwindet die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt der Strecke und dem Endpunkt EE? An welchen Stellen ist die lokale Steigung gerade genauso gro√ü wie diese mittlere Steigung?

    5. Welche Steigung muss die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt und EE maximal bewältigen?

  6. 6

    In zwei benachbarten Städten gibt es jeweils einen Kopf- oder Sackbahnhof.

    In Stadt 1 befindet sich der Bahnhof am Punkt A(‚ąí2‚ą£‚ąí1)A(-2\vert -1) und in der Stadt 2 am Punkt B(4‚ą£6)B(4\vert 6).

    Zum Punkt AA verlaufen die Gleise gemäß einer linearen Funktion g(x)=x+1g(x) = x+1. Die Gleise zum Punkt BB verlaufen gemäß h(x)=6h(x) = 6.

    Um die Bahnverbindungen in Deutschland weiter auszubauen, möchte die Deutsche Bahn die beiden Bahnhöfe mit einem Gleis verbinden.

    1. Zeige, dass es keine quadratische Funktion f(x)f(x) zur Verbindung der beiden Bahnhöfe gibt. Die Anschlussstellen sollen versatzfrei und knickfrei sein.

    2. Das Planungsb√ľro stellt der Projektleitung eine m√∂gliche Gleisverbindung mit einer Funktion 3.3. Grades vor. Das Ergebnis ist in Abbildung 11 dargestellt.

      Abb.1 : Verbindung der Bahnhöfe mit einer kubischen Funktion k(x)

      Abb.1Abb.1: Verbindung der Bahnhöfe mit einer kubischen Funktion k(x)k(x)

      Ein Mitarbeiter der Projektleitung bem√§ngelt die fehlende ‚ÄěKr√ľmmungsruckfreiheit‚Äú an den √úbergangspunkten.¬† Er wei√ü aus Erfahrung, dass eine Funktion 3.3. Grades nie an zwei Punkten gleichzeitig kr√ľmmungsruckfrei sein kann.

      Teilaufgabe 1. Zeige allgemein, dass er Recht hat.

      Teilaufgabe 2. Weise dies auch rechnerisch f√ľr die angegebene Funktion k(x)k(x) und die Punkte AA und BB nach.

    3. Das Planungsb√ľro der Bundesbahn hat nun eine Funktion 5.5. Grades berechnet, die den Gleisverlauf beschreibt:

      Abb. 2 Graph der Funktion m(x) .

      Abb.2 Abb. 2 Graph der Funktion m(x)m(x).

      Erl√§utere anhand der Abbildung 22, dass die Kr√ľmmungsruckfreiheit im Punkt BB erf√ľllt ist.

      Zeige rechnerisch, dass auch im Punkt AA ein kr√ľmmungsruckfreier √úbergang m√∂glich ist.

  7. 7

    Zwischen zwei Stadtteilen befindet sich in der N√§he des Punktes A(1‚ą£2)A(1\vert2) ein Naturdenkmal.

    Die Stadt m√∂chte in zwei Bauabschnitten zun√§chst vom Stadtteil 11 eine gerade Stra√üe g(x)g(x) zum Punkt¬† AA bauen. Im 22. Bauabschnitt soll dann eine Stra√üenverbindung von AA zum Punkt B(6‚ą£5)B(6\vert5) im Stadtteil 22 gebaut werden.

    Die Punkte AA und BB sollen durch eine quadratische Polynomfunktion f(x)f(x) versatzfrei und knickfrei miteinander verbunden werden.

    Im Punkt BB endet eine Stichstra√üe mit der Gleichung h(x)=2x‚ąí7h(x) = 2x -7

    Planungsvorschl√§ge des Ingenieurb√ľros f√ľr m√∂gliche gerade Verbindungsstra√üen vom Stadtteil 11 bis zum Punkt AA.

    ÔĽŅ

    Bild
    1. Bei der Berechnung der ‚ÄěStra√üenfunktionen‚Äú sind beide Bauabschnitte zu ber√ľcksichtigen.

      Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Straßen g(x)g(x) und f(x) f(x).

    2. Zeichne die Funktionen g(x),h(x)g(x), h(x) und f(x)f(x) in ein Koordinatensystem.

    3. Zeige, dass die in a) berechnete Funktion f(x)f(x) an den beiden

      Anschlussstellen A A und BB einen Kr√ľmmungsruck erzeugt.

    4. Um das Kriterium der ‚ÄěKr√ľmmungsruckfreiheit‚Äú in den beiden Punkten AA und BB zu erf√ľllen, sucht das Ingenieurb√ľro eine Funktion 4. Grades k(x)k(x) zur Verbindung der beiden Punkte unter Ber√ľcksichtigung der Stra√üen g(x)g(x) und h(x)h(x).

      Berechne die Funktion k(x)k(x).

  8. 8

    Trassierung

    Zwischen zwei Stadtteilen befindet sich in der N√§he des Punktes A(1‚ą£4)A(1\vert4) ein Aussichtsturm.

    Von Stadtteil 1 f√ľhrt eine Stichstra√üe 1 bis zu diesem Punkt AA.

    Im Stadtteil 2 endet eine Stichstra√üe 2 im Punkt B(3‚ą£5) B(3\vert5).

    Zur Verbindung der beiden Stadtteile soll eine  Straße von AA nach BB gebaut werden.

    Die Stra√üe 1 ist f√ľr x‚ȧ1x\leq1 gegeben durch: ¬†g(x)=x+3g(x) = x+3.

    Die Stra√üe 2 ist f√ľr x‚Č•3x\geq3 gegeben durch: ¬†h(x)=5h(x) = 5.

    1. Gesucht ist eine lineare Funktion f(x)f(x), die den Stra√üenverlauf zwischen den Punkten AA und BB beschreibt. An den Anschlussstellen soll kein ‚ÄěVersatz‚Äú auftreten.¬†

    2. Zeichne die Funktionen g(x),h(x)g(x), h(x) und die berechnete Funktion f(x)f(x) in ein Koordinatensystem ein.

    3. Beschreibe den Straßenverlauf an den beiden Übergangsstellen AA und BB.

    4. Gesucht ist nun eine quadratische Funktion k(x)k(x) zur Verbindung der beiden Stichstra√üen. Die Anschlussstellen sollen "versatzfrei" sein und keinen ‚ÄěKnick‚Äú aufweisen sein.

    5. Die Stra√üenbauingenieure sind immer noch nicht zufrieden. Sie stellen an den beiden Anschlussstellen fest, dass sich die Kr√ľmmung der Funktion k(x)k(x) an der Stelle x0x_0 von der Kr√ľmmung der¬† Funktion g(x)g(x) unterscheidet¬†bzw. an der Stelle x1x_1 von der Kr√ľmmung der Funktion ¬†h(x)h(x) unterscheidet.

      Dadurch kommt es an den √úbergangsstellen zu einem sogenannten ‚ÄěKr√ľmmungsruck‚Äú.

      Gesucht ist nun eine Funktion 4. Grades m(x)m(x) zur Verbindung der beiden Stichstra√üen. Die Anschlussstellen sollen "versatzfrei" sein, keinen ‚ÄěKnick‚Äú aufweisen und "kr√ľmmungsruckfrei"sein.

      Hinweis: Ein ‚Äěkr√ľmmungsruckfreier‚Äú √úbergang an einer Stelle x0x_0 bzw. x1x_1 ist m√∂glich, wenn die Bedingungen m‚Ä≤‚Ä≤(x0)=g‚Ä≤‚Ä≤(x0)m''(x_0)=g''(x_0) bzw. m‚Ä≤‚Ä≤(x1)=h‚Ä≤‚Ä≤(x1)m''(x_1)=h''(x_1)

      erf√ľllt sind.¬†


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 ‚Üí Was bedeutet das?