Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung

1

Eine Gemeinde möchte in einem Gebirgsmassiv, in dem sich eine waagrecht verlaufende, geologisch interessante Schicht befindet, ein kleines Museum errichten, welches Besuchern einen Einblick in die Besonderheiten der Gesteinsformation geben soll.

Geplant ist ein Ausstellungsraum mit Erklärungstafeln, Tonbildschau und ähnlichem, der sich ca. 500 m weit innerhalb des Berges befinden soll, und zu dem die Besucher mit einer kleinen Bahn hingebracht werden.

Die Bahnstrecke soll dabei so geführt werden, dass die Besucher während der Fahrt einen möglichst guten Einblick in die interessante Gesteinsschicht bekommen.

Skizze nicht maßstabsgetreu

Nach dem Architektenentwurf liegt der Punkt, in dem der Zug in den Berg hineinfahren soll, 1,55 m oberhalb der Höhe der Gesteinsschicht.

Von dort aus verläuft die geplante Strecke in einer leicht geschwungenen Linie teils oberhalb, teils unterhalb der Schicht bis zu dem Ausstellungsraum.

Wählt man den oberen Rand der Gesteinsschicht als xx-Achse, und setzt am Einstiegspunkt der Bahn in den Berg x=0x=0, so wird der Höhenverlauf der Strecke für 0x5000\le x\le 500 angenähert beschrieben durch die Funktion ff mit

f:xy=2,5107x3+2,5104x20,0625x+1,55f:x\mapsto y=-2{,}5\cdot 10^{-7}\cdot x^3+ 2{,}5\cdot 10^{-4} \cdot x^2-0{,}0625\cdot x+1{,}55

wobei xx und yy in Metern gemessen werden.

  1. Berechne den Neigungswinkel gegen die Horizontale, in dem der Zug im Punkt A(01.55)A(0|1.55) in den Berg einfährt.

  2. Bestimme rechnerisch die Stelle x0x_0, an der die Bahnstrecke ihren tiefsten Punkt erreicht. Runde dabei auf zwei Stellen hinter dem Komma.

    Wie tief unterhalb des unteren Randes der Gesteinsschicht liegt dieser Punkt, wenn die Gesteinsschicht ca. 80 cm dick ist?

    (Teilergebnis: x0166,67x_0\approx 166{,}67)

  3. Im Endpunkt E(500f(500))E(500|f(500)) fährt der Zug in den Ausstellungsraum ein. Begründe durch eine geeignete Rechnung, dass der Übergang von der geschwungenen Bahnstrecke auf den waagrecht liegenden Ausstellungsraum ohne Knick erfolgt.

  4. Welche mittlere Steigung überwindet die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt der Strecke und dem Endpunkt EE?

    An welchen Stellen ist die lokale Steigung gerade genauso groß wie diese mittlere Steigung?

  5. Welche Steigung muss die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt und EE maximal bewältigen?

2

Eine Schaustellerfamilie ist seit Jahrzehnten mit ihrer Achterbahn auf Volksfesten vertreten. Nun bestellt sie bei einem Hersteller ein neues Modell.

Sie erhält für den Aufstiegsteil der Bahn das abgebildete (nicht maßstabsgetreue) Angebot.

Der zahnradbetriebene Aufstiegsteil dem die Mittelpunkte der Wagenräder folgen, beginnt demnach nach einer kurzen horizontalen Fahrt ohne Knick im Punkt AA und verläuft von da an nach der Funktion

bis zum höchsten Achterbahnpunkt BB, ab dem sich (wieder ohne Knick) eine kurze horizontale Strecke bis zur ersten Abfahrt anschließt.

Im Familienkreis wird über das Angebot beraten.

a

Der Seniorchef legt Wert darauf, dass die bisherige Achterbahnhöhe von 40 m von der neuen Bahn deutlich übertroffen wird.

Sagt ihm das Angebot zu?

b

Der Juniorchef ist als Ingenieur für die Sicherheit und den Energiebedarf der Bahn zuständig.

Er möchte, dass die mittlere Steigung der Aufstiegsstrecke, die für den Energiebedarf der Bahn maßgeblich ist, den Wert 1 nicht übersteigt.

Außerdem möchte er wissen, in welchen Punkten der Aufstiegsstrecke die lokale Steigung gleich der mittleren Steigung ist.

Berechne die jeweiligen Werte.

c

Aus Sicherheitsgründen für die Passagiere liegt ihm auch daran, dass im steilsten Punkt des Aufstiegs der lokale Steigungswinkel kleiner als 60° ist.

Hat er einen Einwand?

d

Außerdem möchte er sichergehen, dass der Neigungswinkel φ\varphi zwischen zwei knapp hintereinander gekoppelten Wagen kleiner als 25° ist, damit sich die Aufbauten der Wagen nicht berühren.

Er berechnet diesen Winkel für die Situation, bei der sich die Vorderachse des ersten Wagens am Punkt P(1,5;f(1,5))P(-1{,}5;f(-1{,}5)) und die Hinterachse am Punkt A(5;0)A(-\sqrt{5};0) befindet.

Wie groß ist dieser Winkel?

e

Die Enkelin des Seniorchefs ist als Marketingleiterin von der Idee der Herstellerfirma begeistert, unter die Aufstiegsstrecke von AA bis BB ein Werbebanner zu spannen.

Dessen Kosten veranschlagt der Hersteller mit 3000.-€ für die Befestigung und 8,50€ pro Quadratmeter für die Materialkosten. Die Familie ist allerdings nicht bereit, mehr als 10000.-€ für das Banner auszugeben.

Wird das Banner bestellt?

f

Die Urenkelin des Seniorchefs ist Abiturientin und empfiehlt der Familie eine bescheidenere Vegrößerung der Bahn.

Sie rät, eine Aufstiegsfunktion der Form

so zu wählen, dass sich A(1;0)A(-1;0) als Startpunkt des Aufstiegsteils der Bahn und die größte lokale Steigung im Punkt P(1;g(1))P(1;g(1)) mit einem Steigungswinkel von 45° ergibt.

Die Berechnung von g(x) bereitet ihr keine Probleme.

Welche Höhe hätte die neue Achterbahn nach ihrem Vorschlag?

3

Auf einem Streckenabschnitt soll eine Autobahnteilstrecke neu gebaut werden.

Durch Steigungen und Gefälle können Probleme für die Verkehrsteilnehmer entstehen.Deshalb werden beim Neubau von Autobahnen Steigungen über 6%6\% vermieden.

Das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke wird durch die Funktion h(x)=3x2+6h(x)=\dfrac3{x^2+6} beschrieben (siehe Figur 1).

a

Begründe rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

b

Im Intervall [-4;+4] soll die Autobahn daraufhin parabelförmig mit dem Höhenverlauf

untertunnelt werden (siehe Figur 2 und die Vergrößerung in Figur 3).

Kann die geplante Autobahnteilstrecke jetzt gebaut werden?

c

Bestätige deine Rechenergebnisse z.B. mithilfe von Geogebra graphisch.

4

Beim Neubau von Autobahnen werden Steigungen über 6% vermieden. Deshalb sind oft Untertunnelungen oder Geländeabtragungen nötig.

Bei dieser Aufgabe wird das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke durch die Funktion

beschrieben (siehe Fig. 1).

a

Begründe rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

b

Im Intervall [-2;+2] soll das Gelände daraufhin parabelförmig mit dem Höhenprofil

abgetragen werden (siehe die Fig.2 und die Vergrößerung in Fig.3)

Kann die Autobahn jetzt gebaut werden?

Bestätige das Rechenergebnis graphisch, indem du z.B. in einem Geogebra-Applet die kritischen Steigungswerte überprüfst!

5

Das Aufsprungprofil einer Skisprungschanze wird näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:

Unter dem "K-Punkt" einer Sprungschanze versteht man den Aufsprungpunkt mit der geringsten Aufsprungbelastung für den Springer.

Berechne die horizontale Entfernung des K-Punktes vom Schanzentisch sowie den Neigungswinkel der Aufsprungbahn im K-Punkt.

Maßstab der Zeichnung: 1LE=50m1\,LE = 50\,{m}

6

Trassierung

Zwischen zwei Stadtteilen befindet sich in der Nähe des Punktes A(14)A(1\vert4) ein Aussichtsturm.

Von Stadtteil 1 führt eine Stichstraße 1 bis zu diesem Punkt AA.

Im Stadtteil 2 endet eine Stichstraße 2 im Punkt B(35) B(3\vert5).

Zur Verbindung der beiden Stadtteile soll eine  Straße von AA nach BB gebaut werden.

Die Straße 1 ist für x1x\leq1 gegeben durch:  g(x)=x+3g(x) = x+3.

Die Straße 2 ist für x3x\geq3 gegeben durch:  h(x)=5h(x) = 5.

a)  Gesucht ist eine lineare Funktion f(x)f(x), die den Straßenverlauf zwischen den Punkten AA und BB beschreibt. An den Anschlussstellen soll kein „Versatz“ auftreten. 

b) Zeichne die Funktionen g(x),h(x)g(x), h(x) und die berechnete Funktion f(x)f(x) in ein Koordinatensystem ein.

c) Beschreibe den Straßenverlauf an den beiden Übergangsstellen AA und BB.

d) Gesucht ist nun eine quadratische Funktion k(x)k(x) zur Verbindung der beiden Stichstraßen. Die Anschlussstellen sollen "versatzfrei" sein und keinen „Knick“ aufweisen sein.

e) Die Straßenbauingenieure sind immer noch nicht zufrieden. Sie stellen an den beiden Anschlussstellen fest, dass sich die Krümmung der Funktion k(x)k(x) an der Stelle x0x_0 von der Krümmung der  Funktion g(x)g(x) unterscheidet bzw. an der Stelle x1x_1 von der Krümmung der Funktion  h(x)h(x) unterscheidet.

Dadurch kommt es an den Übergangsstellen zu einem sogenannten „Krümmungsruck“.

Gesucht ist nun eine Funktion 4. Grades m(x)m(x) zur Verbindung der beiden Stichstraßen. Die Anschlussstellen sollen "versatzfrei" sein, keinen „Knick“ aufweisen und "krümmungsruckfrei"sein.

Hinweis: Ein „krümmungsruckfreier“ Übergang an einer Stelle x0x_0 bzw. x1x_1 ist möglich, wenn die Bedingungen m(x0)=g(x0)m''(x_0)=g''(x_0) bzw. m(x1)=h(x1)m''(x_1)=h''(x_1)

erfüllt sind. 

7

Zwischen zwei Stadtteilen befindet sich in der Nähe des Punktes A(12)A(1\vert2) ein Naturdenkmal.

Die Stadt möchte in zwei Bauabschnitten zunächst vom Stadtteil 11 eine gerade Straße g(x)g(x) zum Punkt  AA bauen. Im 22. Bauabschnitt soll dann eine Straßenverbindung von AA zum Punkt B(65)B(6\vert5) im Stadtteil 22 gebaut werden.

Die Punkte AA und BB sollen durch eine quadratische Polynomfunktion f(x)f(x) versatzfrei und knickfrei miteinander verbunden werden.

Im Punkt BB endet eine Stichstraße mit der Gleichung h(x)=2x7h(x) = 2x -7

Planungsvorschläge des Ingenieurbüros für mögliche gerade Verbindungsstraßen vom Stadtteil 11 bis zum Punkt AA.

a) Bei der Berechnung der „Straßenfunktionen“ sind beide Bauabschnitte zu berücksichtigen.

Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Straßen g(x)g(x) und f(x) f(x).

b) Zeichne die Funktionen g(x),h(x)g(x), h(x) und f(x)f(x) in ein Koordinatensystem.

c) Zeige, dass die in a) berechnete Funktion f(x)f(x) an den beiden

Anschlussstellen A A und BB einen Krümmungsruck erzeugt.

 d) Um das Kriterium der „Krümmungsruckfreiheit“ in den beiden Punkten AA und BB zu erfüllen, sucht das Ingenieurbüro eine Funktion 4. Grades k(x)k(x) zur Verbindung der beiden Punkte unter Berücksichtigung der Straßen g(x)g(x) und h(x)h(x).

Berechne die Funktion k(x)k(x).

8

In zwei  benachbarten Städten gibt es jeweils einen Kopf-oder Sackbahnhof.

In Stadt 1 befindet sich der Bahnhof am Punkt A(21)A(-2\vert -1) und in der Stadt 2 am Punkt B(46)B(4\vert 6).

Zum Punkt AA verlaufen die Gleise gemäß einer linearen Funktion g(x)=x+1g(x) = x+1. Die Gleise zum Punkt BB verlaufen gemäß h(x)=6h(x) = 6.

Um die Bahnverbindungen in Deutschland weiter auszubauen möchte die Deutsche Bahn die beiden Bahnhöfe mit einem Gleis verbinden.

a) Zeige, dass es keine quadratische Funktion f(x)f(x) zur Verbindung der beiden Bahnhöfe gibt. Die Anschlussstellen sollen versatzfrei und knickfrei sein.

b) Das Planungsbüro stellt der Projektleitung eine mögliche Gleisverbindung mit einer Funktion 3.3. Grades vor. Das Ergebnis ist in Abbildung 11 dargestellt.

Abb.1Abb.1: Verbindung der Bahnhöfe mit einer kubischen Funktion k(x)k(x)

Ein Mitarbeiter der Projektleitung bemängelt die fehlende „Krümmungsruckfreiheit“ an den Übergangspunkten.  Er weiß aus Erfahrung, dass eine Funktion 3.3. Grades nie an zwei Punkten gleichzeitig krümmungsruckfrei sein kann.

b1) Zeige allgemein, dass er Recht hat.

b2) Weise dies auch rechnerisch für die angegebene Funktion k(x)k(x) und die Punkte AA und BB nach.

c) Das Planungsbüro der Bundesbahn hat nun eine Funktion 5.5. Grades berechnet, die den Gleisverlauf beschreibt:

Abb.2 Abb. 2 Graph der Funktion m(x)m(x).

c1) Erläutere an Hand der Abbildung 22, dass die Krümmungsruckfreiheit im Punkt BB erfüllt ist.

c2) Zeige rechnerisch , dass auch im Punkt AA ein krümmungsruckfreier Übergang möglich ist.

9

Eine Gemeinde möchte in einem Gebirgsmassiv, in dem sich eine waagrecht verlaufende, geologisch interessante Schicht befindet, ein kleines Museum errichten, welches Besuchern einen Einblick in die Besonderheiten der Gesteinsformation geben soll.

Geplant ist ein Ausstellungsraum mit Erklärungstafeln, Tonbildschau und ähnlichem, der sich ca. 500 m weit innerhalb des Berges befinden soll, und zu dem die Besucher mit einer kleinen Bahn hingebracht werden.

Die Bahnstrecke soll dabei so geführt werden, dass die Besucher während der Fahrt einen möglichst guten Einblick in die interessante Gesteinsschicht bekommen.

Skizze nicht maßstabsgetreu

Nach dem Architektenentwurf liegt der Punkt, in dem der Zug in den Berg hineinfahren soll, 1,55 m oberhalb der Höhe der Gesteinsschicht.

Von dort aus verläuft die geplante Strecke in einer leicht geschwungenen Linie teils oberhalb, teils unterhalb der Schicht bis zu dem Ausstellungsraum.

Wählt man den oberen Rand der Gesteinsschicht als xx-Achse, und setzt am Einstiegspunkt der Bahn in den Berg x=0x=0, so wird der Höhenverlauf der Strecke für 0x5000\le x\le 500 angenähert beschrieben durch die Funktion ff mit

f:xy=2,5107x3+2,5104x20,0625x+1,55f:x\mapsto y=-2{,}5\cdot 10^{-7}\cdot x^3+ 2{,}5\cdot 10^{-4} \cdot x^2-0{,}0625\cdot x+1{,}55

wobei xx und yy in Metern gemessen werden.

a

Berechne den Neigungswinkel gegen die Horizontale, in dem der Zug im Punkt A(01.55)A(0|1.55) in den Berg einfährt.

b

Bestimme rechnerisch die Stelle x0x_0, an der die Bahnstrecke ihren tiefsten Punkt erreicht. Runde dabei auf zwei Stellen hinter dem Komma.

Wie tief unterhalb des unteren Randes der Gesteinsschicht liegt dieser Punkt, wenn die Gesteinsschicht ca. 80 cm dick ist?

(Teilergebnis: x0166,67x_0\approx 166{,}67)

c

Im Endpunkt E(500f(500))E(500|f(500)) fährt der Zug in den Ausstellungsraum ein. Begründe durch eine geeignete Rechnung, dass der Übergang von der geschwungenen Bahnstrecke auf den waagrecht liegenden Ausstellungsraum ohne Knick erfolgt.

d

Welche mittlere Steigung überwindet die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt der Strecke und dem Endpunkt EE?

An welchen Stellen ist die lokale Steigung gerade genauso groß wie diese mittlere Steigung?

e

Welche Steigung muss die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt und EE maximal bewältigen?


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