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Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung

Wie hängen Steigung und Fläche zusammen? Vertiefe dein Wissen über die Differential- und Integralrechnung mit diesen Übungsaufgaben!

  1. 1
    Achterbahn Angebot

    Eine Schaustellerfamilie ist seit Jahrzehnten mit ihrer Achterbahn auf Volksfesten vertreten. Nun bestellt sie bei einem Hersteller ein neues Modell.

    Sie erhält für den Aufstiegsteil der Bahn das abgebildete (nicht maßstabsgetreue) Angebot.

    Der zahnradbetriebene Aufstiegsteil dem die Mittelpunkte der Wagenräder folgen, beginnt demnach nach einer kurzen horizontalen Fahrt ohne Knick im Punkt AA und verläuft von da an nach der Funktion

    f(x)=0,1x(x215)+5f(x)=-0{,}1x(x^2-15)+\sqrt{5}

    1LE=10m1\,LE=10\,m

    bis zum höchsten Achterbahnpunkt BB, ab dem sich (wieder ohne Knick) eine kurze horizontale Strecke bis zur ersten Abfahrt anschließt.

    Im Familienkreis wird über das Angebot beraten.

    1. Der Seniorchef legt Wert darauf, dass die bisherige Achterbahnhöhe von 40 m von der neuen Bahn deutlich übertroffen wird.

      Sagt ihm das Angebot zu?

    2. Der Juniorchef ist als Ingenieur für die Sicherheit und den Energiebedarf der Bahn zuständig.

      Er möchte, dass die mittlere Steigung der Aufstiegsstrecke, die für den Energiebedarf der Bahn maßgeblich ist, den Wert 1 nicht übersteigt.

      Außerdem möchte er wissen, in welchen Punkten der Aufstiegsstrecke die lokale Steigung gleich der mittleren Steigung ist.

      Berechne die jeweiligen Werte.

    3. Aus Sicherheitsgründen für die Passagiere liegt ihm auch daran, dass im steilsten Punkt des Aufstiegs der lokale Steigungswinkel kleiner als 60° ist.

      Hat er einen Einwand?

    4. Achterbahn Neigunswinkel

      Außerdem möchte er sichergehen, dass der Neigungswinkel φ\varphi zwischen zwei knapp hintereinander gekoppelten Wagen kleiner als 25° ist, damit sich die Aufbauten der Wagen nicht berühren.

      Er berechnet diesen Winkel für die Situation, bei der sich die Vorderachse des ersten Wagens am Punkt P(1,5;f(1,5))P(-1{,}5;f(-1{,}5)) und die Hinterachse am Punkt A(5;0)A(-\sqrt{5};0) befindet.

      Wie groß ist dieser Winkel?

    5. Die Enkelin des Seniorchefs ist als Marketingleiterin von der Idee der Herstellerfirma begeistert, unter die Aufstiegsstrecke von AA bis BB ein Werbebanner zu spannen.

      Dessen Kosten veranschlagt der Hersteller mit 3000.-€ für die Befestigung und 8,50€ pro Quadratmeter für die Materialkosten. Die Familie ist allerdings nicht bereit, mehr als 10000.-€ für das Banner auszugeben.

      Wird das Banner bestellt?

    6. Die Urenkelin des Seniorchefs ist Abiturientin und empfiehlt der Familie eine bescheidenere Vegrößerung der Bahn.

      Sie rät, eine Aufstiegsfunktion der Form

              g(x)=ax3+bx2+cx+d  ;      1LE=10m\;\;\;\;g(x)= ax^3+bx^2+cx + d\;;\;\;\;1\,LE=10\,m

      so zu wählen, dass sich A(1;0)A(-1;0) als Startpunkt des Aufstiegsteils der Bahn und die größte lokale Steigung im Punkt P(1;g(1))P(1;g(1)) mit einem Steigungswinkel von 45° ergibt.

      Die Berechnung von g(x) bereitet ihr keine Probleme.

      Welche Höhe hätte die neue Achterbahn nach ihrem Vorschlag?

  2. 2

    Auf einem Streckenabschnitt soll eine Autobahnteilstrecke neu gebaut werden.

    Durch Steigungen und Gefälle können Probleme für die Verkehrsteilnehmer entstehen.Deshalb werden beim Neubau von Autobahnen Steigungen über 6%6\% vermieden.

    Das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke wird durch die Funktion h(x)=3x2+6h(x)=\dfrac3{x^2+6} beschrieben (siehe Figur 1).

    Graph der Steigung der Autobahn
    1. Begründe rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

    2. Im Intervall [-4;+4] soll die Autobahn daraufhin parabelförmig mit dem Höhenverlauf

      untertunnelt werden (siehe Figur 2 und die Vergrößerung in Figur 3).

      Bild
      Bild

      Kann die geplante Autobahnteilstrecke jetzt gebaut werden?

    3. Bestätige deine Rechenergebnisse z.B. mithilfe von Geogebra graphisch.

  3. 3

    Beim Neubau von Autobahnen werden Steigungen über 6% vermieden. Deshalb sind oft Untertunnelungen oder Geländeabtragungen nötig.

    Bei dieser Aufgabe wird das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke durch die Funktion

    beschrieben (siehe Fig. 1).

    Bild
    1. Begründe rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.

    2. Im Intervall [-2;+2] soll das Gelände daraufhin parabelförmig mit dem Höhenprofil

      abgetragen werden (siehe die Fig.2 und die Vergrößerung in Fig.3)

      Bild
      Bild

      Kann die Autobahn jetzt gebaut werden?

      Bestätige das Rechenergebnis graphisch, indem du z.B. in einem Geogebra-Applet die kritischen Steigungswerte überprüfst!

  4. 4

    Das Aufsprungprofil einer Skisprungschanze wird näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:

    Unter dem "K-Punkt" einer Sprungschanze versteht man den Aufsprungpunkt mit der geringsten Aufsprungbelastung für den Springer.

    Berechne die horizontale Entfernung des K-Punktes vom Schanzentisch sowie den Neigungswinkel der Aufsprungbahn im K-Punkt.

    Kurvendiskussion Graph

    Maßstab der Zeichnung: 1LE=50m1\,LE = 50\,{m}

  5. 5

    Eine Gemeinde möchte in einem Gebirgsmassiv, in dem sich eine waagrecht verlaufende, geologisch interessante Schicht befindet, ein kleines Museum errichten, welches Besuchern einen Einblick in die Besonderheiten der Gesteinsformation geben soll.

    Geplant ist ein Ausstellungsraum mit Erklärungstafeln, Tonbildschau und ähnlichem, der sich ca. 500 m weit innerhalb des Berges befinden soll, und zu dem die Besucher mit einer kleinen Bahn hingebracht werden.

    Die Bahnstrecke soll dabei so geführt werden, dass die Besucher während der Fahrt einen möglichst guten Einblick in die interessante Gesteinsschicht bekommen.

    Skizze: Berg mit waagr. Gesteinsschicht, Bahnverlauf, Ausstellungsraum

    Skizze nicht maßstabsgetreu

    Nach dem Architektenentwurf liegt der Punkt, in dem der Zug in den Berg hineinfahren soll, 1,55 m oberhalb der Höhe der Gesteinsschicht. Von dort aus verläuft die geplante Strecke in einer leicht geschwungenen Linie teils oberhalb, teils unterhalb der Schicht bis zu dem Ausstellungsraum.

    Wählt man den oberen Rand der Gesteinsschicht als xx-Achse, und setzt am Einstiegspunkt der Bahn in den Berg x=0x=0, so wird der Höhenverlauf der Strecke für 0x5000\le x\le 500 angenähert beschrieben durch die Funktion ff mit

    f:xy=2,5107x3+2,5104x20,0625x+1,55f:x\mapsto y=-2{,}5\cdot 10^{-7}\cdot x^3+ 2{,}5\cdot 10^{-4} \cdot x^2-0{,}0625\cdot x+1{,}55

    wobei xx und yy in Metern gemessen werden.

    1. Berechne den Neigungswinkel gegen die Horizontale, in dem der Zug im Punkt A(01.55)A(0|1.55) in den Berg einfährt.

    2. Bestimme rechnerisch die Stelle x0x_0, an der die Bahnstrecke ihren tiefsten Punkt erreicht. Runde dabei auf zwei Stellen hinter dem Komma. Wie tief unterhalb des unteren Randes der Gesteinsschicht liegt dieser Punkt, wenn die Gesteinsschicht ca. 80 cm dick ist? (Teilergebnis: x0166,67x_0\approx 166{,}67)

    3. Im Endpunkt E(500f(500))E(500|f(500)) fährt der Zug in den Ausstellungsraum ein. Begründe durch eine geeignete Rechnung, dass der Übergang von der geschwungenen Bahnstrecke auf den waagrecht liegenden Ausstellungsraum ohne Knick erfolgt.

    4. Welche mittlere Steigung überwindet die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt der Strecke und dem Endpunkt EE? An welchen Stellen ist die lokale Steigung gerade genauso groß wie diese mittlere Steigung?

    5. Welche Steigung muss die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt und EE maximal bewältigen?

  6. 6

    In zwei benachbarten Städten gibt es jeweils einen Kopf- oder Sackbahnhof.

    In Stadt 1 befindet sich der Bahnhof am Punkt A(21)A(-2\vert -1) und in der Stadt 2 am Punkt B(46)B(4\vert 6).

    Zum Punkt AA verlaufen die Gleise gemäß einer linearen Funktion g(x)=x+1g(x) = x+1. Die Gleise zum Punkt BB verlaufen gemäß h(x)=6h(x) = 6.

    Um die Bahnverbindungen in Deutschland weiter auszubauen, möchte die Deutsche Bahn die beiden Bahnhöfe mit einem Gleis verbinden.

    1. Zeige, dass es keine quadratische Funktion f(x)f(x) zur Verbindung der beiden Bahnhöfe gibt. Die Anschlussstellen sollen versatzfrei und knickfrei sein.

    2. Das Planungsbüro stellt der Projektleitung eine mögliche Gleisverbindung mit einer Funktion 3.3. Grades vor. Das Ergebnis ist in Abbildung 11 dargestellt.

      Abb.1 : Verbindung der Bahnhöfe mit einer kubischen Funktion k(x)

      Abb.1Abb.1: Verbindung der Bahnhöfe mit einer kubischen Funktion k(x)k(x)

      Ein Mitarbeiter der Projektleitung bemängelt die fehlende „Krümmungsruckfreiheit“ an den Übergangspunkten.  Er weiß aus Erfahrung, dass eine Funktion 3.3. Grades nie an zwei Punkten gleichzeitig krümmungsruckfrei sein kann.

      Teilaufgabe 1. Zeige allgemein, dass er Recht hat.

      Teilaufgabe 2. Weise dies auch rechnerisch für die angegebene Funktion k(x)k(x) und die Punkte AA und BB nach.