Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung

Eine Schaustellerfamilie ist seit Jahrzehnten mit ihrer Achterbahn auf Volksfesten vertreten. Nun bestellt sie bei einem Hersteller ein neues Modell.

Sie erhält für den Aufstiegsteil der Bahn das abgebildete (nicht maßstabsgetreue) Angebot.

Der zahnradbetriebene Aufstiegsteil dem die Mittelpunkte der Wagenräder folgen, beginnt demnach nach einer kurzen horizontalen Fahrt ohne Knick im Punkt $A$ und verläuft von da an nach der Funktion

$f(x)=-0{,}1x(x^2-15)+\sqrt{5}$

$1\,LE=10\,m$

bis zum höchsten Achterbahnpunkt $B$ , ab dem sich (wieder ohne Knick) eine kurze horizontale Strecke bis zur ersten Abfahrt anschließt.

Im Familienkreis wird über das Angebot beraten.

Der Seniorchef legt Wert darauf, dass die bisherige Achterbahnhöhe von 40 m von der neuen Bahn deutlich übertroffen wird.

Sagt ihm das Angebot zu?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum

In dieser Aufgabe musst du das Extremum einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berechnen.

Dass die Bahn in den Punkten A und B "ohne Knick" verläuft, bedeutet, dass gelten muss:

$f'(x_A)=f'(x_B)=0$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}1x\left(x^2-15\right)+\sqrt{5}$
	↓	Am besten: x in die Klammer hineinmultiplizieren.
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}1\left(x^3-15x\right)+\sqrt{5}$
	↓	Die 1. Ableitung $f'(x)$ bilden.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}1\left(3x^2-15\right)$
	↓	$f′(x)$ Null setzen.
$\displaystyle -0{,}1\left(3x^2-15\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zeige, dass die 2. Ableitung für $x_A$ und $x_B$ von 0 verschieden ist.
$\displaystyle 3x^2-15$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_A$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{5}$
$\displaystyle x_B$	$=$	$\displaystyle +\sqrt{5}$
$\displaystyle f´´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}6x$
	↓	Setze $x_A$ und $x_B$ ein.

$f''(-\sqrt{5})\gt0$ und $f''(+\sqrt{5})\lt0$

Damit ist $A$ lokales Minimum und $B$ lokales Maximum der Funktion f.

Es gilt:

$f(-\sqrt{5})=-0{,}1\cdot(-\sqrt{5})\cdot(5-15)+\sqrt{5}=-\sqrt{5}+\sqrt{5}=0\;\;LE$

$f(+\sqrt{5})=-0{,}1(+\sqrt{5})\cdot(5-15)+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\approx4{,}47\;\;\;LE$

$B$ ist also der höchste Punkt des Aufstiegsteils der Bahn.

Für das Verhältnis $Rechnung:Wirklichkeit$ gilt $1\,LE:10\,m$ .

Die neue Achterbahn übertrifft demnach die alte Bahn mit einer Höhe von etwa 44,70 m deutlich.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Der Juniorchef ist als Ingenieur für die Sicherheit und den Energiebedarf der Bahn zuständig.
Er möchte, dass die mittlere Steigung der Aufstiegsstrecke, die für den Energiebedarf der Bahn maßgeblich ist, den Wert 1 nicht übersteigt.
Außerdem möchte er wissen, in welchen Punkten der Aufstiegsstrecke die lokale Steigung gleich der mittleren Steigung ist.
Berechne die jeweiligen Werte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Zur Lösung musst du wissen, wie man Geradensteigungen berechnet.
Die mittlere Steigung im Aufstiegsteil der Bahn ist die Steigung $m_{[AB]}$ der Strecke $[AB]$ .
Es gilt:
$\displaystyle m_{[AB]}=\frac{f(x_b)-f(x_A)}{x_B-x_A}=\frac{2\sqrt{5}-0}{2\sqrt{5}}=1$
Die Steigung 1 ist der Tangens des Steigungswinkels $\alpha$ .
$tan\;\alpha=1$
$\alpha=tan^{-1}(1)=45°$
Der mittlere Steigungswinkel der neuen Achterbahn beträgt 45°.
Die mittlere Steigung des Aufstiegsteils der neuen Bahn entspricht mit dem Wert 1 bzw. dem Steigungswinkel 45° den Erwartungen des Juniorchefs.
So berechnet man die Punkte der Aufstiegsfunktion $f$ in denen die lokale Steigung gleich der berechneten mittleren Steigung ist:
Setze $f'(x)=1$ und löse die Gleichung nach x auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}-0{,}3(x^2-5)&=1\\x^2-5&=-\frac{10}{3}\\x^2&=\frac{5}{3}\\x_{1{,}2}&=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}\approx\pm1{,}30\end{aligned}$
Einsetzen der Werte in f(x).
$\displaystyle f(-\sqrt{\frac{5}{3}})=-0{,}1\cdot(-\sqrt{\frac{5}{3}})(\frac{5}{3}-15)+\sqrt{5}\approx0{,}51$
$\displaystyle f(+\sqrt{\frac{5}{3}})=-0{,}1\cdot(+\sqrt{\frac{5}{3}})(\frac{5}{3}-15)+\sqrt{5}\approx3{,}96$
Die beiden gesuchten Punkte sind:
$P_1(-1{,}30\,; 0{,}51)$ und $P_2(+1.30\,; 3{,}96)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Aus Sicherheitsgründen für die Passagiere liegt ihm auch daran, dass im steilsten Punkt des Aufstiegs der lokale Steigungswinkel kleiner als 60° ist.
Hat er einen Einwand?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung
In dieser Aufgabe musst du die Steigung im Wendepunkt einer Funktion berechnen.
Die Wendepunkte ganzrationaler Funktionen sind Stellen mit lokal größtem Steigungsbetrag.
f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades und hat als solche genau einen Wendepunkt.
Zu berechnen ist also die Steigung im Wendpunkt der Funktion f-
$f(x)= -0{,}1x(x^2-15x) + \sqrt{5}$
$f'(x)=-0{,}1(3x^2-15)$
$f''(x)=-0{,}6x$
Setze die 2. Ableitung 0.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}-0{,}6x&=0\;\;|\;:\,-0{,}6\\x&=0 \end{aligned}$
Berechne die Steigung für x = 0.
$f'(0)=-0{,}1\cdot(3\cdot0-15)=1{,}5$
Die Steigung ist der Tangens des Neigungswinkels
$tan\,\alpha=1{,}5\Rightarrow\alpha=tan^{-1}(1{,}5)=56{,}3°$
Ergebnis:
Im steilsten Punkt des Anstiegs ist der Neigungswinkel kleiner als 60°. Der Juniorchef hat auch in dieser Hinsicht keine Einwände gegen die neue Bahn.
Vertiefung der Aufgabenstellung
Eine Wagensteigung ist die durch den Abstand der Vorder- und Hinterachse bedingte mittlere Steigung des Wagens an einer bestimmten Stelle der Bahn.
Im nachfolgenden Applet kann man die Wagensteigungen während der Auffahrt verfolgen und ablesen. Ziehe dazu den vorderen Wagen am Punkt A.
Was auffällt: Die Wagensteigung erreicht - als mittlerer Steigungswert - an keiner Stelle den maximalen lokalen Steigungswert 1,5.
Bei einem angenommenen Achsenabstand von 1 LE ist die größte Wagensteigung während der Auffahrt mit 1,492 kleiner als 1,5. Prüfe dies am Applet oder auch rechnerisch nach.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Außerdem möchte er sichergehen, dass der Neigungswinkel $\varphi$ zwischen zwei knapp hintereinander gekoppelten Wagen kleiner als 25° ist, damit sich die Aufbauten der Wagen nicht berühren.
Er berechnet diesen Winkel für die Situation, bei der sich die Vorderachse des ersten Wagens am Punkt $P(-1{,}5;f(-1{,}5))$ und die Hinterachse am Punkt $A(-\sqrt{5};0)$ befindet.
Wie groß ist dieser Winkel?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel im Dreieck
Für den mittleren Steigungswinkel $\alpha$ eines Achterbahnwagens und dem Neigungswinkel $\varphi$ der Aufbauten der hier einander folgenden Wagen gilt: $\alpha=\varphi$ .
Nachweis:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\alpha+90°+(90°-\varphi)&=180°\\\alpha-\varphi+180°&=180°\\\alpha&=\varphi\end{aligned}$
Für die mittlere Steigung $m$ des führenden Wagens gilt bei der Funktion
$f(x)=-0{,}1x(x^2-15)+\sqrt{5}$
und den Punkten $A(-\sqrt{5};0)$ und $P(-1{,}5;f(-1{,}5))$
$\displaystyle m\approx\frac{0{,}32-0}{-1{,}5+\sqrt{5}}\approx0{,}44$
Somit: $\;\;\;tan\;\alpha\approx0{,}44$
und $\;\;\;\;\;\;\alpha\approx23{,}7°$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Die Enkelin des Seniorchefs ist als Marketingleiterin von der Idee der Herstellerfirma begeistert, unter die Aufstiegsstrecke von $A$ bis $B$ ein Werbebanner zu spannen.
Dessen Kosten veranschlagt der Hersteller mit 3000.-€ für die Befestigung und 8,50€ pro Quadratmeter für die Materialkosten. Die Familie ist allerdings nicht bereit, mehr als 10000.-€ für das Banner auszugeben.
Wird das Banner bestellt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Hier musst du eine Flächenberechnung mit Hilfe eines bestimmten Integrals durchführen.
Gegeben ist die Funktion
$f(x)=-0{,}1x(x^2-15)+\sqrt{5}$
mit den Punkten $A(-\sqrt{5};0)$ und $B(\sqrt{5};f(\sqrt{5}))$ .
Für die Bannerfläche $F_{Banner}$ gilt dann:
$F_{Banner}=\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}f(x)\mathrm{d}x$
Berechne das bestimmte Integral.
$\displaystyle F_{Banner}=\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}(-0{,}1x(x^2-15)+\sqrt{5})\mathrm{d}x$
Funktionsterm umformen
$\displaystyle\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}\left(-0{,}1x^3+1{,}5x+\sqrt{5}\right)\mathrm{d}x$
Integral mit Stammfunktion berechnen
$=\left[-\frac{1}{40}x^4+0{,}75x^2+\sqrt{5}x\right]_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}$
obere und untere Grenze einsetzen
$\displaystyle\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;=\left(-\frac{25}{40}+\frac{15}{4}+5\right)-\left(-\frac{25}{40}+\frac{15}{4}-5\right)=10$
Da für den gezeichneten Funktionsgraphen gilt $1\,LE=10\,m$ , ergibt sich für die Flächeneinheit $1\,FE=100\,m^2.$
Die Fläche des angebotenen Werbebanners beträgt demnach $1000\,m^2$ .
Ergebnis:
Die Gesamtkosten des Angebots für das Werbebanner betragen somit:
8500.- € (Materialkosten) + 3000.- € (Anbringung) = 11500.- €
Das Angebot wird abgelehnt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Die Urenkelin des Seniorchefs ist Abiturientin und empfiehlt der Familie eine bescheidenere Vegrößerung der Bahn.

Sie rät, eine Aufstiegsfunktion der Form

$\;\;\;\;g(x)= ax^3+bx^2+cx + d\;;\;\;\;1\,LE=10\,m$

so zu wählen, dass sich $A(-1;0)$ als Startpunkt des Aufstiegsteils der Bahn und die größte lokale Steigung im Punkt $P(1;g(1))$ mit einem Steigungswinkel von 45° ergibt.

Die Berechnung von g(x) bereitet ihr keine Probleme.

Welche Höhe hätte die neue Achterbahn nach ihrem Vorschlag?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssystem

Hier musst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen.

Gesucht wird eine ganzrationale Funktion dritten Grades der Form

$\displaystyle g(x)=\color{red}{a}x^3+\color{red}{b}x^2+\color{red}{c}x+\color{red}{d}$ .

Zur Berechnung der vier unbekannten Parameter $a,b,c$ und $d$ benötigt man vier Gleichungen, die man aus den gegebenen Angaben entnimmt.

Man benötigt also ein Gleichungssystem von vier Gleichungen mit vier Gleichungen.

$A(-1;0)$ ist gegebener Punkt von $g$ .

$g(-1)=0$

$A$ ist der Startpunkt der Steigungsstrecke.

$g'(-1)=0$

In $P(1;g(1))$ beträgt die Steigung 1.

$g'(1)=tan\;45°=1$

Als Punkt mit dem größten Steigungsbetrag ist $P$ der Wendepunkt des Funktionsgraphen.

$g''(1)=0$

Stelle die vier Gleichungen mit den zugehörigen Funktionstermen zu einem Gleichungssystem zusammen und löse dieses.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\,\,g(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\\,g'(x)&=3ax^2+2bx+c\\g''(x)&=6ax+2b\end{aligned}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rcrcrcrcr}\mathrm{I}&-a&+&b&-&c&+&d&=&0\\\mathrm{II}&3a&-&2b&+&c&& & =&0\\ \mathrm{III}&3a&+&2b&+&c&&&=&1\\\mathrm{IV}&6a&+&2b&&&&&=&0\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rccc}\mathrm{II-III}&-4b&=&-1\;\;\:\;|:-4\\&\color{red}{b}&\color{red}{=}\color{red}{\frac14}\end{array}$

$b=\frac14$ in $\mathrm{I,II,III\;\text{und}\;IV}$ einsetzen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccccr}\mathrm{I'}&-a&-&c&+&d&=&-\frac14\\\mathrm{II'}&3a&+&c&&&=&\frac12\\\mathrm{III'}&3a&+&c&&&=&\frac12\\\mathrm{IV'}&6a&+&\frac12&&&=&0\Rightarrow\\&&&&&\color{red}{a}&\color{red}{=}&\color{red}{-\frac{1}{12}}\end{array}$

$a=-\frac{1}{12} \;\text{in}\;II'\; \text{oder III'}\;\text{einsetzen}$

$\hphantom{IV'6a+1+x+y}3\cdot(-\frac{1}{12})+c=\frac{1}{2}\;\;|+\frac14$

$\hphantom{IV'6a+1+x+y+x+x+x}\color{red}{c=\frac34}$

$a, b, c$ in $I$ einsetzen

$\displaystyle\hphantom{IV'6a+x+x}\frac{1}{12}+\frac14-\frac34+d=0$

$\hphantom{IV'6a+x+y+x+x+x+x\,}\color{red}{d=\frac{5}{12}}$

Die von der Urenkelin vorgeschlagene Funktion $g$ lautet somit:

$\displaystyle g(x)=-\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4} x+\frac{5}{12}$

Die Aufstiegshöhe der Bahn ergibt sich als Funktionswert des Punktes $B(x;g(x))$ mit $g'(x)=0$ .

$\displaystyle g´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$
$\displaystyle -\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot\left(-4\right)$
$\displaystyle x^2+2x+3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	z.B. Mitternachtsformel anwenden oder Zerlegung in Linearfaktoren.
$\displaystyle \left(x+1\right)\left(x-3\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	liefert den Startpunkt $A(-1;0)$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	liefert den höchsten Punkt $B(3;g(3))$ $= 8/3 LE$

Ergebnis:

Wegen $1\,LE=10\,m$ erreicht die von der Urenkelin vorgeschlagene Achterbahn eine Höhe von rund $26{,}7\,m$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇