Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung

Das Aufsprungprofil einer Skisprungschanze wird näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:

\displaystyle f:x\mapsto\frac{48}{x^2+12}

Unter dem "K-Punkt" einer Sprungschanze versteht man den Aufsprungpunkt mit der geringsten Aufsprungbelastung für den Springer.

Berechne die horizontale Entfernung des K-Punktes vom Schanzentisch sowie den Neigungswinkel der Aufsprungbahn im K-Punkt.

Maßstab der Zeichnung: $1\,LE = 50\,{m}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Aus physikalischen Gründen ist der K-Punkt die steilste Stelle der Aufsprungbahn. Mathematisch ist demnach der Wendepunkt der Funktion $f$ zu berechnen.

Bilde mithilfe der Quotientenrgel die Ableitung von $f$ :

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f'(x) &=& \dfrac{0\cdot \left(x^2+12\right)-48\cdot 2x} {\left(x^2+12\right)^2}\\\\ &=& \dfrac{-96x}{\left(x^2+12\right)^2} \end{array}

Bilde mithilfe der Quotientenregel die 2. Ableitung:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f''(x) &=& -96 \cdot \dfrac{1 \cdot \left(x^2+12\right)^2-x\cdot2\left(x^2+12\right)\cdot 2x}{\left(x^2+12\right)^4} \\\\ &=& -96 \cdot \dfrac{\left(x^2+12\right)\left(x^2+12-4x^2\right)} {\left(x^2+12\right)^4} \\\\ &=& -96 \cdot\dfrac{12-3x^2}{\left(x^2+12\right)^3} \\\\ &=& 288 \cdot \dfrac{x^2-4}{\left(x^2+12\right)^3} \end{array}$

Setze nun die 2. Ableitung Null und bestätige den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung an ihrer Nullstelle und damit das Vorliegen eines Wendepunktes.

\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 288 \cdot\displaystyle\frac{x^2-4}{\left(x^2+12\right)^3} &= &0 &|:288 \cdot \left(x^2+12\right)^3 \\ x^2-4 &= &0 &|+4 \\x^2&= &4 &|\sqrt{} \\x&= &\pm2 \end{array}

Beachte, dass $f$ nur für positive $x$ definiert ist.

$f^{''} (x)$ besitzt für $x = 2$ einen Vorzeichenwechsel, da gilt:

\displaystyle f''(2 - h) < 0 \qquad\text{und}\qquad f''(2 + h) > 0

Erstes Teilergebnis:

Der K-Punkt ist also $50\,\text{m}\cdot2=100\,\text{m}$ horizontal vom Schanzentisch entfernt. (Dies ergibt eine "Großschanze".)

Berechne $f^{'} (2)$ um den Neigungswinkel der Aufsprungbahn an der K-Linie zu erhalten.

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} f'(x) &=& \dfrac{-96x}{(x^2+12)^2}\\\\ f'(2) &=& \dfrac{-96\cdot2}{16^2}=-0{,}75 \end{array}

Benutze die Umkehrfunktion arctan des Tangens.

\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=-0{,}75\Rightarrow\alpha=\arctan(-0{,}75)\approx-36{,}9^\circ

Zweites Teilergebnis:

Der Betrag des Neigungswinkels im K-Punkt (dem steilsten Aufsprungbereich) beträgt rund $36,9 °$ .

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