Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung

Bei einer Messung wurden folgende Datenpaare ermittelt:

$(1|0{,}8), (2|1{,}3), (3|2), (4|1{,}8), (5|2{,}3), (6|3{,}2), (7|4{,}2), (8|4{,}5), (9|6), (10|6{,}5)$

Zeichne in ein Koordinatensystem ein Streudiagramm der Daten.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem
Datenpunkte im Koordinatensystem
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Übertrage die Daten in ein Koordinatensystem
Zeichne nach Augenmaß eine Ausgleichsgerade ein und gib ihre Gleichung an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Ausgleichsgerade nach Augenmaß
Die Steigung der Ausgleichsgeraden nach Augenmaß ist $m=\dfrac{7}{11{,}3}\approx 0{,}62$ .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|-0{,}3)$ .
$\Rightarrow\;y_{\text{Ausgleichsgerade}}=0{,}62\cdot x-0{,}3$
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Zeichne nach Augenmaß eine Gerade, die teils oberhalb, teils unterhalb der Datenpunkte liegt
Berechne mit einem Taschenrechner (z.B CASIO fx-991DE PLUS) oder mit Excel die Gleichung einer Regressionsgeraden. Gib auch den Korrelationskoeffizienten $r$ an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regression
Lösung mit einem Taschenrechner
Mit dem CASIO fx-991DE PLUS erhält man folgende Gleichung der Regressionsgeraden:
$y=0{,}6352\cdot x-0{,}2333$
Der Korrelationskoeffizient ist hier $r =0{,}976$ (gute Anpassung).
Lösung mit Excel
Lineare Regression mit Excel
Mit Excel erhält man das gleiche Ergebnis wie mit dem Taschenrechner.
Hier ist allerdings $R^2=0{,}9519$ angegeben $\;\Rightarrow\;r=\sqrt{0{,}9519}\approx0{,}976$ .
(Der Korrelationskoeffizient ist identisch mit dem Ergebnis des TR.)
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Gib die Daten in Deinen TR ein und lasse Dir eine Regressionsgerade $Y=A+B\cdot X$ berechnen.
Lies den Korrelationskoeffizienten $r$ ab.
Zeichne die mit dem TR berechnete Regressionsgerade in das Koordinatensystem aus Aufgabe b) ein und vergleiche die beiden Geraden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
grün: Ausgleichsgerade nach Augenmaß orange: Regressionsgerade
Vergleich:
Die beiden Geraden stimmen recht gut überein.
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Zeichne die berechnete Gerade in das Koordinatensystem ein.
Vergleiche.

Welchen y-Wert erwartet man für $x=15$ ?

Benutze die Gleichung der berechneten Regressionsgeraden.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 0{,}6352\cdot x-0{,}2333$
	↓	Setze $x=15$ ein.
	$=$	$\displaystyle 0{,}6352\cdot 15-0{,}2333$
	$=$	$\displaystyle 9{,}295$

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Lösung mit einem Taschenrechner

Lösung mit Excel

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Vergleich:

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