Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung

Bei einer Messung wurden folgende Datenpaare ermittelt:

$(1 | 0,8), (2 | 1,3), (3 | 2), (4 | 1,8), (5 | 2,3), (6 | 3,2), (7 | 4,2), (8 | 4,5), (9 | 6), (10 | 6,5)$

Zeichne in ein Koordinatensystem ein Streudiagramm der Daten.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem
Datenpunkte im Koordinatensystem
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Übertrage die Daten in ein Koordinatensystem
Zeichne nach Augenmaß eine Ausgleichsgerade ein und gib ihre Gleichung an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Ausgleichsgerade nach Augenmaß
Die Steigung der Ausgleichsgeraden nach Augenmaß ist $m = \frac{7}{11,3} \approx 0,62$ .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_{y} (0 | - 0,3)$ .
$\Rightarrow y_{Ausgleichsgerade} = 0,62 \cdot x - 0,3$
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Zeichne nach Augenmaß eine Gerade, die teils oberhalb, teils unterhalb der Datenpunkte liegt
Berechne mit einem Taschenrechner (z.B CASIO fx-991DE PLUS) oder mit Excel die Gleichung einer Regressionsgeraden. Gib auch den Korrelationskoeffizienten $r$ an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Regression
Lösung mit einem Taschenrechner
Mit dem CASIO fx-991DE PLUS erhält man folgende Gleichung der Regressionsgeraden:
$y = 0,6352 \cdot x - 0,2333$
Der Korrelationskoeffizient ist hier $r = 0,976$ (gute Anpassung).
Lösung mit Excel
Lineare Regression mit Excel
Mit Excel erhält man das gleiche Ergebnis wie mit dem Taschenrechner.
Hier ist allerdings $R^{2} = 0,9519$ angegeben $\Rightarrow r = \sqrt{0,9519} \approx 0,976$ .
(Der Korrelationskoeffizient ist identisch mit dem Ergebnis des TR.)
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Gib die Daten in Deinen TR ein und lasse Dir eine Regressionsgerade $Y = A + B \cdot X$ berechnen.
Lies den Korrelationskoeffizienten $r$ ab.
Zeichne die mit dem TR berechnete Regressionsgerade in das Koordinatensystem aus Aufgabe b) ein und vergleiche die beiden Geraden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
grün: Ausgleichsgerade nach Augenmaß orange: Regressionsgerade
Vergleich:
Die beiden Geraden stimmen recht gut überein.
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Zeichne die berechnete Gerade in das Koordinatensystem ein.
Vergleiche.
Welchen y-Wert erwartet man für $x = 15$ ?
Benutze die Gleichung der berechneten Regressionsgeraden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Setze $x = 15$ in $y = 0,6352 \cdot x - 0,2333$ ein:
$y$ $=$ $0,6352 \cdot x - 0,2333$
↓
Setze $x = 15$ ein.
$=$ $0,6352 \cdot 15 - 0,2333$
$=$ $9,295$
Für $x = 15$ wird ein y-Wert von rund $9,3$ erwartet.
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Setze $x = 15$ in die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden ein.