Die zweite Ableitung

Für die Lösung dieser Aufgabe, solltest du die Produktregel beherrschen und die Krümmung eines Funktionsgraphen bestimmen können.

Zunächst bestimmen wir die 1. Ableitung der Funktion f. Wobei f gegeben ist durch $f:x\mapsto x\cdot \sin xf:\backslash ;x\backslash ;\backslash mapsto\; x\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash sin\; x$.

Folglich lautet die erste Ableitung von f: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sin x+x\cdot \cos x\backslash ;f\text{'}(x)\backslash ;=\backslash sin\; x\backslash ;+\backslash ;x\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash cos\; x$

Nun bestimmst du die 2. Ableitung.

Somit lautet die zweite Ableitung $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot \cos x-x\cdot \sin x\backslash ;f\text{'}\text{'}(x)\backslash ;=\backslash :2\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash cos\; x\backslash ;-\backslash ;x\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash sin\; x$

Nun bestimmst du noch $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)f\text{'}\text{'}(0)$, indem du $00$ in die zweite Ableitung einsetzt.

Im letzten Schritt gibst du das Krümmungsverhalten des Graphen von f in der Nähe des Koordinatenursprungs an.

Da $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=2f\text{'}\text{'}(0)\backslash ;=\backslash ;2\backslash ;$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2>0f\text{'}\text{'}(x)\backslash ;=\backslash :2\backslash ;>\backslash ;0$ ist f in der unmittelbaren Umgebung von $00$ linksgekrümmt.