Analysis II - lernen mit Serlo!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmung des Funktionsgraphen

Für die Lösung dieser Aufgabe, solltest du die Produktregel beherrschen und die Krümmung eines Funktionsgraphen bestimmen können.

Zunächst bestimmen wir die 1. Ableitung der Funktion f. Wobei f gegeben ist durch $f:\;x\;\mapsto x\;\cdot\;\sin x$ .

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left[x\cdot\sin x\right]´$
	↓	Im ersten Schritt wendest du die Produktregel an.
	$=$	$\displaystyle 1\cdot\sin x+x\cdot\cos x$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sin x+x\cdot\cos x$

Folglich lautet die erste Ableitung von f: $\;f'(x)\;=\sin x\;+\;x\;\cdot\;\cos x$

Nun bestimmst du die 2. Ableitung.

$\displaystyle f´´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left[\sin x+x\cdot\cos x\right]´$
	↓	Wende die Produktregel an.
	$=$	$\displaystyle \cos x+1\cdot\left(\cos x\right)+x\cdot\left(-\sin x\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \cos x+\cos x-x\cdot\sin x$
	↓	Fasse die beiden $\cos x$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\cos x-x\cdot\sin x$

Somit lautet die zweite Ableitung $\;f''(x)\;=\:2\;\cdot\;\cos x\;-\;x\;\cdot\;\sin x$

Nun bestimmst du noch $f''(0)$ , indem du $0$ in die zweite Ableitung einsetzt.

$\displaystyle f´´\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\cos\left(0\right)-0\cdot\sin\left(0\right)$
	↓	Rechne den Sinus und den Cosinus um.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot1-0$
	↓	Berechne.
	$=$	$\displaystyle 2$

Im letzten Schritt gibst du das Krümmungsverhalten des Graphen von f in der Nähe des Koordinatenursprungs an.

Da $f''(0)\;=\;2\;$ und $f''(x)\;=\:2\;>\;0$ ist f in der unmittelbaren Umgebung von $0$ linksgekrümmt.

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