Analysis II

Grenzwertbetrachtung

Nach $\mathbb{D}$ musst du den Grenzwert gegen $+\infty$ nicht untersuchen. Denn der Wert in der Klammer würde wegen $-x$ gegen $-\infty$ gehen.

Bestimme den Grenzwert gegen $-\infty$.

Bestimme den Grenzwert gegen die Asymptote 2013.

Die zweite Ableitung

Für die Lösung dieser Aufgabe, solltest du die Produktregel beherrschen und die Krümmung eines Funktionsgraphen bestimmen können.

Zunächst bestimmen wir die 1. Ableitung der Funktion f. Wobei f gegeben ist durch $f:\;x\;\mapsto x\;\cdot\;\sin x$.

Folglich lautet die erste Ableitung von f: $\;f'(x)\;=\sin x\;+\;x\;\cdot\;\cos x$

Nun bestimmst du die 2. Ableitung.

Somit lautet die zweite Ableitung $\;f''(x)\;=\:2\;\cdot\;\cos x\;-\;x\;\cdot\;\sin x$

Nun bestimmst du noch $f''(0)$, indem du $0$ in die zweite Ableitung einsetzt.

Im letzten Schritt gibst du das Krümmungsverhalten des Graphen von f in der Nähe des Koordinatenursprungs an.

Da $f''(0)\;=\;2\;$ und $f''(x)\;=\:2\;>\;0$ ist f in der unmittelbaren Umgebung von $0$ linksgekrümmt.

Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)

In der Aufgabenstellung ist die Funktion $d(x)\;=\;g(x)\;-\;h(x)$ und der Startwert $x_0=1\;$ gegeben.

$d(x)\;=g(x)\;-\;h(x)=\;e^{-x}\;-\;x^3\;$

mit der Ableitung $\;d'(x)\;=\:-\;e^{-x}\;-\;3x^2$

Nun beginnen wir mit der Interation, indem wir den Startwert einsetzen:

$x_2=x_1-\dfrac{d(x_1)}{d'(x_1)}=0{,}8123-\dfrac{e^{-0{,}8123}-(0{,}8123)^3}{-e^{-0{,}8123}-3\cdot0{,}8123^2}\approx0{,}7743$

$x_3\;=0{,}7743-\dfrac{e^{-0{,}7743}-(0{,}7743)^3}{-e^{-0{,}7743}-3\cdot0{,}7743^2}\;\approx0{,}7729$

Wir haben nun die Nullstelle auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt. Die Nullstelle hat näherungsweise die Koordinaten $(0{,}77/0)$.

Teilaufgabe a)

$F(0)=\int_0^xf(t)\;\operatorname dt\;=\int_0^0f(t)\operatorname dt = 0$

$\Rightarrow\;F(0)=0$ anschaulich können wir das Ergebnis so bestätigen, dass sich keine Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse befindet, da die obere Integralgrenze mit der unteren Integralgrenze übereinstimmt. Unsere Integralfunktion hat bei 0 eine Nullstelle.

$F(2)=\int_0^2f(t)\;\operatorname dt\;=\:\frac12\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\;=\:\frac12\cdot\mathrm\pi\;\cdot1\;=\;\frac{\mathrm\pi}2$

Der Flächeninhalt zwischen der Funktion $f(t)$ und der x-Achse von $0$ bis $2$ entspricht dem Flächeninhalt eines Halbkreises. Also ist der Wert der Integralfunktion $F(2)=\frac{\mathrm\pi}2$.

$F(-2)=\;\int_0^{-2}f(t)\operatorname dt=\lbrack F(t)\rbrack_0^{-2}\;=\:F(-2)\;-F(0)=\;-\;\frac12\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2=-\frac12\mathrm\pi\cdot1^2\;=\:-\frac{\mathrm\pi}2$

Der Flächeninhalt zwischen der Funktion $f(t)$ und der x-Achse von $-2$ bis $0$ entspricht dem Flächeninhalt des Halbkreises mit Radius $1$. Jedoch musst du auf das Vorueichen achten. Die obere Integralgrenze $-2$ liegt auf dem Zahlenstrahl links von der unteren Integralgrenze $0$. Deshalb hast du eine negatives Vorzeichen im Ergebnis.

Teilaufgabe b)

Für die Teilaufgabe b) nutzt du die Ergebnisse aus Teilaufgabe a). Dafür zeichnest du die Punkte $A(-2|-\frac{\mathrm\pi}2)$ und $B(0|0)$ und $C(2\vert\frac{\mathrm\pi}2)$ in die Abbildung ein und verbindest die Punkte durch die Strecke $[AC]$.