Analysis II - lernen mit Serlo!

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Newton-Verfahren

In der Aufgabenstellung ist die Funktion $d (x) = g (x) - h (x)$ und der Startwert $x_{0} = 1$ gegeben.

$d (x) = g (x) - h (x) = e^{- x} - x^{3}$

mit der Ableitung $d^{'} (x) = - e^{- x} - 3 x^{2}$

Nun beginnen wir mit der Interation, indem wir den Startwert einsetzen:

$x_{1}$	$=$	$x_{0} - \frac{d (x_{0})}{d ´ (x_{0})}$
	↓	Im ersten Schritt setzt du den Startwert $x_{0}$ , die Funktion $d (x_{0})$ und die Ableitung am Startwert $d^{'} (x_{0})$ ein.
$x_{1}$	$=$	$1 - \frac{e^{- 1} - 1^{3}}{- e^{- 1} - 3 \cdot 1^{2}}$
	↓	Nun vereinfachst du alle Potenzen.
$x_{1}$	$=$	$1 - \frac{e^{- 1} - 1}{- e^{- 1} - 3}$
	↓	Ziehe $(- 1)$ aus dem Nenner heraus.
$x_{1}$	$=$	$1 + \frac{e^{- 1} - 1}{e^{- 1} + 3}$
	↓	Runde das Ergebnis mithilfe des Taschenrechners.
$x_{1}$	$\approx$	$0,8123$

$x_{2} = x_{1} - \frac{d (x_{1})}{d^{'} (x_{1})} = 0,8123 - \frac{e^{- 0,8123} - (0,8123)^{3}}{- e^{- 0,8123} - 3 \cdot {0,8123}^{2}} \approx 0,7743$

$x_{3} = 0,7743 - \frac{e^{- 0,7743} - (0,7743)^{3}}{- e^{- 0,7743} - 3 \cdot {0,7743}^{2}} \approx 0,7729$

Wir haben nun die Nullstelle auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt. Die Nullstelle hat näherungsweise die Koordinaten $(0,77 / 0)$ .