Analysis II - lernen mit Serlo!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Newton-Verfahren

In der Aufgabenstellung ist die Funktion $d(x)\;=\;g(x)\;-\;h(x)$ und der Startwert $x_0=1\;$ gegeben.

$d(x)\;=g(x)\;-\;h(x)=\;e^{-x}\;-\;x^3\;$

mit der Ableitung $\;d'(x)\;=\:-\;e^{-x}\;-\;3x^2$

Nun beginnen wir mit der Interation, indem wir den Startwert einsetzen:

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle x_0-\dfrac{d\left(x_0\right)}{d´\left(x_0\right)}$
	↓	Im ersten Schritt setzt du den Startwert $x_{0}$ , die Funktion $d (x_{0})$ und die Ableitung am Startwert $d^{'} (x_{0})$ ein.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 1-\dfrac{e^{-1}-1^3}{-e^{-1}-3\cdot1^2}$
	↓	Nun vereinfachst du alle Potenzen.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 1-\dfrac{e^{-1}-1}{-e^{-1}-3}$
	↓	Ziehe $(- 1)$ aus dem Nenner heraus.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 1+\dfrac{e^{-1}-1}{e^{-1}+3}$
	↓	Runde das Ergebnis mithilfe des Taschenrechners.
$\displaystyle x_1$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}8123$

$x_2=x_1-\dfrac{d(x_1)}{d'(x_1)}=0{,}8123-\dfrac{e^{-0{,}8123}-(0{,}8123)^3}{-e^{-0{,}8123}-3\cdot0{,}8123^2}\approx0{,}7743$

$x_3\;=0{,}7743-\dfrac{e^{-0{,}7743}-(0{,}7743)^3}{-e^{-0{,}7743}-3\cdot0{,}7743^2}\;\approx0{,}7729$

Wir haben nun die Nullstelle auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt. Die Nullstelle hat näherungsweise die Koordinaten $(0,77 / 0)$ .

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