Stochastik II - lernen mit Serlo!

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Teilaufgabe a)

Kombinatorik

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für 1 bzw. 2 Frauen im Stadtrat, indem du die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten teilst:

$P (X = 1) = \frac{\overset{F r a u e n}{\overset{⏞}{(\binom{8}{1})}} \cdot \overset{M \ddot{a} n n e r}{\overset{⏞}{(\binom{4}{2})}}}{(\binom{12}{3})} = \frac{48}{220} = \frac{12}{55}$

$P (X = 2) = \frac{\overset{F r a u e n}{\overset{⏞}{(\binom{8}{2})}} \cdot \overset{M \ddot{a} n n e r}{\overset{⏞}{(\binom{4}{1})}}}{(\binom{12}{3})} = \frac{112}{220} = \frac{28}{55}$

Teilaufgabe b)

Erwartungswert und Varianz

Bestimme den Erwartungswert:

$E (X)$	$=$	$\sum_{k \in Ω}^{} k \cdot P (X = k)$
	↓	Setze die Werte aus Teilaufgabe a) ein.
	$=$	$0 \cdot \frac{1}{55} + 1 \cdot \frac{12}{55} + 2 \cdot \frac{28}{55} + 3 \cdot \frac{14}{55}$
	↓	Schreibe auf einen Bruch.
	$=$	$\frac{12 + 56 + 42}{55}$
	$=$	$\frac{110}{55}$
	$=$	$2$

Bestimme die Varianz:

$V (X)$	$=$	$E ((X - E (X))^{2})$
	↓	Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und den Erwartungswert ein.
	$=$	$\frac{1}{55} (0 - 2)^{2} + \frac{12}{55} (1 - 2)^{2} + \frac{28}{55} (2 - 2)^{2} + \frac{14}{55} (3 - 2)^{2}$
	↓	Rechne aus.
	$=$	$\frac{4}{55} + \frac{12}{55} + \frac{14}{55}$
	↓	Schreibe auf einen Bruch und vereinfache.
	$=$	$\frac{30}{55}$
	$=$	$\frac{6}{11}$

Teilaufgabe c)

Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße lässt sich über die Formel $E (X) = n \cdot p$ berechnen. Also gilt für die Zufallsgröße Y:

$E (Y) = n \cdot p = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

Die Varianz berechnet sich über die Formel $V (X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$ . Also gilt für die Zufallsgröße Y:

$V (Y) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Vergleiche die Varianz von X und Y durch Bildung des Hauptnenners. Dann folgt:

$V (Y) = \frac{2}{3} = \frac{22}{33} > \frac{18}{33} = \frac{6}{11} = V (X)$

Man kann dies auch anhand der Abbildungen erkennen. Die Zufallsgröße Y nimmt die Werte 0,1 und 3 jeweils mit größerer Wahrscheinlichkeit als die Zufallsgröße X an, d.h. bei der Zufallsgröße Y ist die Abweichung vom Erwartungswert 2 größer als bei der Zufallsgröße X. X nimmt hingegen den Erwartungswert 2 mit höherer Wahrscheinlichkeit als Y an.

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