Stochastik II - lernen mit Serlo!

Teilaufgabe a)

Kombinatorik

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für 1 bzw. 2 Frauen im Stadtrat, indem du die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten teilst:

$P(X=1)=\dfrac{\overbrace{\binom{8}{1}}^{Frauen}\cdot \overbrace{\binom{4}{2}}^{Männer}}{\binom{12}{3}}=\frac{48}{220}=\frac{12}{55}$

$P(X=2)=\dfrac{\overbrace{\binom{8}{2}}^{Frauen}\cdot \overbrace{\binom{4}{1}}^{Männer}}{\binom{12}{3}}=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}$

Teilaufgabe b)

Erwartungswert und Varianz

Bestimme den Erwartungswert:

$\displaystyle E\left(X\right)$	$=$	$\displaystyle \sum_{k\in\Omega}^{ }k\cdot P(X=k)$
	↓	Setze die Werte aus Teilaufgabe a) ein.
	$=$	$\displaystyle 0\cdot\frac{1}{55}+1\cdot\frac{12}{55}+2\cdot\frac{28}{55}+3\cdot\frac{14}{55}$
	↓	Schreibe auf einen Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{12+56+42}{55}$
	$=$	$\displaystyle \frac{110}{55}$
	$=$	$\displaystyle 2$

Bestimme die Varianz:

$\displaystyle V\left(X\right)$	$=$	$\displaystyle E((X-E(X))^2)$
	↓	Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und den Erwartungswert ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{55}(0-2)^2+\frac{12}{55}(1-2)^2+\frac{28}{55}(2-2)^2+\frac{14}{55}(3-2)^2$
	↓	Rechne aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{55}+\frac{12}{55}+\frac{14}{55}$
	↓	Schreibe auf einen Bruch und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac{30}{55}$
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{11}$

Teilaufgabe c)

Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße lässt sich über die Formel $E(X)=n\cdot p$ berechnen. Also gilt für die Zufallsgröße Y:

$E(Y)=n\cdot p = 3 \cdot \frac23 = 2$

Die Varianz berechnet sich über die Formel $V(X)=n \cdot p \cdot (1-p)$ . Also gilt für die Zufallsgröße Y:

$V(Y)=n\cdot p \cdot (1-p)=3 \cdot \frac23 \cdot \frac13 = \frac23$

Vergleiche die Varianz von X und Y durch Bildung des Hauptnenners. Dann folgt:

$V(Y)=\frac23=\frac{22}{33}>\frac{18}{33}=\frac{6}{11}=V(X)$

Man kann dies auch anhand der Abbildungen erkennen. Die Zufallsgröße Y nimmt die Werte 0,1 und 3 jeweils mit größerer Wahrscheinlichkeit als die Zufallsgröße X an, d.h. bei der Zufallsgröße Y ist die Abweichung vom Erwartungswert 2 größer als bei der Zufallsgröße X. X nimmt hingegen den Erwartungswert 2 mit höherer Wahrscheinlichkeit als Y an.