Stochastik II

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Teilaufgabe a)

Kombinatorik

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für 1 bzw. 2 Frauen im Stadtrat, indem du die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten teilst:

$P(X=1)=\dfrac{\overbrace{\binom{8}{1}}^{Frauen}\cdot \overbrace{\binom{4}{2}}^{Männer}}{\binom{12}{3}}=\frac{48}{220}=\frac{12}{55}$

$P(X=2)=\dfrac{\overbrace{\binom{8}{2}}^{Frauen}\cdot \overbrace{\binom{4}{1}}^{Männer}}{\binom{12}{3}}=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}$

Teilaufgabe b)

Erwartungswert und Varianz

Bestimme den Erwartungswert:

$\displaystyle E\left(X\right)$	$=$	$\displaystyle \sum_{k\in\Omega}^{ }k\cdot P(X=k)$
	↓	Setze die Werte aus Teilaufgabe a) ein.
	$=$	$\displaystyle 0\cdot\frac{1}{55}+1\cdot\frac{12}{55}+2\cdot\frac{28}{55}+3\cdot\frac{14}{55}$
	↓	Schreibe auf einen Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{12+56+42}{55}$
	$=$	$\displaystyle \frac{110}{55}$
	$=$	$\displaystyle 2$

Bestimme die Varianz:

$\displaystyle V\left(X\right)$	$=$	$\displaystyle E((X-E(X))^2)$
	↓	Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und den Erwartungswert ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{55}(0-2)^2+\frac{12}{55}(1-2)^2+\frac{28}{55}(2-2)^2+\frac{14}{55}(3-2)^2$
	↓	Rechne aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{55}+\frac{12}{55}+\frac{14}{55}$
	↓	Schreibe auf einen Bruch und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac{30}{55}$
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{11}$

Teilaufgabe c)

Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße lässt sich über die Formel $E(X)=n\cdot p$ berechnen. Also gilt für die Zufallsgröße Y:

$E(Y)=n\cdot p = 3 \cdot \frac23 = 2$

Die Varianz berechnet sich über die Formel $V(X)=n \cdot p \cdot (1-p)$ . Also gilt für die Zufallsgröße Y:

$V(Y)=n\cdot p \cdot (1-p)=3 \cdot \frac23 \cdot \frac13 = \frac23$

Vergleiche die Varianz von X und Y durch Bildung des Hauptnenners. Dann folgt:

$V(Y)=\frac23=\frac{22}{33}>\frac{18}{33}=\frac{6}{11}=V(X)$

Man kann dies auch anhand der Abbildungen erkennen. Die Zufallsgröße Y nimmt die Werte 0,1 und 3 jeweils mit größerer Wahrscheinlichkeit als die Zufallsgröße X an, d.h. bei der Zufallsgröße Y ist die Abweichung vom Erwartungswert 2 größer als bei der Zufallsgröße X. X nimmt hingegen den Erwartungswert 2 mit höherer Wahrscheinlichkeit als Y an.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Der Umfang zufolge hätte der Kandidat der Partei A etwa $50\ \%$ aller Stimmen erhalten, wenn die Wahl zum Zeitpunkt der Befragung stattgefunden hätte. Ein Erfolg im ersten Wahlgang, für den mehr als $50\ \%$ aller Stimmen erforderlich sind, ist demnach fraglich. Deshalb rät die von Partei A eingesetzte Wahlkampfberaterin in der Endphase des Wahlkampfs zu einer zusätzlichen Kampfberaterin in der Endphase des Wahlkampfs zu einer zusätzlichen Kampagne. Der Schatzmeister der Partei A möchte die hohen Kosten, die mit einer zusätzlichen Kampagne verbunden wären, jedoch möglichst vermeiden.

Um zu einer Entscheidung über die Durchführung einer zusätzlichen Kampagne zu gelangen, soll die Nullhypothese „Der Kandidat der Partei A würde gegenwärtig höchstens $50\ \%$ aller Stimmen erhalten." mithilfe einer Stichprobe von 200 Wahlberechtigten auf einem Signifikanzniveau von $5\ \%$ getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest

Gegeben ist die Nullhypothese $H_0: \mathrm{p\leq 0{,}5}$ bei einer Stichprobe von $n=200$ . Entsprechend ist die Gegenhypothese $H_1: p \geq 0{,}5$ . Die Nullhypothese wird somit bei allen Ergebnissen, die kleiner gleich als der Wert k sind, den die Entscheidungsregel angibt, angenommen und bei allen Werten, die größer als k sind verworfen. Es wird auf einem Signifikanzniveau von $5\ \%$ getestet, dies bedeutet, dass der Fehler 1. Art kleiner gleich als $5\ \%$ sein soll. Bezeichne mit $\mathrm X$ die Anzahl der Befragten, die angeben für den Kandidaten von Partei A zu stimmen. Die Angaben sind in der folgenden Tabelle nochmal in übersichtlicher Form dargestellt:

	$H_0$ wird angenommen	$H_1$ wird angenommen( $H_0$ wird verworfen)
	$0 \dots k$	$k+1 \dots 200$
$H_0: p\leq 0{,}5$		Fehler 1.Art $\leq 0{,}05$
$H_1: p> 0{,}5$

Bestimme nun die Entscheidungsregel. Schreibe dazu die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1.Art als Gleichung:

$\mathrm{P}_{0{,}5}^{200}(\mathrm{X}>k)\le 0{,}05$

Schreibe die Wahrscheinlichkeit in Form des Gegenereignisses, sodass die Wahrscheinlichkeit aus dem Tafelwerk der Stochastik abgelesen werden kann.

$1-\mathrm{P}_{0{,}5}^{200}(\mathrm{X}\le k)\le 0{,}05$

Stelle die Gleichung um.

$\mathrm{P}_{0{,}5}^{200}(\mathrm{X}\le k)\ge 0{,}95$

Bestimme den kleinsten $k$ -Wert, sodass die Wahrscheinlichkeit gerade noch über 0,95 liegt.

$\mathrm{P}_{0{,}5}^{200}(\mathrm{X}\le 111)=0{,}94947$

$\mathrm{P}_{0{,}5}^{200}(\mathrm{X}\le 112)=0{,}96158$

$\Rightarrow k=112$

Die Entscheidungsregel lautet also wie folgt: Bei 112 oder weniger Befragten, die den Kandidaten von Partei A wählen, wird die Nullhypothese angenommen, bei 113 oder mehr wird sie verworfen.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Begründen Sie, dass die Wahl der Nullhypothese für den beschriebenen Test in Einklang mit dem Anliegen der Wahlkampfberaterin steht, einen Erfolg bereits im ersten Wahlgang zu erreichen.

In einer Großstadt steht die Wahl des Oberbürgermeisters bevor. $12\ \%$ der Wahlberechtigten sind Jungwähler, d. h. Personen im Alter von 18 bis 24 Jahren. Vor Beginn des Wahlkampfs wird eine repräsentative Umfrage unter den Wahlberechtigten durchgeführt. Der Umfrage zufolge haben sich $44\ \%$ der befragten Wahlberechtigten bereits für einen Kandidaten entschieden. Jeder Siebte derjenigen Befragten, die sich noch nicht für einen Kandidaten entschieden haben, ist Jungwähler.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

J: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person ist Jungwähler.“

K: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hat sich bereits für einen Kandidaten entschieden.“

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Aus der Angabe können folgende Werte entnommen werden:
$P(J)=12\%=0{,}12$
$P(K)=44\%=0{,}44$
$P(\overline{K}\cap J)=\frac{1}{7}\cdot P(\overline{K})$
Berechne zunächst $P(\overline K)$ und $P(\overline J)$ .
$P(\overline{K})=1-P(K)=1-0{,}44=0{,}56$
$P(\overline{J})=1-P(J)=1-0{,}12=0{,}88$
$\Rightarrow P(\overline{K}\cap J)=\frac{1}{7}\cdot 0{,}56=0{,}08$
Nun kannst du die restlichen Werte berechnen und die Ergebnisse in eine Vierfeldertafel eintragen.
$P(\overline{K}\cap\overline{J})=P(\overline{K})-P(K\cap\overline{J})=0{,}56-0{,}08=0{,}48$
$P(K\cap\overline{J})=P(\overline{J})-P(\overline{K}\cap\overline{J})=0{,}88-0{,}48=0{,}40$
$P(K\cap J)=P(K)-P(K\cap\overline{J})=0{,}44-0{,}40=0{,}04$
$K$
$\overline K$
$J$
$0{,}04$
$0{,}08$
$0{,}12$
$\overline J$
$0{,}40$
$0{,}48$
$0{,}88$
$0{,}44$
$0{,}56$
$1$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

	$K$	$\overline K$
$J$	$0{,}04$	$0{,}08$	$0{,}12$
$\overline J$	$0{,}40$	$0{,}48$	$0{,}88$
	$0{,}44$	$0{,}56$	$1$

Zeigen Sie, dass $P_J(\overline{K})>P_{\overline{J}}(\overline{K})$ git. Begründen Sie, dass es trotz der Gültigkeit dieser Ungleichung nicht sinnvoll ist, sich im Wahlkampf vorwiegend auf die Jungwähler zu konzentrieren.

Der Kandidat der Partei A spricht an einem Tag während seines Wahlkampfs 48 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau sechs Jungwähler befinden.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle P_J(\overline{K})$	$=$	$\displaystyle \frac{P(J\cap\overline{K})}{P(J)}$
	↓	Setze die Werte ein und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}08}{0{,}12}$
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{12}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}67$

$\displaystyle P(\mathrm{X}=6)$	$=$	$\displaystyle B(48;0{,}12;6)$
	$=$	$\displaystyle \binom{48}{6}\cdot0{,}12^6\cdot0{,}88^{48-6}$
	↓	Rechne aus.
	$=$	$\displaystyle \binom{48}{6}\cdot0{,}12^6\cdot0{,}88^{42}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}171$
	$=$	$\displaystyle 17{,}1\%$