Schrägbild des Prismas $ABCDEF$

Für die Zeichnung gilt: $q=\mathrm{0,5};$ $\omega ={45}^{\circ }$.

Zeichnen Sie die Strecke $[NK]$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Winkel $NKF$ gilt: $\sphericalangle NKF={\mathrm{66,59}}^{\circ }$.

Im gleichseitigen Dreieck $DEF$ gilt für die Höhe $\overline{NF}$:

$\overline{NF}={\displaystyle \frac{\overline{DE}}{2}}\cdot \sqrt{3}={\displaystyle \frac{8\text{cm}}{2}}\cdot \sqrt{3}=4\cdot \sqrt{3}\text{cm}$

Im Dreieck $NFK$ gilt dann für den Winkel $\sphericalangle NKF$:

$\tan \sphericalangle NKF={\displaystyle \frac{\overline{NF}}{\overline{FK}}}={\displaystyle \frac{4\cdot \sqrt{3}\text{cm}}{3\text{cm}}}={\displaystyle \frac{4\cdot \sqrt{3}}{3}}$

$\Rightarrow \sphericalangle NKF={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{4\cdot \sqrt{3}}{3}}\right)={\mathrm{66,59}}^{\circ }$.

Zeichnen Sie die Strecke $[M{P}_1]$ und das Dreieck $A{P}_{1}B$ für $\phi ={30}^{\circ }$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Länge der Strecken $[M{P}_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus dem Prisma.

Für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $A{P}_{n}B$ gilt: $A\ge \mathrm{33,04}{\text{cm}}^2$

Nach Aufgabe c) (B 2.3) haben die Winkel $\sphericalangle NM{P}_n$ das Maß $\phi$, mit $\phi \in ]0^{\circ };{\mathrm{49,11}}^{\circ }]$.

Demnach gilt $\sin (\phi +{\mathrm{66,59}}^{\circ })\le 1$.

Für die Strecke $[M{P}_n]$ folgt dann wegen $\overline{M{P}_n}(\phi )={\displaystyle \frac{\mathrm{8,26}}{\sin (\phi +\mathrm{66,59}°)}}\text{cm}$:

$\overline{M{P}_n}\ge \mathrm{8,26}\text{cm}$

Die Dreiecksfläche berechnet man mit $A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot h$.

Mit $g=\overline{AB}=8\text{cm}$ und $h=\overline{M{P}_n}\ge \mathrm{8,26}\text{cm}$ erhält man dann:

Zeichnen Sie die Pyramide $ADEB{P}_1$ und ihre Höhe $[P_1{H}_1]$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen $V$der Pyramiden $ADEB{P}_n$ in Abhängigkeit von $\phi$

$V_{\text{Pyramide}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h$

Dabei ist die Grundseite $G$ ein Rechteck mit den Seitenlängen $\overline{AB}=8\text{cm}$ und $\overline{AD}=9\text{cm}.$

Die Höhe $h$ wird mit dem Sinus berechnet. Im rechtwinkligen Dreieck $M{H}_1{P}_1$ gilt:

$\sin \phi ={\displaystyle \frac{\overline{P_n{H}_n}}{\overline{M{P}_n}}}\Rightarrow h=\overline{P_n{H}_n}=\overline{M{P}_n}\cdot \sin \phi$

Dabei ist aus d) (B2.4) bekannt: $\overline{M{P}_n}(\phi )={\displaystyle \frac{\mathrm{8,26}}{\sin (\phi +{\mathrm{66,59}}^{\circ })}}\text{cm}$.

Es folgt dann:

$\overline{P_n{H}_n}(\phi )=\overline{M{P}_n}\cdot \sin \phi ={\displaystyle \frac{\mathrm{8,26}\cdot \sin \phi }{\sin (\phi +{\mathrm{66,59}}^{\circ })}}\text{cm}\text{mit}\phi \in ]0^{\circ };{\mathrm{49,11}}^{\circ }]$

Eingesetzt in die Volumenformel erhält man das Volumen $V$in Abhängigkeit von $\phi$ :

$V_{\text{Pyramide}}(\phi )={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 8\cdot 9\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{8,26}\cdot \sin \phi }{\sin (\phi +{\mathrm{66,59}}^{\circ })}}{\text{cm}}^3$

Volumen des Prismas $ABCDEF$

$V_{ABCDEF}=G\cdot h$

Die Grundseite des Prismas ist das gleichseitige Dreieck $ABC$, mit der Seitenlänge $\overline{AB}=8\text{cm}$ und mit der Höhe $[MC]$. Die Höhe $h$ des Prisma ist $\overline{AD}=9\text{cm}$.

In Aufgabe a) (B2.1) wurde gezeigt, dass $\overline{MC}=4\cdot \sqrt{3}\text{cm}$ ist.

Für den Flächeninhalt der Dreiecksgrundseite gilt $G={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot h$.

Dann ergibt sich:

$G={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{MC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 8\cdot 4\cdot \sqrt{3}{\text{cm}}^2=16\cdot \sqrt{3}{\text{cm}}^2$

Für das Volumen folgt dann:

$V_{ABCDEF}=G\cdot h=G\cdot \overline{AD}=16\cdot \sqrt{3}\cdot 9{\text{cm}}^3=\mathrm{249,42}{\text{cm}}^3$

Nach Aufgabe e) (B 2.5) gilt für das Volumen der Pyramide $ADEB{P}_1$ mit $\phi ={30}^{\circ }$:

$V_{ADEB{P}_1}({30}^{\circ })={\displaystyle \frac{\mathrm{198,24}\cdot \sin {30}^{\circ }}{\sin ({30}^{\circ }+{\mathrm{66,59}}^{\circ })}}{\text{cm}}^3=\mathrm{99,78}{\text{cm}}^3$

Der prozentuale Anteil beträgt dann:

${\displaystyle \frac{V_{ADEB{P}_1}}{V_{ABCDEF}}}\cdot 100\%={\displaystyle \frac{\mathrm{99,78}{\text{cm}}^3}{\mathrm{249,42}{\text{cm}}^3}}\cdot 100\%=\mathrm{40,00}\%$