Schrägbild des Prismas $ABCDEF$

Für die Zeichnung gilt: $q=0{,}5;$ $\omega=45^\circ$.

Zeichnen Sie die Strecke $[NK]$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Winkel $NKF$ gilt: $\sphericalangle NKF =66{,}59^\circ$.

Im gleichseitigen Dreieck $DEF$ gilt für die Höhe $\overline {NF}$:

$\overline {NF}=\dfrac{\overline {DE}}{2}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{8\;\text{cm}}{2}\cdot\sqrt{3}=4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}$

Im Dreieck $NFK$ gilt dann für den Winkel $\sphericalangle NKF$:

$\tan\sphericalangle NKF=\dfrac{\overline {NF}}{\overline {FK}}=\dfrac{4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}}{3\;\text{cm}}=\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow\;\sphericalangle NKF=\tan^{-1}\left(\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}\right)=66{,}59^\circ$.

Zeichnen Sie die Strecke $[MP_1]$ und das Dreieck $AP_1B$ für $\varphi =30^\circ$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Länge der Strecken $[MP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus dem Prisma.

Für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $AP_nB$ gilt: $A\ge33{,}04\;\text{cm}^2$

Nach Aufgabe c) (B 2.3) haben die Winkel $\sphericalangle \;NMP_n$ das Maß $\varphi$, mit $\varphi\in ]0^\circ; 49{,}11^\circ]$.

Demnach gilt $\sin(\varphi+66{,}59^\circ)\leq 1$.

Für die Strecke $[MP_n]$ folgt dann wegen $\overline {MP_n}(\varphi) =\dfrac{8{,}26}{\sin(\varphi+66{,}59°)}\;\text{cm}$:

$\overline {MP_n} \geq 8{,}26\;\text{cm}$

Die Dreiecksfläche berechnet man mit $A=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$.

Mit $g=\overline{AB}=8\;\text{cm}$ und $h=\overline {MP_n} \geq 8{,}26\;\text{cm}$ erhält man dann:

Zeichnen Sie die Pyramide $ADEBP_1$ und ihre Höhe $[P_1H_1]$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen $V$der Pyramiden $ADEBP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$

$V_{\text{Pyramide}}=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$

Dabei ist die Grundseite $G$ ein Rechteck mit den Seitenlängen $\overline{AB}=8 \;\text{cm}$ und $\overline{AD}=9\;\text{cm}.$

Die Höhe $h$ wird mit dem Sinus berechnet. Im rechtwinkligen Dreieck $MH_1P_1$ gilt:

$\sin\varphi=\dfrac{\overline{P_nH_n}}{\overline{MP_n}}\;\Rightarrow\;h=\overline{P_nH_n}=\overline{MP_n}\cdot \sin\varphi$

Dabei ist aus d) (B2.4) bekannt: $\overline{MP_n}(\varphi)=\dfrac{8{,}26}{\sin(\varphi+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}$.

Es folgt dann:

$\overline{P_nH_n}(\varphi)=\overline{MP_n}\cdot \sin\varphi=\dfrac{8{,}26\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}\;\text{mit} \;\varphi\in]0^\circ;49{,}11^\circ]$

Eingesetzt in die Volumenformel erhält man das Volumen $V$in Abhängigkeit von $\varphi$ :

$V_{\text{Pyramide}}(\varphi)=\dfrac{1}{3}\cdot 8\cdot 9\cdot \dfrac{8{,}26\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}^3$

Volumen des Prismas $ABCDEF$

$V_{{ABCDEF}}=G\cdot h$

Die Grundseite des Prismas ist das gleichseitige Dreieck $ABC$, mit der Seitenlänge $\overline{AB}=8\;\text{cm}$ und mit der Höhe $[MC]$. Die Höhe $h$ des Prisma ist $\overline{AD}=9\;\text{cm}$.

In Aufgabe a) (B2.1) wurde gezeigt, dass $\overline{MC}=4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}$ ist.

Für den Flächeninhalt der Dreiecksgrundseite gilt $G=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$.

Dann ergibt sich:

$G=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{MC}=\dfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot 4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}^2=16\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}^2$

Für das Volumen folgt dann:

$V_{{ABCDEF}}=G\cdot h=G\cdot \overline{AD}=16\cdot \sqrt{3} \cdot 9\;\text{cm}^3=249{,}42\;\text{cm}^3$

Nach Aufgabe e) (B 2.5) gilt für das Volumen der Pyramide $ADEBP_1$ mit $\varphi=30^\circ$:

$V_{ADEBP_{1}}(30^\circ)=\dfrac{198{,}24\cdot\sin30^\circ}{\sin(30^\circ+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}^3=99{,}78\;\text{cm}^3$

Der prozentuale Anteil beträgt dann:

$\dfrac{V_{ADEBP_{1}}}{V_{ABCDEF}}\cdot 100\;\%=\dfrac{99{,}78\;\text{cm}^3}{249{,}42\;\text{cm}^3}\cdot 100\;\%=40{,}00\;\%$