Nachtermin Teil B

Gegeben ist: $y=0{,}2\cdot 2^{x-1}-2$

Es ist $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{0{,}2\cdot 2^{x-1}}_{\rightarrow 0}-2=-2$.

$\Rightarrow\;$Wertemenge von $f_1 : \{y | y >-2\}$

Graph von $f_1$

Für die orthogonale Affinität gilt in Matrixform:

$\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & k\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}$

Es ist $k=2$ und $y= 0{,}2\cdot 2^{x-1}-2$.

Es ist $y''=0{,}4\cdot 2^{x'-1}+3$.

Dann folgt mit $x''=x'+1\;\Rightarrow\;x'=x''-1$:

Es ist dann $y''=0{,}4\cdot 2^{(x''-1-1)}+3=0{,}4\cdot 2^{x''-2}+3$

Die $''$ können nun weggelassen werden.

Für die Gleichung der Funktion $f_2$ gilt dann: $y=0{,}4\cdot 2^{x-2}+3$, ($\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$).

Einzeichnen des Graphens von $f_2$

Dreieck $A_1B_1C_1$

Es ist $A_n(x|0{,}2\cdot 2^{x-1}-2)$, $B_n(x+3|-1)$. Punkte $C_n$ liegen auf dem Graphen der Funktion $f_2$ und ihre x-Koordinate ist um $1$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$.

$\Rightarrow\;C_n(x+1|0{,}4\cdot 2^{x-2}+3)$

Berechne die y-Koordinate von $A_1$:

Also ist $A_1(-1|-1{,}95).$

$B_1(-1+3|-1)\;\Rightarrow\;B_1(2|-1)$.

Berechne die y-Koordinate von $C_1$:

Die x-Koordinate der Punkte $C_n$ ist um $1$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$.

Mit $x=-1$ ist die x-Koordinate der Punkte $C_n$ gleich $x=-1+1=0$.

Also ist $C_1(0|3{,}1).$

Dreieck $A_2B_2C_2$

Es ist $x=4$. Berechne die y-Koordinate von $A_2$:

Also ist $A_2(4|-0{,}4)$.

$B_2(4+3|-1)\;\Rightarrow\;B_2(7|-1)$.

Berechne die y-Koordinate von $C_2$:

Die x-Koordinate der Punkte $C_n$ist um $1$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$.

Mit $x=4$ ist die x-Koordinate der Punkte $C_n$ gleich $x=4+1=5$.

Es ist $x=5$. Berechne die y-Koordinate von $A_2$:

Also ist $C_2(5|6{,}2)$.

Die Punkte $A_1$, $B_1$, $C_1$ und $A_2$, $B_2$, $C_2$ werden in das Koordinatensystem eingezeichnet. Verbindet man die entsprechenden Punkte, erhält man die Dreiecke $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_2$.

Es ist $\vec A_n=\begin{pmatrix} x \\ 0{,}2\cdot 2^{x-1}-2\end{pmatrix}$ und $\vec B_n=\begin{pmatrix} x+3 \\ -1\end{pmatrix}$.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{A_nB_n}(x)=\vec B_n-\vec A_n=\begin{pmatrix} x+3 \\ -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x \\ 0{,}2\cdot 2^{x-1}-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_nB_n}(x)=\begin{pmatrix} x+3 -x\\ -1-(0{,}2\cdot 2^{x-1}-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ -0{,}2\cdot 2^{x-1}+1\end{pmatrix}$

Es ist $\vec A_n=\begin{pmatrix} x \\ 0{,}2\cdot 2^{x-1}-2\end{pmatrix}$ und $\vec C_n=\begin{pmatrix} x+1 \\0{,}4\cdot 2^{x+1-2}+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+1 \\0{,}4\cdot 2^{x-1}+3\end{pmatrix}$.

Die Dreiecksfläche wird mit der Determinante berechnet:

$A=0{,}5\cdot\begin{vmatrix} \overrightarrow{A_nB_n}\times\overrightarrow{A_nC_n}\end{vmatrix}$

$A(x)=0{,}5\begin{vmatrix}{3}&{1} \\ {-0{,}2\cdot 2^{x-1}+1}& {0{,}2\cdot 2^{x-1}+5}\end{vmatrix}$

Berechne die Determinante:

$A(x)=\underbrace{\underbrace{0{,}4\cdot 2^{x-1}}_{>0}+7}_{>7}\;\text{FE}$

Damit ist $A(x)$ immer größer $7$.

Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_3$

Wenn die Strecke $[A_3B_3]$ parallel zur x-Achse sein soll, dann muss $y_{A_3}=y_{B_3}$ sein. Dabei ist $y_{A_3}=0{,}2\cdot 2^{x-1}-2$ und $y_{B_3}=-1$.

$\mathbb{L}=\{3{,}32\}$

Die $x$-Koordinate des Punktes $A_3$ ist $x=3{,}32$.

Das Maß des Winkels $B_3A_3C_3$

Aus Aufgabe d) (B 1.4) gilt für den Vektor $\overrightarrow{A_nC_n}(x)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}2 \cdot 2^{x-1}+5\end{pmatrix}$.

Hier wird nun $x=3{,}32$ eingesetzt:

Der gesuchte Winkel ist der Winkel zwischen der Strecke $[A_3C_3]$ und der $x$-Achse.

Steigungswinkel: $m= \tan (\alpha)=\dfrac{\Delta y}{\ \Delta x}=\dfrac{y_{C_3}-y_{A_3}}{x_{C_3}-x_{A_3}}$

Es ist $\vec A (x)=\begin{pmatrix} x \\ 0{,}2 \cdot 2^{x-1}-2\end{pmatrix}$. Mit $x=3{,}32$ folgt dann $\vec A_3=\begin{pmatrix} 3{,}32\\ -1\end{pmatrix}$.

Weiterhin ist $\vec C (x)=\begin{pmatrix} x+1 \\ 0{,}4 \cdot 2^{x-1}+3\end{pmatrix}$. Mit $x=3{,}32$ folgt dann $\vec C_3=\begin{pmatrix} 4{,}32\\ 5\end{pmatrix}$.

$\sphericalangle B_3A_3C_3=\alpha=\tan^{-1}(6)=80{,}54^\circ$

Schrägbild des Prismas $ABCDEF$

Für die Zeichnung gilt: $q=0{,}5;$ $\omega=45^\circ$.

Zeichnen Sie die Strecke $[NK]$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Winkel $NKF$ gilt: $\sphericalangle NKF =66{,}59^\circ$.

Im gleichseitigen Dreieck $DEF$ gilt für die Höhe $\overline {NF}$:

$\overline {NF}=\dfrac{\overline {DE}}{2}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{8\;\text{cm}}{2}\cdot\sqrt{3}=4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}$

Im Dreieck $NFK$ gilt dann für den Winkel $\sphericalangle NKF$:

$\tan\sphericalangle NKF=\dfrac{\overline {NF}}{\overline {FK}}=\dfrac{4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}}{3\;\text{cm}}=\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow\;\sphericalangle NKF=\tan^{-1}\left(\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}\right)=66{,}59^\circ$.

Zeichnen Sie die Strecke $[MP_1]$ und das Dreieck $AP_1B$ für $\varphi =30^\circ$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Länge der Strecken $[MP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus dem Prisma.

Für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $AP_nB$ gilt: $A\ge33{,}04\;\text{cm}^2$

Nach Aufgabe c) (B 2.3) haben die Winkel $\sphericalangle \;NMP_n$ das Maß $\varphi$, mit $\varphi\in ]0^\circ; 49{,}11^\circ]$.

Demnach gilt $\sin(\varphi+66{,}59^\circ)\leq 1$.

Für die Strecke $[MP_n]$ folgt dann wegen $\overline {MP_n}(\varphi) =\dfrac{8{,}26}{\sin(\varphi+66{,}59°)}\;\text{cm}$:

$\overline {MP_n} \geq 8{,}26\;\text{cm}$

Die Dreiecksfläche berechnet man mit $A=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$.

Mit $g=\overline{AB}=8\;\text{cm}$ und $h=\overline {MP_n} \geq 8{,}26\;\text{cm}$ erhält man dann:

Zeichnen Sie die Pyramide $ADEBP_1$ und ihre Höhe $[P_1H_1]$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen $V$der Pyramiden $ADEBP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$

$V_{\text{Pyramide}}=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$

Dabei ist die Grundseite $G$ ein Rechteck mit den Seitenlängen $\overline{AB}=8 \;\text{cm}$ und $\overline{AD}=9\;\text{cm}.$

Die Höhe $h$ wird mit dem Sinus berechnet. Im rechtwinkligen Dreieck $MH_1P_1$ gilt:

$\sin\varphi=\dfrac{\overline{P_nH_n}}{\overline{MP_n}}\;\Rightarrow\;h=\overline{P_nH_n}=\overline{MP_n}\cdot \sin\varphi$

Dabei ist aus d) (B2.4) bekannt: $\overline{MP_n}(\varphi)=\dfrac{8{,}26}{\sin(\varphi+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}$.

Es folgt dann:

$\overline{P_nH_n}(\varphi)=\overline{MP_n}\cdot \sin\varphi=\dfrac{8{,}26\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}\;\text{mit} \;\varphi\in]0^\circ;49{,}11^\circ]$

Eingesetzt in die Volumenformel erhält man das Volumen $V$in Abhängigkeit von $\varphi$ :

$V_{\text{Pyramide}}(\varphi)=\dfrac{1}{3}\cdot 8\cdot 9\cdot \dfrac{8{,}26\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}^3$

Volumen des Prismas $ABCDEF$

$V_{{ABCDEF}}=G\cdot h$

Die Grundseite des Prismas ist das gleichseitige Dreieck $ABC$, mit der Seitenlänge $\overline{AB}=8\;\text{cm}$ und mit der Höhe $[MC]$. Die Höhe $h$ des Prisma ist $\overline{AD}=9\;\text{cm}$.

In Aufgabe a) (B2.1) wurde gezeigt, dass $\overline{MC}=4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}$ ist.

Für den Flächeninhalt der Dreiecksgrundseite gilt $G=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$.

Dann ergibt sich:

$G=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{MC}=\dfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot 4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}^2=16\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}^2$

Für das Volumen folgt dann:

$V_{{ABCDEF}}=G\cdot h=G\cdot \overline{AD}=16\cdot \sqrt{3} \cdot 9\;\text{cm}^3=249{,}42\;\text{cm}^3$

Nach Aufgabe e) (B 2.5) gilt für das Volumen der Pyramide $ADEBP_1$ mit $\varphi=30^\circ$:

$V_{ADEBP_{1}}(30^\circ)=\dfrac{198{,}24\cdot\sin30^\circ}{\sin(30^\circ+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}^3=99{,}78\;\text{cm}^3$

Der prozentuale Anteil beträgt dann:

$\dfrac{V_{ADEBP_{1}}}{V_{ABCDEF}}\cdot 100\;\%=\dfrac{99{,}78\;\text{cm}^3}{249{,}42\;\text{cm}^3}\cdot 100\;\%=40{,}00\;\%$