Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgabe B1

Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=0{,}2\cdot 2^{x-1}-2$ , ( $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ )

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geben Sie die Wertemenge von $f_1$ an und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_1$ für $x\in[-3;6]$ in ein Koordinatensystem. (2 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $-3\le x\le 8$ ; $-3\le y\le 10$
Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k=2$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor
$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion $f_2$ gilt: $y=0{,}4\cdot 2^{x-2}+3$ , ( $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ x $\mathbb{R}$ ).
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_2$ für $x\in[-3;6]$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (3 P)
Punkte $A_n(x|0{,}2\cdot 2^{x-1}-2)$ liegen auf dem Graphen zu $f_1$ . Punkte $B_n(x+3|-1)$ haben eine um $3$ größere x-Koordinate als die Punkte $A_n$ . Punkte $C_n$ liegen auf dem Graphen der Funktion $f_2$ und ihre x-Koordinate ist um $1$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ . Die Punkte $A_n$ , $B_n$ und $C_n$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $A_nB_nC_n$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=-1$ und das Dreieck $A_2B_2C_2$ für $x=4$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)
Zeigen Sie, dass für die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overrightarrow{A_nB_n}(x)=\begin{pmatrix} 3 \\ -0{,}2 \cdot 2^{x-1}+1\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{A_nC_n}(x)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}2 \cdot 2^{x-1}+5\end{pmatrix}$ . (3 P)
Begründen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt der Dreiecke $A_nB_nC_n$ stets größer als 7 FE ist. (3 P)

Im Dreieck $A_3B_3C_3$ liegt die Strecke $[A_3B_3]$ parallel zur x-Achse. Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_3$ sowie das Maß des Winkels $B_3A_3C_3$ . (4 P)

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B2
Die Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas $ABCDEF$ . Die Grundfläche dieses Prismas ist das gleichseitige Dreieck $ABC$ mit der Höhe $[MC]$ . $N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[DE]$ .
Es gilt: $\overline {AB}=8$ cm; $\overline {AD}=9$ cm.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeigen Sie, dass für die Strecke $\overline {MC}$ gilt: $\overline {MC}=6{,}93$ cm. Zeichnen Sie sodann das Schrägbild des Prismas $ABCDEF$ , wobei die Strecke $[MN]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $M$ links vom Punkt $N$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt: $q=0{,}5;$ $\omega=45^\circ$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder
  Die Grundfläche des Prismas ist das gleichseitige Dreieck $ABC$ , mit der Höhe $\overline {MC}.$
  $\Rightarrow\;$ Der Winkel $\sphericalangle CAM=\sphericalangle CAB=60^\circ$ .
  Es ist $\overline {AM}= 4\;\text{cm}$ . Dann gilt:
  $\tan\;60^\circ=\dfrac{\overline {MC}}{\overline {AM}}\;\Rightarrow\;\overline {MC}=\overline {AM}\cdot \tan\;60^\circ$
  $\overline {MC}=4\;\text{cm}\cdot \sqrt{3}=6{,}93\;\text{cm}$
  Schrägbild des Prismas $ABCDEF$
  Für die Zeichnung gilt: $q=0{,}5;$ $\omega=45^\circ$ .
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2. Der Punkt $K$ liegt auf der Strecke $[CF]$ mit $\overline {FK}= 3$ cm. Zeichnen Sie die Strecke $[NK]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und zeigen Sie rechnerisch, dass für den Winkel $NKF$ gilt: $\sphericalangle NKF =66{,}59^\circ$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktion
  Zeichnen Sie die Strecke $[NK]$ in das Schrägbild zu 2a) ein
  Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Winkel $NKF$ gilt: $\sphericalangle NKF =66{,}59^\circ$ .
  Im gleichseitigen Dreieck $DEF$ gilt für die Höhe $\overline {NF}$ :
  $\overline {NF}=\dfrac{\overline {DE}}{2}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{8\;\text{cm}}{2}\cdot\sqrt{3}=4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}$
  Im Dreieck $NFK$ gilt dann für den Winkel $\sphericalangle NKF$ :
  $\tan\sphericalangle NKF=\dfrac{\overline {NF}}{\overline {FK}}=\dfrac{4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}}{3\;\text{cm}}=\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}$
  $\Rightarrow\;\sphericalangle NKF=\tan^{-1}\left(\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}\right)=66{,}59^\circ$ .
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3. Punkte $P_n$ auf der Strecke $[NK]$ sind zusammen mit Punkten $A$ und $B$ die Eckpunkte von Dreiecken $AP_nB$ . Die Winkel $NMP_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in$ $]0^\circ;49{,}11^\circ]$ .
  Zeichnen Sie die Strecke $[MP_1]$ und das Dreieck $AP_1B$ für $\varphi =30^\circ$ in das Schrägbild zu 2a) ein. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Zeichnen Sie die Strecke $[MP_1]$ und das Dreieck $AP_1B$ für $\varphi =30^\circ$ in das Schrägbild zu 2a) ein
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4. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[MP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
  $\overline {MP_n}(\varphi) =\dfrac{8{,}26}{\sin(\varphi+66{,}59°)}\;\text{cm}$
  Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $AP_nB$ gilt: $A\ge33{,}04\;\text{cm}^2$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz
  Länge der Strecken $[MP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$
  Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus dem Prisma.
  Der Winkel $\beta$ und der Winkel
  $\sphericalangle \;NKF=66{,}59^\circ$ sind Wechselwinkel, d.h. $\beta=66{,}59^\circ$ .
  Verwende den Sinussatz:
  $\dfrac{\overline{MP_n}}{\sin66{,}59^\circ}=\dfrac{\overline{MN}}{\sin\gamma}$
  Es ist $\gamma=180^\circ-(\varphi+\beta)$
  $\Rightarrow\;\gamma=180^\circ-(\varphi+66{,}59^\circ)$
  Setze $\gamma=180^\circ-(\varphi+66{,}59^\circ)$ und $\overline{MN}=9\;\text{cm}$ in den Sinussatz ein und löse nach $\overline{MP_n}$ auf.
  $\Rightarrow\;\overline{MP_n}=\dfrac{9\;\text{cm}\cdot \sin66{,}59^\circ}{\sin(180^\circ-(\varphi+66{,}59^\circ))}$
  Dabei ist $\sin(180^\circ-(\varphi+66{,}59^\circ))=\sin(\varphi+66{,}59^\circ).$
  Es folgt dann:
  Für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $AP_nB$ gilt: $A\ge33{,}04\;\text{cm}^2$
  Nach Aufgabe c) (B 2.3) haben die Winkel $\sphericalangle \;NMP_n$ das Maß $\varphi$ , mit $\varphi\in ]0^\circ; 49{,}11^\circ]$ .
  Demnach gilt $\sin(\varphi+66{,}59^\circ)\leq 1$ .
  Für die Strecke $[MP_n]$ folgt dann wegen $\overline {MP_n}(\varphi) =\dfrac{8{,}26}{\sin(\varphi+66{,}59°)}\;\text{cm}$ :
  $\overline {MP_n} \geq 8{,}26\;\text{cm}$
  Die Dreiecksfläche berechnet man mit $A=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$ .
  Mit $g=\overline{AB}=8\;\text{cm}$ und $h=\overline {MP_n} \geq 8{,}26\;\text{cm}$ erhält man dann:
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5. Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ADEBP_n$ mit der Grundfläche $ADEB$ und den Höhen $[P_nH_n]$ , deren Fußpunkte $H_n$ auf der Strecke $[MN]$ liegen.
  Zeichnen Sie die Pyramide $ADEBP_1$ und ihre Höhe $[P_1H_1]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen $V$ der Pyramiden $ADEBP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ . (3 P)
  [Ergebnis: $V(\varphi)=\dfrac{198{,}24\cdot\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}^3$ ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Zeichnen Sie die Pyramide $ADEBP_1$ und ihre Höhe $[P_1H_1]$ in das Schrägbild zu 2a) ein
  Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen $V$ der Pyramiden $ADEBP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$
  $V_{\text{Pyramide}}=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$
  Dabei ist die Grundseite $G$ ein Rechteck mit den Seitenlängen $\overline{AB}=8 \;\text{cm}$ und $\overline{AD}=9\;\text{cm}.$
  Die Höhe $h$ wird mit dem Sinus berechnet. Im rechtwinkligen Dreieck $MH_1P_1$ gilt:
  $\sin\varphi=\dfrac{\overline{P_nH_n}}{\overline{MP_n}}\;\Rightarrow\;h=\overline{P_nH_n}=\overline{MP_n}\cdot \sin\varphi$
  Dabei ist aus d) (B2.4) bekannt: $\overline{MP_n}(\varphi)=\dfrac{8{,}26}{\sin(\varphi+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}$ .
  Es folgt dann:
  $\overline{P_nH_n}(\varphi)=\overline{MP_n}\cdot \sin\varphi=\dfrac{8{,}26\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}\;\text{mit} \;\varphi\in]0^\circ;49{,}11^\circ]$
  Eingesetzt in die Volumenformel erhält man das Volumen $V$ in Abhängigkeit von $\varphi$ :
  $V_{\text{Pyramide}}(\varphi)=\dfrac{1}{3}\cdot 8\cdot 9\cdot \dfrac{8{,}26\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}^3$
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6. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $ADEBP_1$ am Volumen des Prismas $ABCDEF$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Volumen des Prismas $ABCDEF$
  $V_{{ABCDEF}}=G\cdot h$
  Die Grundseite des Prismas ist das gleichseitige Dreieck $ABC$ , mit der Seitenlänge $\overline{AB}=8\;\text{cm}$ und mit der Höhe $[MC]$ . Die Höhe $h$ des Prisma ist $\overline{AD}=9\;\text{cm}$ .
  In Aufgabe a) (B2.1) wurde gezeigt, dass $\overline{MC}=4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}$ ist.
  Für den Flächeninhalt der Dreiecksgrundseite gilt $G=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$ .
  Dann ergibt sich:
  $G=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{MC}=\dfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot 4\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}^2=16\cdot \sqrt{3}\;\text{cm}^2$
  Für das Volumen folgt dann:
  $V_{{ABCDEF}}=G\cdot h=G\cdot \overline{AD}=16\cdot \sqrt{3} \cdot 9\;\text{cm}^3=249{,}42\;\text{cm}^3$
  Nach Aufgabe e) (B 2.5) gilt für das Volumen der Pyramide $ADEBP_1$ mit $\varphi=30^\circ$ :
  $V_{ADEBP_{1}}(30^\circ)=\dfrac{198{,}24\cdot\sin30^\circ}{\sin(30^\circ+66{,}59^\circ)}\;\text{cm}^3=99{,}78\;\text{cm}^3$
  Der prozentuale Anteil beträgt dann:
  $\dfrac{V_{ADEBP_{1}}}{V_{ABCDEF}}\cdot 100\;\%=\dfrac{99{,}78\;\text{cm}^3}{249{,}42\;\text{cm}^3}\cdot 100\;\%=40{,}00\;\%$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle y_{A_3}$	$=$	$\displaystyle y_{B_3}$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle 0{,}2\cdot 2^{x-1}-2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0{,}2\cdot 2^{x-1}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :0{,}2$
$\displaystyle 2^{x-1}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{0{,}2}$	$\displaystyle \log_2$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis 2 an.
$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle \log_2\left(\dfrac{1}{0{,}2}\right)$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2\left(\dfrac{1}{0{,}2}\right)+1$
	$=$	$\displaystyle 3{,}32$

$\displaystyle \overrightarrow{A_3C_3}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}2 \cdot 2^{x-1}+5\end{pmatrix}$
	↓	Setze $x=3{,}32$ ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}2 \cdot 2^{3{,}32-1}+5\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}2 \cdot 2^{2{,}32}+5\end{pmatrix}$
	↓	Berechne die $y$ -Koodinate.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 6{,}00\end{pmatrix}$

$\displaystyle \tan (\alpha)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{y_{C_3}-y_{A_3}}{x_{C_3}-x_{A_3}}$
	↓	Setze die entsprechenden Koordinaten ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{{5}-(-1)}{4{,}32-3{,}32}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{1}$

Nachtermin Teil B

Aufgabe B1

Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes A3A_3A3​

Das Maß des Winkels B3A3C3B_3A_3C_3B3​A3​C3​

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Aufgabe B2

Schrägbild des Prismas ABCDEFABCDEFABCDEF

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Zeichnen Sie die Strecke [NK][NK][NK] in das Schrägbild zu 2a) ein

Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Winkel NKFNKFNKF gilt: ∢NKF=66,59∘\sphericalangle NKF =66{,}59^\circ∢NKF=66,59∘.

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Zeichnen Sie die Strecke [MP1][MP_1][MP1​] und das Dreieck AP1BAP_1BAP1​B für φ=30∘\varphi =30^\circφ=30∘ in das Schrägbild zu 2a) ein

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Länge der Strecken [MPn][MP_n][MPn​] in Abhängigkeit von φ\varphiφ

Für den Flächeninhalt AAA der Dreiecke APnBAP_nBAPn​B gilt: A≥33,04 cm2A\ge33{,}04\;\text{cm}^2 A≥33,04cm2

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Zeichnen Sie die Pyramide ADEBP1ADEBP_1ADEBP1​ und ihre Höhe [P1H1][P_1H_1][P1​H1​] in das Schrägbild zu 2a) ein

Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen VVVder Pyramiden ADEBPnADEBP_nADEBPn​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ

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Volumen des Prismas ABCDEFABCDEFABCDEF

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Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_3$

Das Maß des Winkels $B_3A_3C_3$

Schrägbild des Prismas $ABCDEF$

Zeichnen Sie die Strecke $[NK]$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Winkel $NKF$ gilt: $\sphericalangle NKF =66{,}59^\circ$ .

Zeichnen Sie die Strecke $[MP_1]$ und das Dreieck $AP_1B$ für $\varphi =30^\circ$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Länge der Strecken $[MP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$

Für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $AP_nB$ gilt: $A\ge33{,}04\;\text{cm}^2$

Zeichnen Sie die Pyramide $ADEBP_1$ und ihre Höhe $[P_1H_1]$ in das Schrägbild zu 2a) ein

Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen $V$ der Pyramiden $ADEBP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$

Volumen des Prismas $ABCDEF$