Begründen Sie, dass gilt: $\sphericalangle AND=90°$

Bestimmen Sie sodann den Radius $r$ des Halbkreises $k$.

Der Punkt $N$ liegt auf dem Thaleskreis über $[AD]$, folglich gilt: $\sphericalangle AND={90}^{\circ }$

Das Dreieck $BLN$ ist gleichschenklig, da der Winkel $LNB=LBN={45}^{\circ }$

$\tan \sphericalangle LNB={\displaystyle \frac{\overline{BL}}{\overline{LN}}}={\displaystyle \frac{5\text{cm}}{3\text{cm}+\overline{MN}}}\Rightarrow$$${\displaystyle \overline{MN}=\frac{5\text{cm}-3\text{cm}\cdot \tan {45}^{\circ }}{\tan {45}^{\circ }}}$$

$\overline{MN}=r=2\text{cm}$

Alternative Begründung:

Da das Dreieck $BLN$ gleichschenklig ist, ist $\overline{LN}=\overline{BL}=\frac{1}{2}\overline{BC}=5\text{cm}.$

Daher ist

$r=\overline{MN}=\overline{LN}-\overline{LM}=5\text{cm}-3\text{cm}=2\text{cm}$.

Durch Rotation der Figur aus der Aufgabenstellung um die Achse $LN$ entsteht ein Rotationskörper. Berechne dessen Volumen.

Der Rotationskörper setzt sich aus einem Kegelstumpf und einer Halbkugel zusammen. Berechne das Volumen des Kegelstumpfes und das Volumen der Halbkugel und addiere sie.

$V_{\text{Kegelstumpf}}={\displaystyle \frac{h\cdot \pi }{3}}\cdot (R^2+Rr+r^2)$

$r=2{\text{cm}}^2$ und $R=\overline{BC}=10\text{cm}$

$\Rightarrow V_{\text{Kegelstumpf}}={\displaystyle \frac{3\text{cm}\cdot \pi }{3}}\cdot (25+10+4){\text{cm}}^2$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=\pi \cdot 39{\text{cm}}^3$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=\mathrm{122,52}{\text{cm}}^3$

$V_{\text{Kugel}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot r^3\Rightarrow V_{\text{Halbkugel}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot r^3$

$V_{\text{Halbkugel}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \pi \cdot 2^3{\text{cm}}^3$

$V_{\text{Halbkugel}}=\mathrm{16,76}{\text{cm}}^3$

$V_{\text{Rotationsköper}}=\mathrm{122,52}{\text{cm}}^3+\mathrm{16,76}{\text{cm}}^3$

$V_{\text{Rotationsköper}}=\mathrm{139,28}{\text{cm}}^3$