Nachtermin Teil A

Die Parabel ist eine Parabel mit $a=1$ und dem Scheitelpunkt $S(1|-4)$, also gilt:

$y=(x-1{)}^2-4$ Scheitelpunktform $(𝔾=ℝxℝ)$

Multipliziere die Klammer aus und fasse zusammen.

$y=x^2-2x+1-4$

$q:y=x^2-2x-3$

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $A$ und $C$ der Parabeln$p$ und $q$, wobei gelten soll:

$x_A<x_C$

$[$Teilergebnis: $x_A=-\mathrm{1,07};x_C=\mathrm{3,74}]$

$x^2-2x-3=-\mathrm{0,5}{x}^2+2x+3x\in ℝ$

Fasse zusammen:

$\mathrm{1,5}{x}^2-4x-6=0$

$x_{1/2}={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16+36}}{3}}$

$x_1=-\mathrm{1,07}\vee x_2=\mathrm{3,74}𝕃=\{-\mathrm{1,07};\mathrm{3,74}\}$

Berechnen der Schnittpunkte $A$ und $C$.

$A(-\mathrm{1,07}|(-\mathrm{1,07}{)}^2-2\cdot (-\mathrm{1,07})-3)A(-\mathrm{1,07}|\mathrm{0,28})$

$C(\mathrm{3,74}|(\mathrm{3,74}{)}^2-2\cdot (\mathrm{3,74})-3)C(\mathrm{3,74}|\mathrm{3,51})$

1. Punkte $B_n(x|x^2-2x-3)$ auf der Parabel $q$ und Punkte

   $D_n(x|-\mathrm{0,5}{x}^2+2x+3)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$. Sie sind zusammen mit den Punkten $A$ und $C$ für $x\in ]\mathrm{1,07};\mathrm{3,74}[$ Eckpunkte von Vierecken $A{B}_{n}C{D}_n$​. Zeichne das Viereck $A{B}_{1}C{D}_1$​ für $x=1$ in das Koordinatensystem zu 2) ein.

Ist das Viereck $A{B}_{1}C{D}_1$ ein Trapez, dann gilt $[A{D}_1]\parallel [B_{1}C]\Rightarrow m_{A{D}_1}=m_{B_{1}C}$

$B_1=S{B}_1(1|-4)$

$D_1(1|-\mathrm{0,5}\cdot 1^2+2\cdot 1+3)D_1(1|\mathrm{4,5})$

$m_{A{D}_1}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,28}}{1-(-\mathrm{1,07})}}{m}_{A{D}_1}=\mathrm{2,04}$

$m_{B{C}_1}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,51}-(-4)}{\mathrm{3,74}-1}}{m}_{B{C}_1}=\mathrm{2,74}$

Wegen $m_{A{D}_1}\ne m_{B{C}_1}$ sind die Strecken $[A{D}_1]$ und $[B_{1}C]$ nicht parallel zueinander.

Somit ist das Viereck $A{B}_{1}C{D}_1$ kein Trapez mit den Grundseiten $[A{D}_1]$ und $[B_{1}C]$.

Begründen Sie, dass gilt: $\sphericalangle AND=90°$

Bestimmen Sie sodann den Radius $r$ des Halbkreises $k$.

Der Punkt $N$ liegt auf dem Thaleskreis über $[AD]$, folglich gilt: $\sphericalangle AND={90}^{\circ }$

Das Dreieck $BLN$ ist gleichschenklig, da der Winkel $LNB=LBN={45}^{\circ }$

$\tan \sphericalangle LNB={\displaystyle \frac{\overline{BL}}{\overline{LN}}}={\displaystyle \frac{5\text{cm}}{3\text{cm}+\overline{MN}}}\Rightarrow$$${\displaystyle \overline{MN}=\frac{5\text{cm}-3\text{cm}\cdot \tan {45}^{\circ }}{\tan {45}^{\circ }}}$$

$\overline{MN}=r=2\text{cm}$

Alternative Begründung:

Da das Dreieck $BLN$ gleichschenklig ist, ist $\overline{LN}=\overline{BL}=\frac{1}{2}\overline{BC}=5\text{cm}.$

Daher ist

$r=\overline{MN}=\overline{LN}-\overline{LM}=5\text{cm}-3\text{cm}=2\text{cm}$.

Durch Rotation der Figur aus der Aufgabenstellung um die Achse $LN$ entsteht ein Rotationskörper. Berechne dessen Volumen.

Der Rotationskörper setzt sich aus einem Kegelstumpf und einer Halbkugel zusammen. Berechne das Volumen des Kegelstumpfes und das Volumen der Halbkugel und addiere sie.

$V_{\text{Kegelstumpf}}={\displaystyle \frac{h\cdot \pi }{3}}\cdot (R^2+Rr+r^2)$

$r=2{\text{cm}}^2$ und $R=\overline{BC}=10\text{cm}$

$\Rightarrow V_{\text{Kegelstumpf}}={\displaystyle \frac{3\text{cm}\cdot \pi }{3}}\cdot (25+10+4){\text{cm}}^2$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=\pi \cdot 39{\text{cm}}^3$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=\mathrm{122,52}{\text{cm}}^3$

$V_{\text{Kugel}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot r^3\Rightarrow V_{\text{Halbkugel}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot r^3$

$V_{\text{Halbkugel}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \pi \cdot 2^3{\text{cm}}^3$

$V_{\text{Halbkugel}}=\mathrm{16,76}{\text{cm}}^3$

$V_{\text{Rotationsköper}}=\mathrm{122,52}{\text{cm}}^3+\mathrm{16,76}{\text{cm}}^3$

$V_{\text{Rotationsköper}}=\mathrm{139,28}{\text{cm}}^3$