Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A1
Die Skizze zeigt das Rechteck $A B C D$ mit den Diagonalen $[A C]$ und $[B D]$ , den Diagonalenschnittpunkt $M$ und die Strecke $[E F]$ .
Es gilt: $\overline{AB}=6\;\text{cm}$ ; $\overline{BC}=11\;\text{cm}$ ; $E \in [DM]$ ; $F\in[CM]$ ;
$[EF]\Vert[CD]$ ; $d( E;CD)= 2\;\text{cm}$ .
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks $M F E$ am Flächeninhalt des Rechtecks $A B C D$ .
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (4 P)
$[$ Zwischenergebnisse: $\overline{EF}=3{,}82\;\text{cm}$ ; $A_{MFE}=6{,}69\;\text{cm}^2$ $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks $M F E$ am Flächeninhalt des Rechtecks $A B C D$ . Um den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks $M F E$ zu berechnen, mußt Du zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks $A B C D$ und den Flächeninhalt des Dreiecks $M F E$ berechnen.
Flächeninhalt des Rechtecks $A B C D$
$A_{ABCD}=\overline{AB}\cdot\overline{BC}⇒ A_{ABCD}=6\;\text{cm}\cdot11\;\text{cm}$
$A_{ABCD}=66\;\text{cm}^2$
Flächeninhalt des Dreiecks $M F E$
Um den Flächeninhalt des Dreiecks $M F E$ zu berechnen musst Du zuerst die Strecke $\overline{ EF}$ berechnen. Die Strecke $\overline{EF}$ kannst Du mit Hilfe des Strahlensatzes berechnen.
$\dfrac{\overline{EF}}{\overline{DC}}=\dfrac{d(M;EF)}{d(M;DC)}$ Setzte die Werte ein:
$\dfrac{\overline{EF}}{6cm}=\dfrac{3{,}5\;\text{cm}}{5{,}5\;\text{cm}}$
$\overline{EF}=\dfrac{3{,}5\;\text{cm}\cdot 6\;\text{cm}}{5{,}5\;\text{cm}}$
$\overline{EF}= 3{,}82\;\text{cm}$
Berechne die jetzt den Flächeninhalt des Dreiecks $M F E$
$A_{MFE}=\dfrac{\overline{EF}\cdot d(M;EF)}{2}; A_{MFE}=\dfrac{{3{,}82\;\text{cm}}\cdot{3{,}5\;\text{cm}}}{2}$
$A_{MFE}=6{,}69\;\text{cm}$
Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks $M F E$ am Flächeninhalt des Rechtecks $A B C D$ .
$p= \dfrac{6{,}69}{66}\cdot100\Rightarrow p=10{,}14\;\%$
Der Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks $M F E$ am Flächeninhalt des Rechtecks $A B C D$ beträgt $10{,}14\;\%$ .
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A2
Die Parabel $p$ hat die Gleichung $y=-0{,}5x^2+2x+3$ . $(\mathbb{G}=\mathbb{R}$ x $\mathbb{R})$ . Die Parabel $q$ ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S (1 ∣ - 4)$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie die Parabel $q$ für $x\in[-2;4]$ in das Koordinatensystem zu 2) ein und zeige rechnerisch, dass $q$ die Gleichung $y = x^{2} - 2 x - 3$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}$ x $\mathbb{R})$ hat. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel zeichnen
  Die Parabel ist eine Parabel mit $a = 1$ und dem Scheitelpunkt $S (1 ∣ - 4)$ , also gilt:
  $y = (x - 1)^{2} - 4$ Scheitelpunktform $\hspace{4cm} (\mathbb{G}=\mathbb{R}x\mathbb{R})$
  Multipliziere die Klammer aus und fasse zusammen.
  $\hspace{5mm}y=x^2-2x+1-4$
  $q : y = x^{2} - 2 x - 3$
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2. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte $A$ und $C$ der Parabeln $p$ und $q$ , wobei gelten soll: $x_A\lt x_C$ (3 P)
  $[$ Teilergebnis: $x_A=-1{,}07$ ; $x_C=3{,}74$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $A$ und $C$ der Parabeln $p$ und $q$ , wobei gelten soll:
  $x_A\ <\ x_C$
  $[$ Teilergebnis: $x_A\ =\ -1{,}07;\ x_C\ =\ 3{,}74]$
  $x^2-2x-3\ =\ -0{,}5x^2+2x+3\hspace{3cm}x\in\mathbb{R}$
  Fasse zusammen:
  $1{,}5x^2-4x-6=0$
  $x_{1/2}=\dfrac{4\pm\sqrt{16+36}}{3}$
  $x_1=-1{,}07\ {\small{\vee}}\ x_2=3{,}74 \hspace{44mm}\mathbb{L}=\{{-1{,}07;\ 3{,}74}\}$
  Berechnen der Schnittpunkte $A$ und $C$ .
  $A\left(-1{,}07|(-1{,}07)^2-2\cdot(-1{,}07)-3\right)\hspace{25mm}A(-1{,}07|0{,}28)$
  $C\left(3{,}74|(3{,}74)^2-2\cdot(3{,}74)-3\right)\hspace{33mm}C(3{,}74|3{,}51)$
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3. Punkte $B_{n} (x ∣ x^{2} - 2 x - 3)$ auf der Parabel $q$ und Punkte
  $D_n(x|-0{,}5x^2+2x+3)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit den Punkten A und C für $x\in]1{,}07;3{,}74[$ Eckpunkte von Vierecken $A B_{n} C D_{n}$ . Zeichnen Sie das Viereck $A B_{1} C D_{1}$ für $x = 1$ in das Koordinatensystem zu 2) ein. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatensystem
  Punkte $B_{n} (x ∣ x^{2} - 2 x - 3)$ auf der Parabel $q$ und Punkte
  $D_n(x|-0{,}5x^2+2x+3)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit den Punkten $A$ und $C$ für $x\in]1{,}07;3{,}74[$ Eckpunkte von Vierecken $A B_{n} C D_{n}$ . Zeichne das Viereck $A B_{1} C D_{1}$ für $x = 1$ in das Koordinatensystem zu 2) ein.
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4. Ist das Viereck $A B_{1} C D_{1}$ ein Trapez mit den Grundseiten $[A D_{1}]$ und $[B_{1} C]$ ?
  Begründen Sie Ihre Entscheidung rechnerisch. (4 P)
  Das Viereck $A B_{1} C D_{1}$ ist ein Trapez mit den Grundseiten $[A D_{1}]$ und $[B_{1} C]$ .
  Das Viereck $A B_{1} C D_{1}$ ist kein Trapez.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
  Ist das Viereck $A B_{1} C D_{1}$ ein Trapez, dann gilt $[AD_1]\parallel[B_1C]\ \Rightarrow m_{AD_1}=m_{B_1C}$
  $B_1=S\hspace{7cm} B_1(1|-4)$
  $D_1(1|-0{,}5\cdot1^2+2\cdot1+3)\hspace{4.15cm} D_1(1|4{,}5)$
  $m_{AD_1}=\dfrac{4{,}5-0{,}28}{1-(-1{,}07)}\hspace{5.2cm}m_{AD_1}=2{,}04$
  $m_{BC_1}=\dfrac{3{,}51-(-4)}{3{,}74-1}\hspace{5.1cm}m_{BC_1}=2{,}74$
  Wegen $m_{AD_1}\neq m_{BC_1}$ sind die Strecken $[A D_{1}]$ und $[B_{1} C]$ nicht parallel zueinander.
  Somit ist das Viereck $A B_{1} C D_{1}$ kein Trapez mit den Grundseiten $[A D_{1}]$ und $[B_{1} C]$ .
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3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A3
Die Skizze zeigt eine zur Geraden $L N$ achsensymmetrische Figur, die aus dem gleichschenkligen Trapez $A B C D$ und dem Halbkreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r=\overline{MA}=\overline{MD}=\overline{MN}$ besteht.
Es gilt: $\overline{BC}=10\;\text{cm}$ ; $\overline{LM}=3\;\text{cm}$ ; $N\in{BA}$ ; $N\in{CD}$ ; $N\in{k}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Begründen Sie, dass gilt: $\sphericalangle{AND}=90°$ .
  Bestimmen Sie sodann den Radius $r$ des Halbkreises $k$ . (3 P)
  $[$ Teilergebnis: $r=2\;\text{cm}$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Thaleskreis
  Begründen Sie, dass gilt: $\sphericalangle{AND}=90°$
  Bestimmen Sie sodann den Radius $r$ des Halbkreises $k$ .
  Der Punkt $N$ liegt auf dem Thaleskreis über $[A D]$ , folglich gilt: $\sphericalangle{AND}=90^\circ$
  Das Dreieck $B L N$ ist gleichschenklig, da der Winkel $LNB= LBN=45^\circ$
  $\tan\sphericalangle{LNB}=\dfrac{\overline{BL}}{\overline{LN}}=\dfrac{5\ \text{cm}}{3\ \text{cm}+\overline{MN}}\Rightarrow$ $\displaystyle\overline{MN}=\frac{5\ \text{cm}-3\ \text{cm}\cdot\tan45^{\circ}}{\tan45^{\circ}}$
  $\overline{MN}=r=2\ \text{cm}$
  Alternative Begründung:
  Da das Dreieck $B L N$ gleichschenklig ist, ist $\overline{LN}=\overline{BL}=\frac{1}{2}\overline{BC}=5\ \text{cm}.$
  Daher ist
  $r=\overline{MN}=\overline{LN}-\overline{LM}=5\ \text{cm}-3\ \text{cm}=2\ \text{cm}$ .
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2. Durch Rotation der Figur aus der Aufgabenstellung um die Achse $L N$ entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie dessen Volumen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformel
  Durch Rotation der Figur aus der Aufgabenstellung um die Achse $L N$ entsteht ein Rotationskörper. Berechne dessen Volumen.
  Der Rotationskörper setzt sich aus einem Kegelstumpf und einer Halbkugel zusammen. Berechne das Volumen des Kegelstumpfes und das Volumen der Halbkugel und addiere sie.
  $V_{\text{Kegelstumpf}}=\dfrac{h\cdot\pi}{3}\cdot(R^2+Rr+r^2)$
  $r=2\; \text{cm}^2$ und $R=\overline{BC}=10\;\text{cm}$
  $\Rightarrow\; V_{\text{Kegelstumpf}}=\dfrac{3\ \text{cm}\cdot\pi}{3}\cdot(25+10+4)\ \text{cm}^2$
  $V_{\text{Kegelstumpf}}=\pi\cdot39\ \text{cm}^3$
  $V_{\text{Kegelstumpf}}=122{,}52\ \text{cm}^3$
  $V_{\text{Kugel}}= \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot{r^3}\Rightarrow V_{\text{Halbkugel}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot{r^3}$
  $V_{\text{Halbkugel}}=\dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot{2^3}\ \text{cm}^3$
  $V_{\text{Halbkugel}}=16{,}76\ \text{cm}^3$
  $V_{\text{Rotationsköper}}=122{,}52\ \text{cm}^3+16{,}76\ \text{cm}^3$
  $V_{\text{Rotationsköper}}=139{,}28\ \text{cm}^3$
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