Nachtermin Teil A

Die Parabel ist eine Parabel mit $a=1$ und dem Scheitelpunkt $S(1|-4)$, also gilt:

$y=(x-1)^2-4$ Scheitelpunktform $\hspace{4cm} (\mathbb{G}=\mathbb{R}x\mathbb{R})$

Multipliziere die Klammer aus und fasse zusammen.

$\hspace{5mm}y=x^2-2x+1-4$

$q:y=x^2-2x-3$

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $A$ und $C$ der Parabeln$\ p$ und $q$, wobei gelten soll:

$x_A\ <\ x_C$

$[$Teilergebnis: $x_A\ =\ -1{,}07;\ x_C\ =\ 3{,}74]$

$x^2-2x-3\ =\ -0{,}5x^2+2x+3\hspace{3cm}x\in\mathbb{R}$

Fasse zusammen:

$1{,}5x^2-4x-6=0$

$x_{1/2}=\dfrac{4\pm\sqrt{16+36}}{3}$

$x_1=-1{,}07\ {\small{\vee}}\ x_2=3{,}74 \hspace{44mm}\mathbb{L}=\{{-1{,}07;\ 3{,}74}\}$

Berechnen der Schnittpunkte $A$ und $C$.

$A\left(-1{,}07|(-1{,}07)^2-2\cdot(-1{,}07)-3\right)\hspace{25mm}A(-1{,}07|0{,}28)$

$C\left(3{,}74|(3{,}74)^2-2\cdot(3{,}74)-3\right)\hspace{33mm}C(3{,}74|3{,}51)$

1. Punkte $B_n(x|x^2-2x-3)$ auf der Parabel $q$ und Punkte

   $D_n(x|-0{,}5x^2+2x+3)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$. Sie sind zusammen mit den Punkten $A$ und $C$ für $x\in]1{,}07;3{,}74[$ Eckpunkte von Vierecken $AB_nCD_n$​. Zeichne das Viereck $AB_1CD_1$​ für $x=1$ in das Koordinatensystem zu 2) ein.

Ist das Viereck $AB_1CD_1$ ein Trapez, dann gilt $[AD_1]\parallel[B_1C]\ \Rightarrow m_{AD_1}=m_{B_1C}$

$B_1=S\hspace{7cm} B_1(1|-4)$

$D_1(1|-0{,}5\cdot1^2+2\cdot1+3)\hspace{4.15cm} D_1(1|4{,}5)$

$m_{AD_1}=\dfrac{4{,}5-0{,}28}{1-(-1{,}07)}\hspace{5.2cm}m_{AD_1}=2{,}04$

$m_{BC_1}=\dfrac{3{,}51-(-4)}{3{,}74-1}\hspace{5.1cm}m_{BC_1}=2{,}74$

Wegen $m_{AD_1}\neq m_{BC_1}$ sind die Strecken $[AD_1]$ und $[B_1C]$ nicht parallel zueinander.

Somit ist das Viereck $AB_1CD_1$ kein Trapez mit den Grundseiten $[AD_1]$ und $[B_1C]$.

Begründen Sie, dass gilt: $\sphericalangle{AND}=90°$

Bestimmen Sie sodann den Radius $r$ des Halbkreises $k$.

Der Punkt $N$ liegt auf dem Thaleskreis über $[AD]$, folglich gilt: $\sphericalangle{AND}=90^\circ$

Das Dreieck $BLN$ ist gleichschenklig, da der Winkel $LNB= LBN=45^\circ$

$\tan\sphericalangle{LNB}=\dfrac{\overline{BL}}{\overline{LN}}=\dfrac{5\ \text{cm}}{3\ \text{cm}+\overline{MN}}\Rightarrow$$\displaystyle\overline{MN}=\frac{5\ \text{cm}-3\ \text{cm}\cdot\tan45^{\circ}}{\tan45^{\circ}}$

$\overline{MN}=r=2\ \text{cm}$

Alternative Begründung:

Da das Dreieck $BLN$ gleichschenklig ist, ist $\overline{LN}=\overline{BL}=\frac{1}{2}\overline{BC}=5\ \text{cm}.$

Daher ist

$r=\overline{MN}=\overline{LN}-\overline{LM}=5\ \text{cm}-3\ \text{cm}=2\ \text{cm}$.

Durch Rotation der Figur aus der Aufgabenstellung um die Achse $LN$ entsteht ein Rotationskörper. Berechne dessen Volumen.

Der Rotationskörper setzt sich aus einem Kegelstumpf und einer Halbkugel zusammen. Berechne das Volumen des Kegelstumpfes und das Volumen der Halbkugel und addiere sie.

$V_{\text{Kegelstumpf}}=\dfrac{h\cdot\pi}{3}\cdot(R^2+Rr+r^2)$

$r=2\; \text{cm}^2$ und $R=\overline{BC}=10\;\text{cm}$

$\Rightarrow\; V_{\text{Kegelstumpf}}=\dfrac{3\ \text{cm}\cdot\pi}{3}\cdot(25+10+4)\ \text{cm}^2$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=\pi\cdot39\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=122{,}52\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Kugel}}= \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot{r^3}\Rightarrow V_{\text{Halbkugel}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot{r^3}$

$V_{\text{Halbkugel}}=\dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot{2^3}\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Halbkugel}}=16{,}76\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Rotationsköper}}=122{,}52\ \text{cm}^3+16{,}76\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Rotationsköper}}=139{,}28\ \text{cm}^3$