Tangente bestimmen zu gegebener Funktion und Steigung
Bestimme den Funktionsterm der Tangente, die die Funktion f mit der angegebenen Steigung m berührt. Falls es mehrere Möglichkeiten gibt, bestimme alle Tangentengleichungen.
f(x)=−21x2+3x, m=−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Allgemein
Beispiel
Berechne f′(x)
f′(x)=−x+3
Setze mit der Steigung m gleich.
−2=−x+3
Löse nach x bzw. x0 auf.
x0=5
Berechne f(x0)
f(5)=−225+15=25
Setze x0,f(x0),m in die Tangentenformel ein.
g(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0) g(x)=−2(x−5)+25
Vereinfache.
−2x+225
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Leite die Funktion an und setze mit der Steigung gleich, du erhältst jene Stelle, an der die Funktion die gleiche Steigung hat wie vorgegeben. Danach sollte der Berührpunkt berechnet und die Tangentenformel angewendet werden.
f(x)=−31x3+21x2+11x−6, m=5
Allgemein
Beispiel
Berechne f′(x)
f′(x)=−x2+x+11
Setze mit der Steigung m gleich.
5=−x2+x+11
Zwischenschritt: Bringe in die Nullform und bestimme p,q.
0=x2−x−6
Löse nach x bzw. x0 auf.
x1/2=−2p±(2p)2−q Setze in die Formel p=−1, q=−6 ein: x1/2=−2(−1)±(2(−1))2+6 x1/2=21±41+424 x1/2=21±425 x1/2=21±25 x1=3 x2=−2
Hier ergeben sich zwei Möglichkeiten. Die Funktion f(x) besitzt an zwei Stellen die vorgegebene Steigung und damit ist es möglich zwei Tangenten anzulegen.
Allgemein
Beispiel
Berechne f(x1),f(x2)
f(3)=−31⋅33+21⋅32+11⋅3−6 f(3)=−9+29+33−6=245 f(−2)=−31⋅(−2)3+21⋅(−2)2+11⋅(−2)−6 f(−2)=38+2−22−6=−370
Setze x1,f(x1),m in die Tangentenformel ein.
g1(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0) g(x)=5(x−3)+245
Setze x2,f(x2),m in die Tangentenformel ein.
g2(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0) g(x)=5(x+2)−370
Vereinfache.
g1(x)=5x+215 g2(x)=5x−340
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Leite die Funktion ab und setze mit der Steigung gleich. Du erhältst jene Stelle, an der die Funktion die gleiche Steigung hat, wie vorgegeben. Danach sollte der Berührpunkt berechnet und die Tangentenformel angewendet werden.
