Wie erstellt man ein Histogramm?

Die folgende Übersicht zeigt verschiedene Arten von Histogrammen. Je ein Beispiel soll das entsprechende Histogramm verdeutlichten.

Vorgehensweise

Die Häufigkeitsverteilung eines bestimmten Merkmals liegt vor. So ein Merkmal kann z.B. die Körpergröße oder das Alter von Personen sein.

1. Klasseneinteilung

Mehrere Beobachtungswerte werden zu Klassen zusammengefasst. Die Klassen können eine konstante oder variable Breite haben. Für jede Klasse wird die Anzahl der Daten ermittelt, die in diese Klasse gehören.

• Die Klassengrenzen dürfen sich nicht überschneiden.

• Die Klassenbreite ist die Differenz zwischen oberer und unterer Klassengrenze.

• Es gibt keine offenen Randklassen, d.h. die erste und letzte Klasse haben eine untere bzw. obere Grenze.

2. Grafische Darstellung

Auf der $1.$ Achse werden die Intervalle entsprechend der Klasseneinteilung aufgetragen. Dann werden Rechtecke über den Intervallen gezeichnet.

Für die Rechteckhöhe ergeben sich je nach gewählter Histogrammart unterschiedliche Werte.

Sind die Klassen benachbart, dann grenzen die Rechtecke aneinander.

Den folgenden Beispielen liegt folgender Datensatz zugrunde.

Von $100$ Kindern wurden bei der Einschulungsuntersuchung die Körpergrößen in $\mathrm{cm}$ gemessen.

$\mathrm{I.}$ Klasseneinteilung mit konstanter Klassenbreite

Bei den Beispielen $1$, $2$, $3a$ und $3b$ wird eine konstante Klassenbreite von $2\;\mathrm{cm}$ gewählt. Die Klassenbreite ist z.B. das halboffene Intervall $[110;112[$. Darin sind alle Daten $x$, für die gilt $110 \;\mathrm{cm} \leq x<112 \;\mathrm{cm}$ und entsprechend die anderen Klassen.

1. Beispiel für ein Histogramm mit absoluter Häufigkeit und konstanter Klassenbreite

1.1 Klasseneinteilung

Wie oben angegeben.

1.2 Grafische Darstellung

2. Beispiel für ein Histogramm mit relativer Häufigkeit und konstanter Klassenbreite

2.1 Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Mit der Anzahl der einer Klasse zugeordneten Daten wird dann die relative Häufigkeit bestimmt.

2.2 Grafische Darstellung

3. Beispiel für ein absolutes Histogramm mit konstanter Klassenbreite und Häufigkeitsdichte

Bei einem absoluten Histogramm entspricht der Flächeninhalt der Rechtecke genau dem Wert der absoluten Häufigkeit der Klasse.

3.1 Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Die Häufigkeitsdichte wird berechnet: $\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{Anzahl}}{\text{Klassenbreite}}$

3.2 Grafische Darstellung

4. Beispiel für ein relatives oder normiertes Histogramm mit konstanter Klassenbreite und relativer Häufigkeitsdichte

Bei einem relativen oder normierten Histogramm entspricht der Flächeninhalt der Rechtecke genau dem Wert der relativen Häufigkeit der Klasse. Werden alle Flächeninhalte der Rechtecke addiert, ergibt sich die Summe aller relativen Häufigkeiten, also der Wert $1$.

4.1 Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Die relative Häufigkeitsdichte wird berechnet: $\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{rel. Häufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}$

4.2 Grafische Darstellung

$\mathrm{II.}$ Klasseneinteilung mit variabler Klassenbreite

Bei variablen Klassenbreiten können die Histogramme nur mit der Häufigkeitsdichte bzw. relativen Häufigkeitsdichte dargestellt werden. Eine Darstellung mit absoluten Häufigkeiten würde zu Fehlinterpretationen führen.

Bei den Beispielen $5$ und $6$ wird eine variable Klassenbreite gewählt. Die Klassenbreite für die $1.$ Klasse ist das halboffene Intervall $[110;113[$. Darin sind alle Daten $x$, für die gilt $110 \;\mathrm{cm} \leq x<113 \;\mathrm{cm}$. Diese Klasse hat eine Breite von $3\;\mathrm{cm}$. Die $2.$ Klasse hat eine Breite von $2\;\mathrm{cm}$ und die $3.$ Klasse hat eine Breite von $5\;\mathrm{cm}$.

5. Beispiel für ein absolutes Histogramm mit variabler Klassenbreite und Häufigkeitsdichte

Bei einem absoluten Histogramm entspricht der Flächeninhalt der Rechtecke genau dem Wert der absoluten Häufigkeit der Klasse.

5.1 Klasseneinteilung

Wie oben angegeben.

Die Häufigkeitsdichte wird berechnet: $\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{Anzahl}}{\text{Klassenbreite}}$

5.2 Grafische Darstellung

6. Beispiel für ein relatives oder normiertes Histogramm mit variabler Klassenbreite und relativer Häufigkeitsdichte

Bei einem relativen oder normierten Histogramm entspricht der Flächeninhalt der Rechtecke genau dem Wert der relativen Häufigkeit der Klasse. Werden alle Flächeninhalte der Rechtecke addiert, ergibt sich die Summe aller relativen Häufigkeiten, also der Wert $1$.

6.1 Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim $5.$ Beispiel.

Die relative Häufigkeitsdichte wird berechnet: $\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{rel. Häufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}$

6.2 Grafische Darstellung

Zusammenfassung