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Wie erstellt man ein Histogramm?

Histogramm

Bei statistischen Untersuchungen fallen Daten an. Je mehr Daten vorliegen, um so schwieriger ist es, den Überblick zu bekommen. Werden die Daten grafisch dargestellt, können unübersichtliche Datensätze besser veranschaulicht werden.

Die Daten werden geordnet, in Gruppen bzw. Klassen eingeteilt und in einem Diagramm dargestellt.

Solch eine grafische Darstellung wird Histogramm genannt.

Die folgende Übersicht zeigt verschiedene Arten von Histogrammen. Je ein Beispiel soll das entsprechende Histogramm verdeutlichten.

Übersicht verschiedene Histogramme

Vorgehensweise

Die Häufigkeitsverteilung eines bestimmten Merkmals liegt vor. So ein Merkmal kann z.B. die Körpergröße oder das Alter von Personen sein.

1. Klasseneinteilung

Mehrere Beobachtungswerte werden zu Klassen zusammengefasst. Die Klassen können eine konstante oder variable Breite haben. Für jede Klasse wird die Anzahl der Daten ermittelt, die in diese Klasse gehören.

  • Die Klassengrenzen dürfen sich nicht überschneiden.

  • Die Klassenbreite ist die Differenz zwischen oberer und unterer Klassengrenze.

  • Es gibt keine offenen Randklassen, d.h. die erste und letzte Klasse haben eine untere bzw. obere Grenze.

2. Grafische Darstellung

Auf der 1.1. Achse werden die Intervalle entsprechend der Klasseneinteilung aufgetragen. Dann werden Rechtecke über den Intervallen gezeichnet.

Für die Rechteckhöhe ergeben sich je nach gewählter Histogrammart unterschiedliche Werte.

Sind die Klassen benachbart, dann grenzen die Rechtecke aneinander.

Den folgenden Beispielen liegt folgender Datensatz zugrunde.

Von 100100 Kindern wurden bei der Einschulungsuntersuchung die Körpergrößen in cm \mathrm{cm} gemessen.

Größe

Anzahl

110

7

111

10

112

9

113

11

114

12

115

14

116

11

117

10

118

7

119

6

120

3

I.\mathrm{I.} Klasseneinteilung mit konstanter Klassenbreite

Bei den Beispielen 11, 22, 3a 3a und 3b3b wird eine konstante Klassenbreite von 2  cm2\;\mathrm{cm} gewählt. Die Klassenbreite ist z.B. das halboffene Intervall [110;112[[110;112[. Darin sind alle Daten xx, für die gilt 110  cmx<112  cm110 \;\mathrm{cm} \leq x<112 \;\mathrm{cm} und entsprechend die anderen Klassen.

1. Beispiel für ein Histogramm mit absoluter Häufigkeit und konstanter Klassenbreite

1.1 Klasseneinteilung

Wie oben angegeben.

Klasse

Anzahl

Klassenbreite

[110;112[

17

2

[112;114[

20

2

[114;116[

26

2

[116;118[

21

2

[118;120]

16

2

1.2 Grafische Darstellung

Histogramm

Auf der 1.1. Achse werden die Intervalle entsprechend der Klasseneinteilung aufgetragen. Dann werden Rechtecke über den Intervallen gezeichnet.

Dabei entspricht die Rechteckhöhe der absoluten Häufigkeit.

Aus dem Histogramm kann sehr einfach an der 2.2. Achse die Anzahl der Kinder abgelesen werden, die zu einer bestimmten Klasse gehören.

In der 3.3. Klasse mit den Größen 114  cmx<116  cm114 \;\mathrm{cm} \leq x<116 \;\mathrm{cm} befinden sich 26 Kinder.

2. Beispiel für ein Histogramm mit relativer Häufigkeit und konstanter Klassenbreite

2.1 Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Mit der Anzahl der einer Klasse zugeordneten Daten wird dann die relative Häufigkeit bestimmt.

Klasse

Anzahl

rel. Häufigkeit

Klassenbreite

[110;112[

17

0,17

2

[112;114[

20

0,20

2

[114;116[

26

0,26

2

[116;118[

21

0,21

2

[118;120]

16

0,16

2

2.2 Grafische Darstellung

Histogramm rel. Häufigkeit

Auf der 1.1. Achse werden die Intervalle entsprechend der Klasseneinteilung aufgetragen. Dann werden Rechtecke über den Intervallen gezeichnet.

Dabei entspricht die Rechteckhöhe der relativen Häufigkeit.

Z.B. beträgt die relative Häufigkeit 0,200{,}20 für die 2.2. Klasse mit den Größen 112  cmx<114  cm112 \;\mathrm{cm} \leq x<114 \;\mathrm{cm} .

3. Beispiel für ein absolutes Histogramm mit konstanter Klassenbreite und Häufigkeitsdichte

Bei einem absoluten Histogramm entspricht der Flächeninhalt der Rechtecke genau dem Wert der absoluten Häufigkeit der Klasse.

3.1 Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Die Häufigkeitsdichte wird berechnet: Ha¨ufigkeitsdichte=AnzahlKlassenbreite\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{Anzahl}}{\text{Klassenbreite}}

Klasse

Anzahl

Klassenbreite

Häufigkeitsdichte

[110;112[

17

2

8,5

[112;114[

20

2

10

[114;116[

26

2

13

[116;118[

21

2

10,5

[118;120]

16

2

8

3.2 Grafische Darstellung

normiertes Histogramm mit konstanter Klassenbreite und Häufigkeitsdichte

Die Häufigkeitsdichte ergibt die Höhe des Rechtecks.

Für die Zeichnung der Rechtecke muss ein Maßstab festgelegt werden. Hier wurde z.B. festgelegt, dass einer relativen Häufigkeitsdichte von 22 eine Rechteckhöhe von 1  cm1\;\mathrm{cm} zugeordnet wird.

Der Flächeninhalt entspricht dann der absoluten Häufigkeit.

Z.B. berechnet man die absolute Häufigkeit für die 1.1. Klasse mit:

Klassenbreite mal Ha¨ufigkeitsdichte=28,5=17\text{Klassenbreite mal Häufigkeitsdichte}=2\cdot 8{,}5=17

4. Beispiel für ein relatives oder normiertes Histogramm mit konstanter Klassenbreite und relativer Häufigkeitsdichte

Bei einem relativen oder normierten Histogramm entspricht der Flächeninhalt der Rechtecke genau dem Wert der relativen Häufigkeit der Klasse. Werden alle Flächeninhalte der Rechtecke addiert, ergibt sich die Summe aller relativen Häufigkeiten, also der Wert 11.

4.1 Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Die relative Häufigkeitsdichte wird berechnet: Ha¨ufigkeitsdichte=rel. Ha¨ufigkeitKlassenbreite\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{rel. Häufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}

Klasse

Anzahl

rel.Häufigkeit

Klassenbreite

Häufigkeitsdichte

[110;112[

17

0,17

2

0,085

[112;114[

20

0,20

2

0,10

[114;116[

26

0,26

2

0,13

[116;118[

21

0,21

2

0,105

[118;120]

16

0,16

2

0,08

4.2 Grafische Darstellung

Histogramm normiert, konstante Klassenbreite rel. Häufigkeitsdichte

Die relative Häufigkeitsdichte ergibt die Höhe des Rechtecks.

Für die Zeichnung der Rechtecke muss ein Maßstab festgelegt werden. Hier wurde z.B. festgelegt, dass einer relativen Häufigkeitsdichte von 0,020{,}02 eine Rechteckhöhe von 1  cm1\;\mathrm{cm} zugeordnet wird.

Der Flächeninhalt entspricht dann der relativen Häufigkeit.

Z.B. berechnet man die relative Häufigkeit für die 1.1. Klasse mit:

Klassenbreite mal Ha¨ufigkeitsdichte=20,085=0,17\text{Klassenbreite mal Häufigkeitsdichte}=2\cdot0{,}085=0{,}17

II.\mathrm{II.} Klasseneinteilung mit variabler Klassenbreite

Bei variablen Klassenbreiten können die Histogramme nur mit der Häufigkeitsdichte bzw. relativen Häufigkeitsdichte dargestellt werden. Eine Darstellung mit absoluten Häufigkeiten würde zu Fehlinterpretationen führen.

Bei den Beispielen 55 und 6 6 wird eine variable Klassenbreite gewählt. Die Klassenbreite für die 1.1. Klasse ist das halboffene Intervall [110;113[[110;113[. Darin sind alle Daten xx, für die gilt 110  cmx<113  cm110 \;\mathrm{cm} \leq x<113 \;\mathrm{cm} . Diese Klasse hat eine Breite von 3  cm3\;\mathrm{cm} . Die 2.2. Klasse hat eine Breite von 2  cm2\;\mathrm{cm} und die 3.3. Klasse hat eine Breite von 5  cm5\;\mathrm{cm}.

5. Beispiel für ein absolutes Histogramm mit variabler Klassenbreite und Häufigkeitsdichte

Bei einem absoluten Histogramm entspricht der Flächeninhalt der Rechtecke genau dem Wert der absoluten Häufigkeit der Klasse.

5.1 Klasseneinteilung

Wie oben angegeben.

Die Häufigkeitsdichte wird berechnet: Ha¨ufigkeitsdichte=AnzahlKlassenbreite\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{Anzahl}}{\text{Klassenbreite}}

Klasse

Anzahl

Klassenbreite

Häufigkeitsdichte

[110;113[

26

3

8,67

[113;115[

23

2

11,5

[115;120]

51

5

10,2

5.2 Grafische Darstellung

Histogramm, variable Klassenbreiten

Die Häufigkeitsdichte ergibt die Höhe des Rechtecks.

Für die Zeichnung der Rechtecke muss ein Maßstab festgelegt werden. Hier wurde z.B. festgelegt, dass einer Häufigkeitsdichte von 22 eine Rechteckhöhe von 1  cm1\;\mathrm{cm} zugeordnet wird.

Der Flächeninhalt entspricht dann der absoluten Häufigkeit.

Z.B. berechnet man die absolute Häufigkeit für die 3.3. Klasse mit:

Klassenbreite mal Ha¨ufigkeitsdichte=510,2=51\text{Klassenbreite mal Häufigkeitsdichte}=5\cdot 10{,}2=51

6. Beispiel für ein relatives oder normiertes Histogramm mit variabler Klassenbreite und relativer Häufigkeitsdichte

Bei einem relativen oder normierten Histogramm entspricht der Flächeninhalt der Rechtecke genau dem Wert der relativen Häufigkeit der Klasse. Werden alle Flächeninhalte der Rechtecke addiert, ergibt sich die Summe aller relativen Häufigkeiten, also der Wert 11.

6.1 Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 5.5. Beispiel.

Die relative Häufigkeitsdichte wird berechnet: Ha¨ufigkeitsdichte=rel. Ha¨ufigkeitKlassenbreite\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{rel. Häufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}

Klasse

rel. Häufigkeit

Klassenbreite

rel. Häufigkeitsdichte

[110;113[

0,26

3

0,087

[113;115[

0,23

2

0,115

[115;120]

0,51

5

0,102

6.2 Grafische Darstellung

Histogramm normiert, variable Klassenbreite

Die relative Häufigkeitsdichte ergibt die Höhe des Rechtecks.

Für die Zeichnung der Rechtecke muss ein Maßstab festgelegt werden. Hier wurde z.B. festgelegt, dass einer relativen Häufigkeitsdichte von 0,010{,}01 eine Rechteckhöhe von 1  cm1\;\mathrm{cm} zugeordnet wird.

Der Flächeninhalt entspricht dann der relativen Häufigkeit.

Z.B. berechnet man die relative Häufigkeit für die 3.3. Klasse mit:

Klassenbreite mal Ha¨ufigkeitsdichte=50,102=0,51\text{Klassenbreite mal Häufigkeitsdichte}=5\cdot 0{,}102=0{,}51

Zusammenfassung

Mit einem Histogramm können numerische Daten geordnet dargestellt werden. Man erhält Aussagen über:

  • die Verteilung der Daten (Symmetrieverhältnisse)

  • Schwankungen, die in den Daten vorhanden sind

  • den ungefähren Mittelpunkt der Daten

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