Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

…

Spiegele den Punkt $P (1 | 2 | 5)$ an der Geraden

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem gegebenen Punkt $P (1 | 2 | 5)$ und dem Richtungsvektor der Geraden $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ als Normalenvektor:

$H : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = 0$

2. Schneide $g$ mit $H$ :

$0 (\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Setze $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ in H ein.
$((\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$((\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$(\begin{array}{c} 0 + r \\ 0 + r \\ - 5 + 2 r \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$(0 + r) \cdot 1 + (0 + r) \cdot 1 + (- 5 + 2 r) \cdot 2$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$r + r - 10 + 4 r$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$6 r - 10$	$=$	$0$	$+ 10$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$6 r$	$=$	$10$	$: 6$
$r$	$=$	$\frac{10}{6}$
	↓	Kürze.
$r$	$=$	$\frac{5}{3}$

Setze $r = \frac{5}{3}$ in die Geradengleichung ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + (\frac{5}{3}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{3} \\ 2 + \frac{5}{3} \\ 0 + \frac{10}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{8}{3} \\ \frac{11}{3} \\ \frac{10}{3} \end{array}) \Rightarrow$ $F (\frac{8}{3} | \frac{11}{3} | \frac{10}{3})$

3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

$\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} \frac{8}{3} \\ \frac{11}{3} \\ \frac{10}{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ \frac{5}{3} \\ - \frac{5}{3} \end{array})$

4. Setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein:

$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ \frac{5}{3} \\ - \frac{5}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 + \frac{10}{3} \\ 2 + \frac{10}{3} \\ 5 - \frac{10}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{13}{3} \\ \frac{16}{3} \\ \frac{5}{3} \end{array})$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{'} (\frac{13}{3} | \frac{16}{3} | \frac{5}{3})$ .

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$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem gegebenen Punkt $P (1 | 2 | 5)$ und dem Richtungsvektor der Geraden $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})$ als Normalenvektor:

$H : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) = 0$

2. Schneide $g$ mit $H$ :

$(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Setze $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})$ in H ein.
$((\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$((\begin{array}{c} - 3 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$(\begin{array}{c} - 3 + r \\ - 1 - 2 r \\ - 2 + 0 r \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$(- 3 + r) \cdot 1 + (- 1 - 2 r) \cdot (- 2) + (- 2 + 0 r) \cdot 0$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf
$- 3 + r + 2 + 4 r + 0$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$5 r - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$5 r$	$=$	$1$	$: 5$
$r$	$=$	$\frac{1}{5}$

Setze $r = \frac{1}{5}$ in die Geradengleichung ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + (\frac{1}{5}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 + \frac{1}{5} \\ 1 - \frac{2}{5} \\ 3 + 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{9}{5} \\ \frac{3}{5} \\ 3 \end{array}) \Rightarrow$ $F (- \frac{9}{5} | \frac{3}{5} | 3)$

3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

$\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} - \frac{9}{5} \\ \frac{3}{5} \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{14}{5} \\ - \frac{7}{5} \\ - 2 \end{array})$

4. Setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein:

$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} - \frac{14}{5} \\ - \frac{7}{5} \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 - \frac{28}{5} \\ 2 - \frac{14}{5} \\ 5 - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{23}{5} \\ - \frac{4}{5} \\ 1 \end{array})$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{'} (- \frac{23}{5} | - \frac{4}{5} | 1)$ .

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