Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spiegele den Punkt $P (1 ∣ 2 ∣ 5)$ an der Geraden

$g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem gegebenen Punkt $P (1 ∣ 2 ∣ 5)$ und dem Richtungsvektor der Geraden $g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $g$ mit $H$ :

$\displaystyle 0\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ in H ein.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}0\\0\\-5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0+r\\0+r\\-5+2r\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (0+r)\cdot 1+(0+r)\cdot 1+(-5+2r)\cdot 2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle r+r-10+4r$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6r-10$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +10$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 6r$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{6}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}$

Setze $r=\dfrac{5}{3}$ in die Geradengleichung ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+(\frac{5}{3})\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{5}{3}\\[1ex] 2+\frac{5}{3}\\[1ex]0+\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{8}{3}\\[1ex] \frac{11}{3}\\[1ex]\frac{10}{3}\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F(\frac{8}{3}|\frac{11}{3}|\frac{10}{3})$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\frac{8}{3}\\[1ex] \frac{11}{3}\\[1ex]\frac{10}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{10}{3}\\[1ex]2+\frac{10}{3}\\[1ex]5-\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{13}{3}\\[1ex] \frac{16}{3}\\[1ex]\frac{5}{3}\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(\frac{13}{3}|\frac{16}{3}|\frac{5}{3})$ .

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$h: \vec x= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem gegebenen Punkt $P (1 ∣ 2 ∣ 5)$ und dem Richtungsvektor der Geraden $h: \vec x= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $g$ mit $H$ :

$\displaystyle \left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $h: \vec x= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$ in H ein.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}-3\\-1\\-2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}-3+r\\-1-2r\\-2+0r\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (-3+r)\cdot 1+(-1-2r)\cdot (-2)+(-2+0r)\cdot 0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle -3+r+2+4r+0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 5r-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 5r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{5}$

Setze $r=\dfrac{1}{5}$ in die Geradengleichung ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+(\frac{1}{5})\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2+\frac{1}{5}\\[1ex] 1-\frac{2}{5}\\[1ex]3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{5}\\[1ex] \frac{3}{5}\\[1ex]3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F(-\frac{9}{5}|\frac{3}{5}|3)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{5}\\[1ex] \frac{3}{5}\\[1ex]3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{14}{5}\\[1ex] -\frac{7}{5}\\[1ex]-2\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-\frac{14}{5}\\[1ex] -\frac{7}{5}\\[1ex]-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\frac{28}{5}\\[1ex]2-\frac{14}{5}\\[1ex]5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{23}{5}\\[1ex] -\frac{4}{5}\\[1ex]1\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(-\frac{23}{5}|-\frac{4}{5}|1)$ .

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