Spiegele den Punkt P(1âŁ2âŁ5) an der Geraden
g:x=â120ââ+râ â112ââ
1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene H mit dem gegebenen Punkt P(1âŁ2âŁ5) und dem Richtungsvektor der Geraden g:x=â120ââ+râ â112ââ als Normalenvektor:
H:âxââ125âââââ112ââ=0
2. Schneide g mit H:
0âxââ125âââââ112ââ = 0 â Setze g:x=â120ââ+râ â112ââ in H ein.
ââ120ââ+râ â112ââââ125âââââ112ââ = 0 â Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
ââ00â5ââ+râ â112âââââ112ââ = 0 â Fasse zusammen.
â0+r0+râ5+2rââââ112ââ = 0 â Berechne das Skalarprodukt.
(0+r)â 1+(0+r)â 1+(â5+2r)â 2 = 0 â Löse die Klammern auf.
r+râ10+4r = 0 â Fasse zusammen.
6râ10 = 0 +10 â Löse nach r auf.
6r = 10 :6 r = 610â â KĂŒrze.
r = 35â Setze r=35â in die Geradengleichung ein, um den Punkt F zu berechnen.
xFâ=â120ââ+(35â)â â112ââ=â1+35â2+35â0+310âââ=â38â311â310ââââF(38ââŁ311ââŁ310â)
3. Berechne den Vektor PF
PF=OFâOP=â38â311â310âââââ125ââ=â35â35ââ35âââ
4. Setze OP und PF in die Vektorgleichung OPâČ=OP+2â PF ein:
OPâČ=â125ââ+2â â35â35ââ35âââ=â1+310â2+310â5â310âââ=â313â316â35âââ
Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten PâČ(313ââŁ316ââŁ35â).
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h:x=ââ213ââ+râ â1â20ââ
1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene H mit dem gegebenen Punkt P(1âŁ2âŁ5) und dem Richtungsvektor der Geraden h:x=ââ213ââ+râ â1â20ââ als Normalenvektor:
H:âxââ125âââââ1â20ââ=0
2. Schneide g mit H:
âxââ125âââââ1â20ââ = 0 â Setze h:x=ââ213ââ+râ â1â20ââ in H ein.
âââ213ââ+râ â1â20ââââ125âââââ1â20ââ = 0 â Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
âââ3â1â2ââ+râ â1â20âââââ1â20ââ = 0 â Fasse zusammen.
ââ3+râ1â2râ2+0rââââ1â20ââ = 0 â Berechne das Skalarprodukt.
(â3+r)â 1+(â1â2r)â (â2)+(â2+0r)â 0 = 0 â Löse die Klammern auf
â3+r+2+4r+0 = 0 â Fasse zusammen.
5râ1 = 0 +1 â Löse nach r auf.
5r = 1 :5 r = 51â Setze r=51â in die Geradengleichung ein, um den Punkt F zu berechnen.
xFâ=ââ213ââ+(51â)â â1â20ââ=ââ2+51â1â52â3+0ââ=ââ59â53â3âââF(â59ââŁ53ââŁ3)
3. Berechne den Vektor PF
PF=OFâOP=ââ59â53â3ââââ125ââ=ââ514ââ57ââ2ââ
4. Setze OP und PF in die Vektorgleichung OPâČ=OP+2â PF ein:
OPâČ=â125ââ+2â ââ514ââ57ââ2ââ=â1â528â2â514â5â4ââ=ââ523ââ54â1ââ
Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten PâČ(â523ââŁâ54ââŁ1).
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