Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spiegele den Punkt $P(1|2|5)$ am Punkt $Z$ .

$Z(1|3|-4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
Der Punkt $P(1|2|5)$ wird am Punkt $Z(1|3|-4)$ gespiegelt.
$\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{OZ}=\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}$
Berechne den Vektor:
$\overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{OZ}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-9\end{pmatrix}$ .
Setze die Vektoren in $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}$ ein:
$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-13\end{pmatrix}$
Antwort: Der gespiegelte Punkt $P'$ hat die Koordinaten $P'(1|4|-13)$ .
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Benutze zur Berechnung des Spiegelpunktes die Vektorgleichung:
$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}$
$Z(-1|3|1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
Der Punkt $P(1|2|5)$ wird am Punkt $Z(-1|3|1)$ gespiegelt.
$\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{OZ}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$
Berechne den Vektor:
$\overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{OZ}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\end{pmatrix}$ .
Setze die Vektoren in $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}$ ein:
$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\-3\end{pmatrix}$
Antwort: Der gespiegelte Punkt $P'$ hat die Koordinaten $P'(-3|4|-3)$ .
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Benutze zur Berechnung des Spiegelpunktes die Vektorgleichung:
$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}$

Spiegele den Punkt $P(1|2|5)$ an der Geraden

$g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem gegebenen Punkt $P(1|2|5)$ und dem Richtungsvektor der Geraden $g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $g$ mit $H$ :

$\displaystyle 0\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ in H ein.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}0\\0\\-5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0+r\\0+r\\-5+2r\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (0+r)\cdot 1+(0+r)\cdot 1+(-5+2r)\cdot 2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle r+r-10+4r$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6r-10$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +10$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 6r$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{6}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}$

Setze $r=\dfrac{5}{3}$ in die Geradengleichung ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+(\frac{5}{3})\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{5}{3}\\[1ex] 2+\frac{5}{3}\\[1ex]0+\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{8}{3}\\[1ex] \frac{11}{3}\\[1ex]\frac{10}{3}\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F(\frac{8}{3}|\frac{11}{3}|\frac{10}{3})$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\frac{8}{3}\\[1ex] \frac{11}{3}\\[1ex]\frac{10}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{10}{3}\\[1ex]2+\frac{10}{3}\\[1ex]5-\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{13}{3}\\[1ex] \frac{16}{3}\\[1ex]\frac{5}{3}\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(\frac{13}{3}|\frac{16}{3}|\frac{5}{3})$ .

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$h: \vec x= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem gegebenen Punkt $P(1|2|5)$ und dem Richtungsvektor der Geraden $h: \vec x= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $g$ mit $H$ :

$\displaystyle \left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $h: \vec x= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$ in H ein.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}-3\\-1\\-2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}-3+r\\-1-2r\\-2+0r\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (-3+r)\cdot 1+(-1-2r)\cdot (-2)+(-2+0r)\cdot 0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle -3+r+2+4r+0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 5r-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 5r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{5}$

Setze $r=\dfrac{1}{5}$ in die Geradengleichung ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+(\frac{1}{5})\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2+\frac{1}{5}\\[1ex] 1-\frac{2}{5}\\[1ex]3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{5}\\[1ex] \frac{3}{5}\\[1ex]3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F(-\frac{9}{5}|\frac{3}{5}|3)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{5}\\[1ex] \frac{3}{5}\\[1ex]3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{14}{5}\\[1ex] -\frac{7}{5}\\[1ex]-2\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-\frac{14}{5}\\[1ex] -\frac{7}{5}\\[1ex]-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\frac{28}{5}\\[1ex]2-\frac{14}{5}\\[1ex]5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{23}{5}\\[1ex] -\frac{4}{5}\\[1ex]1\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(-\frac{23}{5}|-\frac{4}{5}|1)$ .

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3

Spiegele den Punkt $P(1|2|5)$ an der Ebene.

$E:\;x_1+3x_2-2x_3=11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln

1. Hilfsgerade $h$ aufstellen, die senkrecht zur Ebene $E$ steht (der Normalenvektor $\vec n_E=\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ und verläuft durch den Punkt $P(1|2|5)$ :

$h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$

2. Schnittpunkt $S$ der Gerade $h$ mit der Ebene $E$ bestimmen.

$h\cap E$

$\displaystyle x_1+3x_2-2x_3$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Setze $h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ in $E$ ein.
$\displaystyle (1+r)+3\cdot(2+3r)-2\cdot(5-2r)$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 1+r+6+9r-10+4r$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -3+14r$	$=$	$\displaystyle 11$	$\displaystyle +3$
	↓	Löse nach r auf.
$\displaystyle 14r$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1$

Setze $r=1$ in $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu berechnen:

$\vec x_S=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;S(2|5|3)$

3. Vektor $\overrightarrow{PS}$ berechnen:

$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$

4. Vektor $\overrightarrow{PS}$ zu $\overrightarrow{OS}$ addieren, um den gesuchten Punkt $P'$ zu bekommen.

$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(3|8|1)$ .

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$F:\;-2x_1+x_2+3x_3=43$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln

1. Hilfsgerade $h$ aufstellen, die senkrecht zur Ebene $F$ steht (der Normalenvektor $\vec n_E=\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ und verläuft durch den Punkt $P(1|2|5)$ :

$h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$

2. Schnittpunkt $S$ der Gerade $h$ mit der Ebene $F$ bestimmen.

$h\cap F$

$\displaystyle -2x_1+x_2+3x_3$	$=$	$\displaystyle 43$
	↓	Setze $h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$ in $F$ ein.
$\displaystyle -2\cdot(1-2r)+(2+r)+3\cdot(5+3r)$	$=$	$\displaystyle 43$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle -2+4r+2+r+15+9r$	$=$	$\displaystyle 43$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 15+14r$	$=$	$\displaystyle 43$	$\displaystyle -15$
	↓	Löse nach r auf.
$\displaystyle 14r$	$=$	$\displaystyle 28$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 2$

Setze $r=2$ in $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu berechnen:

$\vec x_S=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\11\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;S(-3|4|11)$

3. Vektor $\overrightarrow{PS}$ berechnen:

$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-3\\4\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\6\end{pmatrix}$

4. Vektor $\overrightarrow{PS}$ zu $\overrightarrow{OS}$ addieren, um den gesuchten Punkt $P'$ zu bekommen.

$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix}-3\\4\\11\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6\\17\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(-7|6|17)$ .

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4

Spiegele die Gerade $g$ an der Ebene $E$ .

$g:\vec x=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $E:\;4x_1-2x_2+2x_3=30$ und $g\parallel E$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$ : $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$ .

$l_{Lot}\cap E$

$\displaystyle 4x_1-2x_2+2x_3$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Setze $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$ in $E$ ein.
$\displaystyle 4\cdot(2+4s)-2\cdot(4-2s)+2\cdot(3+2s)$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 8+16s-8+4s+6+4s$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6+24s$	$=$	$\displaystyle 30$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle 24s$	$=$	$\displaystyle 24$	$\displaystyle :24$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 1$

Setze $s=1$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;F(6|2|5)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\0\\7\end{pmatrix}$

5. Der berechnete Punkt $P'$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g'$ . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\vec u$ (parallele Gerade zu $g$ ) $\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$

$Antwort:$ Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung $g': \vec x= \begin{pmatrix}10\\0\\7\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$

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$g:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 4\\1 \\ 3 \end{pmatrix}$ , $E:\;x_1+2x_2-3x_3=-9$ und $g\cap E\;\Rightarrow\;S(11|5|10)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$ : $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$ .

Setze $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ in $E$ ein.

$l_{Lot}\cap E$

$\displaystyle x_1+2x_2-3x_3$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Setze $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ in $E$ ein.
$\displaystyle (-1+s)+2\cdot(2+2s)-3\cdot(1-3s)$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle -1+s+4+4s-3+9s$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 14s$	$=$	$\displaystyle -9$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{9}{14}$

Setze $s=-\dfrac{9}{14}$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\left(-\frac{9}{14} \right)\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-\frac{9}{14} \\[1ex]2-\frac{18}{14} \\[1ex]1+\frac{27}{14} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{23}{14} \\[1ex]\frac{10}{14} \\[1ex]\frac{41}{14} \end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;F\left(-\frac{23}{14}|\frac{10}{14}|\frac{41}{14}\right)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-\frac{23}{14} \\[1ex]\frac{10}{14} \\[1ex]\frac{41}{14} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{14}\\[1ex]-\frac{18}{14}\\[1ex]\frac{27}{14}\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-\frac{9}{14}\\[1ex]-\frac{18}{14}\\[1ex]\frac{27}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-\frac{18}{14}\\[1ex]2-\frac{36}{14}\\[1ex]1+\frac{54}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{32}{14}\\[1ex]-\frac{8}{14}\\[1ex]\frac{68}{14}\end{pmatrix}$

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{SP'}:$

$\overrightarrow{SP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}-\frac{32}{14}\\[1ex]-\frac{8}{14}\\[1ex]\frac{68}{14}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\5\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{32}{14}-11\\[1ex]-\frac{8}{14}-5\\[1ex]\frac{68}{14}-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{93}{7}\\[1ex]-\frac{39}{7}\\[1ex]-\frac{36}{7}\end{pmatrix}$

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann:

$g': \vec x= \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SP'}$

$g': \vec x=\begin{pmatrix}11\\5\\10\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-\frac{93}{7}\\[1ex]-\frac{39}{7}\\[1ex]-\frac{36}{7}\end{pmatrix}$ oder $g': \vec x=\begin{pmatrix}11\\5\\10\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}31\\13\\12\end{pmatrix}$

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5

Spiegele die Gerade $g$ an der Geraden $h$ .

$g: \vec x= \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $h: \vec x= \begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ . Die Gerade $g$ ist (echt) parallel zur Geraden $h$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

Lösung der Aufgabe mit Hilfsebene H

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $h$ mit $H$ :

$\displaystyle \left(\vec x- \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $h: \vec x= \begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ ein.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle \begin{pmatrix}2+2s\\1+s\\2-s\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (2+2s)\cdot 2+(1+s)\cdot1+(2-s)\cdot (-1)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 4+4s+1+s-2+s$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach $s$ auf.
$\displaystyle 6s+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 6s$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{6}$
	↓	Kürze
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{2}$

Setze $s=-\dfrac{1}{2}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+(-\frac{1}{2})\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-1\\[1ex] 1-\frac{1}{2}\\[1ex]3+\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\[1ex] 0{,}5\\[1ex]3{,}5\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F(5|0{,}5|3{,}5)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}5\\ 0{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}1\\0{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+2\\0+1\\1+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\1\\6\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(6|1|6)$ .

5. Setze in $g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$ den Spiegelpunkt $P'$ und den Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet: $g': \vec x= \begin{pmatrix}6\\1\\6\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$

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$g: \vec x= \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}$ und $h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ . Die Geraden schneiden sich im Punkt $S(1|3|1)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden $h$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $h$ mit $H$ :

$\displaystyle \left(\vec x- \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ ein.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}1\\-2\\-5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1-s\\-2+s\\-5+0s\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (1-s)\cdot(-1)+(-2+s)\cdot 1+(-5+0s)\cdot 0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle -1+s-2+s+0$	$=$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2s-3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
	↓	Löse nach $s$ auf.
$\displaystyle 2s$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Setze $s=1{,}5$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+1{,}5\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-1{,}5\\ 1+1{,}5\\1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5\\2{,}5\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F(1{,}5|2{,}5|1)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1{,}5\\2{,}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0{,}5\\-0{,}5\\-5\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-0{,}5\\-0{,}5\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-1\\3-1\\6-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(1|2|-4)$ .

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{P'S}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}$

Der berechnete Punkt $P'$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g'$ . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\overrightarrow{P'S}$ (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt $S$ ):

$\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{P'S}$

Setze in $g'$ den Spiegelpunkt $P'$ und den Richtungsvektor $\overrightarrow{P'S}$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet $g': \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}$ .

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6

Die Ebene $E$ soll an der Ebene $H$ gespiegelt werden.

Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Ebenen
$E:\; 2\cdot x_1- 3x_2+ x_3=7$ und $H:\; 2\cdot x_1- 3x_2+ x_3=12$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Ebene an einer Ebene
Die Ebene $E$ wird an der Ebene $H$ gespiegelt.
Für die rechte Seite der gespiegelten Ebene $E{}'$ in Koordinatenform gilt die Gleichung:
$\mathrm{(I)}\;\;d_3=2\cdot d_2-d_1$
Lies $d_1$ aus der Ebenengleichung $E$ ab: $d_1=7$
Lies $d_2$ aus der Ebenengleichung $H$ ab: $d_2=12$
Setze $d_1=7$ und $d_2=12$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein:
$d_3=2\cdot 12-7=24-7=17$
Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene $E'$ lautet: $2\cdot x_1- 3x_2+ x_3=17$
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$E:\; 2\cdot x_1+4\cdot x_2-2\cdot x_3=5$ und $H:\; 3\cdot x_1- x_2+4 x_3=8$ .

Die Gleichung der Schnittgeraden lautet: $g_S:\;\vec x=\begin{pmatrix}\dfrac{18}{7}\\[1ex]0\\[1ex]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Ebene an einer Ebene

1. Die Schnittgerade $g_S$ ist gegeben: $g_S:\;\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u =\begin{pmatrix}\dfrac{18}{7}\\[1ex]0\\[1ex]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ .

2. Finde einen Punkt $P$ auf der Ebene $E$ . Der Punkt $P$ darf nicht auf der Schnittgeraden $g_S$ liegen.

$E:\; 2\cdot x_1+4\cdot x_2-2\cdot x_3=5$

Setze z. B. $x_1=1$ und $x_2=1$ und berechne $x_3$ :

$2\cdot 1+4\cdot1-2\cdot x_3=5\;\Rightarrow\;x_3=0{,}5\;\Rightarrow\;P(1|1|0{,}5)$

Liegt $P$ auf $g_S$ ? Setze $P$ in die Geradengleichung ein:

$\begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{18}{7}\\[1ex]0\\[1ex]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{7}\\1\\\dfrac{3}{7}\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$

Aus der ersten Zeile folgt $r=\dfrac{11}{7}$ und aus der zweiten Zeile folgt $r=1$ . Das ist ein Widerspruch. Somit liegt $P$ nicht auf $g_S.$

3. Wird ein Punkt $P$ der Ebene $E$ an der Ebene $H$ gespiegelt, so liegen der Punkt $P$ und der Spiegelpunkt $P{}'$ auf einer Geraden, die senkrecht auf der Ebene $H$ steht. Diese Gerade ist die Lotgerade $l_{Lot}$ . Sie wird benötigt, um den Lotfußpunkt $F$ auf der Ebene $H$ zu berechnen.

Erstelle nun eine Lotgerade $l_{Lot}$ mit dem gefundenen Punkt $P(1|1|0{,}5)$ als Aufpunkt und dem Normalenvektor $\vec n_H=\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$ der Ebene $H$ : $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$

4. Schneide die Lotgerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $H$ , um den Lotfußpunkt $F$ zu erhalten.

$\displaystyle 3\cdot x_1- x_2+4 x_3$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Setze die Lotgerade $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$ in $H$ ein.
$\displaystyle 3\cdot(1+3r)-(1-r)+4\cdot(0{,}5+4r)$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 3+9r-1+r+2+16r$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 4+26r$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle -4$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 26r$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :26$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{26}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{13}$

Setze $r=\dfrac{2}{13}$ in die Lotgerade $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}+(\frac{2}{13})\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+\dfrac{6}{13}\\[2ex] 1-\dfrac{2}{13}\\[2ex]0{,}5+\dfrac{8}{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{13}\\[2ex] \dfrac{11}{13}\\[2ex]\dfrac{29}{26}\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F\left(\dfrac{19}{13}\Big\vert\dfrac{11}{13}\Big\vert\dfrac{29}{26}\right)$

5. Für den Spiegelpunkt $P{}'$ gilt immer die Gleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$

Berechne zunächst den Vektor $\overrightarrow{PF}$ :

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{13}\\[2ex] \dfrac{11}{13}\\[2ex]\dfrac{29}{26}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{13}-1\\[2ex] \dfrac{11}{13}-1\\[2ex]\dfrac{29}{26}-0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{6}{13}\\[2ex] -\dfrac{2}{13}\\[2ex]\dfrac{8}{13}\end{pmatrix}$

6. Setze dann $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}\dfrac{6}{13}\\[2ex] -\dfrac{2}{13}\\[2ex]\dfrac{8}{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\dfrac{12}{13}\\[2ex]1-\dfrac{4}{13}\\[2ex]0{,}5+\dfrac{16}{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{25}{13}\\[2ex]\dfrac{9}{13}\\[2ex]\dfrac{45}{26}\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'\left(\dfrac{25}{13}\Big\vert\dfrac{9}{13}\Big\vert\dfrac{45}{26}\right)$ .

7. Der berechnete Punkt $P'$ ist ein Punkt der Spiegelebene $E'$ . Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene $E'$ mit der Schnittgeraden $g_S$ und einem weiteren Richtungsvektor $\vec v=\overrightarrow{AP'}$ ( $A$ ist der Aufpunkt der Schnittgeraden)

$\;\Rightarrow\;$ $E':\; \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u+s\cdot \vec v$ .

Berechne den zweiten Richtungsvektor:

$\vec v=\overrightarrow{AP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}\dfrac{25}{13}\\[2ex]\dfrac{9}{13}\\[2ex]\dfrac{45}{26}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\dfrac{18}{7}\\[1ex]0\\[1ex]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{25}{13}-\dfrac{18}{7}\\[2ex]\dfrac{9}{13}-0\\[2ex]\dfrac{45}{26}-\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{59}{91}\\[2ex]\dfrac{9}{13}\\[2ex]\dfrac{151}{91}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{91}\cdot\begin{pmatrix}-59\\63\\151\end{pmatrix}$

Die Spiegelebene $E'$ kann dann als Parametergleichung geschrieben werden:

$E':\;\vec x=\begin{pmatrix}\dfrac{18}{7}\\[1ex]0\\[1ex]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-59\\63\\151\end{pmatrix}$

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7

Der Punkt $P(2|1|3)$ wird an der Ebene $E$ gespiegelt. Der Spiegelpunkt $P{}'$ hat die Koordinaten $P{}'(8|2|5)$ . Bestimme die Gleichung der Spiegelebene $E$ in Koordinatenform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln

Der Vektor $\overrightarrow{PP{}'}=\overrightarrow{OP{}'}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}8\\2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}=\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}6\\1\\2\end{pmatrix}}$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$ .

Der Vektor $\overrightarrow{OM}$ ist der Vektor, der vom Koordinatenursprung aus zur Mitte des Vektors $\overrightarrow{PP{}'}$ zeigt. Der Punkt $M$ ist ein Punkt in der Ebene $E$ .

Berechne den Vektor $\overrightarrow{OM}$ :

$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OP{}'}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}8\\2\\5\end{pmatrix}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}10\\3\\8\end{pmatrix}=\textcolor{006400}{\begin{pmatrix}5\\1{,}5\\4\end{pmatrix}}$

Mit dem berechneten Vektor $\overrightarrow{OM}$ und dem Normalenvektor $\vec n= \textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}6\\1\\2\end{pmatrix}}$ der Ebene $E$ kann die Ebenengleichung in Normalenform folgendermaßen geschrieben werden:

$E: \left(\vec x -\textcolor{006400}{\begin{pmatrix}5\\1{,}5\\4\end{pmatrix}}\right)\circ\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}6\\1\\2\end{pmatrix}}=0$

Die Ebenengleichung wird in Koordinatenform umgerechnet, indem das Skalarprodukt ausgerechnet wird:

$E:\;\textcolor{ff6600}{6}\cdot x_1+\textcolor{ff6600}{ 1}\cdot x_2+\textcolor{ff6600}{2}\cdot x_3-(\textcolor{006400}{5}\cdot \textcolor{ff6600}{6}+\textcolor{006400}{1{,}5}\cdot \textcolor{ff6600}{ 1}+\textcolor{006400}{4}\cdot \textcolor{ff6600}{2})=0$

$\;\Rightarrow\; E:\;6\cdot x_1+ x_2+2\cdot x_3-39{,}5=0$ oder $E:\;6\cdot x_1+ x_2+2\cdot x_3=39{,}5$

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene lautet $E:\;6\cdot x_1+ x_2+2\cdot x_3=39{,}5$ .

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