Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie
Spieglein, Spieglein - Lerne mit diesen gemischten Übungsaufgaben das Spiegeln von Punkten, Geraden und Ebenen!
- 1
Spiegele den Punkt P(1∣2∣5) am Punkt Z.
Z(1∣3∣−4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
Der Punkt P(1∣2∣5) wird am Punkt Z(1∣3∣−4) gespiegelt.
OP=125und OZ=13−4
Berechne den Vektor:
PZ=OZ−OP=13−4−125=01−9.
Setze die Vektoren in OP′=OP+2⋅PZ ein:
OP′=125+2⋅01−9=14−13
Antwort: Der gespiegelte Punkt P′ hat die Koordinaten P′(1∣4∣−13).
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Benutze zur Berechnung des Spiegelpunktes die Vektorgleichung:
OP′=OP+2⋅PZ
Z(−1∣3∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
Der Punkt P(1∣2∣5) wird am Punkt Z(−1∣3∣1) gespiegelt.
OP=125und OZ=−131
Berechne den Vektor:
PZ=OZ−OP=−131−125=−21−4.
Setze die Vektoren in OP′=OP+2⋅PZ ein:
OP′=125+2⋅−21−4=−34−3
Antwort: Der gespiegelte Punkt P′ hat die Koordinaten P′(−3∣4∣−3).
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Benutze zur Berechnung des Spiegelpunktes die Vektorgleichung:
OP′=OP+2⋅PZ
- 2
Spiegele den Punkt P(1∣2∣5) an der Geraden
g:x=120+r⋅112
1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene H mit dem gegebenen Punkt P(1∣2∣5) und dem Richtungsvektor der Geraden g:x=120+r⋅112 als Normalenvektor:
H:x−125∘112=0
2. Schneide g mit H:
0x−125∘112 = 0 ↓ Setze g:x=120+r⋅112 in H ein.
120+r⋅112−125∘112 = 0 ↓ Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
00−5+r⋅112∘112 = 0 ↓ Fasse zusammen.
0+r0+r−5+2r∘112 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
(0+r)⋅1+(0+r)⋅1+(−5+2r)⋅2 = 0 ↓ Löse die Klammern auf.
r+r−10+4r = 0 ↓ Fasse zusammen.
6r−10 = 0 +10 ↓ Löse nach r auf.
6r = 10 :6 r = 610 ↓ Kürze.
r = 35 Setze r=35 in die Geradengleichung ein, um den Punkt F zu berechnen.
xF=120+(35)⋅112=1+352+350+310=38311310⇒F(38∣311∣310)
3. Berechne den Vektor PF
PF=OF−OP=38311310−125=3535−35
4. Setze OP und PF in die Vektorgleichung OP′=OP+2⋅PF ein:
OP′=125+2⋅3535−35=1+3102+3105−310=31331635
Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten P′(313∣316∣35).
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h:x=−213+r⋅1−20
1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene H mit dem gegebenen Punkt P(1∣2∣5) und dem Richtungsvektor der Geraden h:x=−213+r⋅1−20 als Normalenvektor:
H:x−125∘1−20=0
2. Schneide g mit H:
x−125∘1−20 = 0 ↓ Setze h:x=−213+r⋅1−20 in H ein.
−213+r⋅1−20−125∘1−20 = 0 ↓ Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
−3−1−2+r⋅1−20∘1−20 = 0 ↓ Fasse zusammen.
−3+r−1−2r−2+0r∘1−20 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
(−3+r)⋅1+(−1−2r)⋅(−2)+(−2+0r)⋅0 = 0 ↓ Löse die Klammern auf
−3+r+2+4r+0 = 0 ↓ Fasse zusammen.
5r−1 = 0 +1 ↓ Löse nach r auf.
5r = 1 :5 r = 51 Setze r=51 in die Geradengleichung ein, um den Punkt F zu berechnen.
xF=−213+(51)⋅1−20=−2+511−523+0=−59533⇒F(−59∣53∣3)
3. Berechne den Vektor PF
PF=OF−OP=−59533−125=−514−57−2
4. Setze OP und PF in die Vektorgleichung OP′=OP+2⋅PF ein:
OP′=125+2⋅−514−57−2=1−5282−5145−4=−523−541
Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten P′(−523∣−54∣1).
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- 3
Spiegele den Punkt P(1∣2∣5) an der Ebene.
E:x1+3x2−2x3=11
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln
1. Hilfsgerade h aufstellen, die senkrecht zur Ebene E steht (der Normalenvektor nE=13−2der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden h und verläuft durch den Punkt P(1∣2∣5):
h:x=125+r⋅13−2
2. Schnittpunkt S der Gerade h mit der Ebene E bestimmen.
h∩E
x1+3x2−2x3 = 11 ↓ Setze h:x=125+r⋅13−2in E ein.
(1+r)+3⋅(2+3r)−2⋅(5−2r) = 11 ↓ Löse die Klammern auf.
1+r+6+9r−10+4r = 11 ↓ Fasse zusammen.
−3+14r = 11 +3 ↓ Löse nach r auf.
14r = 14 :14 r = 1 Setze r=1 in h ein, um den Schnittpunkt S zu berechnen:
xS=125+1⋅13−2=253⇒S(2∣5∣3)
3. Vektor PS berechnen:
PS=OS−OP=253−125=13−2
4. Vektor PS zu OS addieren, um den gesuchten Punkt P′ zu bekommen.
OP′=OS+PS=253+13−2=381
Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten P′(3∣8∣1).
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F:−2x1+x2+3x3=43
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln
1. Hilfsgerade h aufstellen, die senkrecht zur Ebene Fsteht (der Normalenvektor nE=−213der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden h und verläuft durch den Punkt P(1∣2∣5):
h:x=125+r⋅−213
2. Schnittpunkt S der Gerade h mit der Ebene F bestimmen.
h∩F
−2x1+x2+3x3 = 43 ↓ Setze h:x=125+r⋅−213in F ein.
−2⋅(1−2r)+(2+r)+3⋅(5+3r) = 43 ↓ Löse die Klammern auf.
−2+4r+2+r+15+9r = 43 ↓ Fasse zusammen.
15+14r = 43 −15 ↓ Löse nach r auf.
14r = 28 :14 r = 2 Setze r=2 in h ein, um den Schnittpunkt S zu berechnen:
xS=125+2⋅−213=−3411⇒S(−3∣4∣11)
3. Vektor PS berechnen:
PS=OS−OP=−3411−125=−426
4. Vektor PS zu OS addieren, um den gesuchten Punkt P′ zu bekommen.
OP′=OS+PS=−3411+−426=−7617
Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten P′(−7∣6∣17).
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- 4
Spiegele die Gerade g an der Ebene E.
g:x=243+r⋅011, E:4x1−2x2+2x3=30 und g∥E
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene
1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden lLot mit dem Aufpunkt P der Geraden g und mit dem Normalenvektor nE der Ebene E: lLot:x=OP+s⋅nE=243+s⋅4−22
2. Schneide die Gerade lLot mit der Ebene E.
lLot∩E
4x1−2x2+2x3 = 30 ↓ Setze lLot:x=243+s⋅4−22in E ein.
4⋅(2+4s)−2⋅(4−2s)+2⋅(3+2s) = 30 ↓ Löse die Klammern auf.
8+16s−8+4s+6+4s = 30 ↓ Fasse zusammen.
6+24s = 30 −6 24s = 24 :24 s = 1 Setze s=1 in die Lotgeradengleichung lLot ein, um den Punkt F zu berechnen.
xF=243+1⋅4−22=625⇒F(6∣2∣5)
3. Berechne den Vektor PF
PF=OF−OP=625−243=4−22
4. Setze OP und PF in die Vektorgleichung OP′=OP+2⋅PF ein:
OP′=243+2⋅4−22=1007
5. Der berechnete Punkt P′ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden g′. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor u (parallele Gerade zu g) ⇒g′:x=OP′+t⋅u
Antwort: Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung g′:x=1007+t⋅011
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g:x=−121+r⋅413, E:x1+2x2−3x3=−9 und g∩E⇒S(11∣5∣10)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene
1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden lLot mit dem Aufpunkt P der Geraden g und mit dem Normalenvektor nE der Ebene E: lLot:x=OP+s⋅nE=−121+s⋅12−3
2. Schneide die Gerade lLot mit der Ebene E.
Setze lLot:x=−121+s⋅12−3in E ein.
lLot∩E
x1+2x2−3x3 = −9 ↓ Setze lLot:x=−121+s⋅12−3in E ein.
(−1+s)+2⋅(2+2s)−3⋅(1−3s) = −9 ↓ Löse die Klammern auf
−1+s+4+4s−3+9s = −9 ↓ Fasse zusammen.
14s = −9 :14 s = −149 Setze s=−149 in die Lotgeradengleichung lLot ein, um den Punkt F zu berechnen.
xF=−121+(−149)⋅12−3=−1−1492−14181+1427=−1423141014