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Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spieglein, Spieglein - Lerne mit diesen gemischten Übungsaufgaben das Spiegeln von Punkten, Geraden und Ebenen!

  1. 1

    Spiegele den Punkt P(125)P(1|2|5) am Punkt ZZ.

    1. Z(134)Z(1|3|-4)

    2. Z(131)Z(-1|3|1)

  2. 2

    Spiegele den Punkt P(125)P(1|2|5) an der Geraden

    1. g:x=(120)+r(112)g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}

    2. h:x=(213)+r(120)h: \vec x= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}

  3. 3

    Spiegele den Punkt P(125)P(1|2|5) an der Ebene.

    1. E:  x1+3x22x3=11E:\;x_1+3x_2-2x_3=11

    2. F:  2x1+x2+3x3=43F:\;-2x_1+x_2+3x_3=43

  4. 4

    Spiegele die Gerade gg an der Ebene EE.

    1. g:x=(243)+r(011)g:\vec x=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0\\1 \\ 1 \end{pmatrix}, E:  4x12x2+2x3=30E:\;4x_1-2x_2+2x_3=30 und gEg\parallel E

    2. g:x=(121)+r(413)g:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 4\\1 \\ 3 \end{pmatrix}, E:  x1+2x23x3=9E:\;x_1+2x_2-3x_3=-9 und gE    S(11510)g\cap E\;\Rightarrow\;S(11|5|10)

  5. 5

    Spiegele die Gerade gg an der Geraden hh.

    1. g:x=(401)+r(211)g: \vec x= \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}und h:x=(613)+s(211)h: \vec x= \begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}. Die Gerade gg ist (echt) parallel zur Geraden hh.

    2. g:x=(236)+r(105)g: \vec x= \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}und h:x=(311)+s(110)h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}. Die Geraden schneiden sich im Punkt S(131)S(1|3|1).

  6. 6

    Die Ebene EE soll an der Ebene HH gespiegelt werden.

    1. Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Ebenen

      E:  2x13x2+x3=7E:\; 2\cdot x_1- 3x_2+ x_3=7 und H:  2x13x2+x3=12H:\; 2\cdot x_1- 3x_2+ x_3=12.

    2. E:  2x1+4x22x3=5E:\; 2\cdot x_1+4\cdot x_2-2\cdot x_3=5 und H:  3x1x2+4x3=8H:\; 3\cdot x_1- x_2+4 x_3=8.

      Die Gleichung der Schnittgeraden lautet: gS:  x=(1870114)+r(111)g_S:\;\vec x=\begin{pmatrix}\dfrac{18}{7}\\[1ex]0\\[1ex]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}

  7. 7

    Der Punkt P(213)P(2|1|3) wird an der Ebene EE gespiegelt. Der Spiegelpunkt PP{}' hat die Koordinaten P(825)P{}'(8|2|5). Bestimme die Gleichung der Spiegelebene EE in Koordinatenform.


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