Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spieglein, Spieglein - Lerne mit diesen gemischten Übungsaufgaben das Spiegeln von Punkten, Geraden und Ebenen!

1
Spiegele den Punkt $P(1|2|5)$ am Punkt $Z$ .
1. $Z(1|3|-4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
  Der Punkt $P(1|2|5)$ wird am Punkt $Z(1|3|-4)$ gespiegelt.
  $\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{OZ}=\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}$
  Berechne den Vektor:
  $\overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{OZ}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-9\end{pmatrix}$ .
  Setze die Vektoren in $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}$ ein:
  $\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-13\end{pmatrix}$
  Antwort: Der gespiegelte Punkt $P'$ hat die Koordinaten $P'(1|4|-13)$ .
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  Benutze zur Berechnung des Spiegelpunktes die Vektorgleichung:
  $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}$
2. $Z(-1|3|1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
  Der Punkt $P(1|2|5)$ wird am Punkt $Z(-1|3|1)$ gespiegelt.
  $\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{OZ}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$
  Berechne den Vektor:
  $\overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{OZ}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\end{pmatrix}$ .
  Setze die Vektoren in $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}$ ein:
  $\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\-3\end{pmatrix}$
  Antwort: Der gespiegelte Punkt $P'$ hat die Koordinaten $P'(-3|4|-3)$ .
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  Benutze zur Berechnung des Spiegelpunktes die Vektorgleichung:
  $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}$

Spiegele den Punkt $P(1|2|5)$ an der Geraden

$g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem gegebenen Punkt $P(1|2|5)$ und dem Richtungsvektor der Geraden $g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $g$ mit $H$ :

$\displaystyle 0\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ in H ein.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}0\\0\\-5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0+r\\0+r\\-5+2r\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (0+r)\cdot 1+(0+r)\cdot 1+(-5+2r)\cdot 2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle r+r-10+4r$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6r-10$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +10$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 6r$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{6}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{3}$

Setze $r=\dfrac{5}{3}$ in die Geradengleichung ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+(\frac{5}{3})\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{5}{3}\\[1ex] 2+\frac{5}{3}\\[1ex]0+\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{8}{3}\\[1ex] \frac{11}{3}\\[1ex]\frac{10}{3}\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F(\frac{8}{3}|\frac{11}{3}|\frac{10}{3})$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\frac{8}{3}\\[1ex] \frac{11}{3}\\[1ex]\frac{10}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{10}{3}\\[1ex]2+\frac{10}{3}\\[1ex]5-\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{13}{3}\\[1ex] \frac{16}{3}\\[1ex]\frac{5}{3}\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(\frac{13}{3}|\frac{16}{3}|\frac{5}{3})$ .

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$h: \vec x= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem gegebenen Punkt $P(1|2|5)$ und dem Richtungsvektor der Geraden $h: \vec x= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $g$ mit $H$ :

$\displaystyle \left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $h: \vec x= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$ in H ein.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}-3\\-1\\-2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}-3+r\\-1-2r\\-2+0r\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (-3+r)\cdot 1+(-1-2r)\cdot (-2)+(-2+0r)\cdot 0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle -3+r+2+4r+0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 5r-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 5r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{5}$

Setze $r=\dfrac{1}{5}$ in die Geradengleichung ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+(\frac{1}{5})\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2+\frac{1}{5}\\[1ex] 1-\frac{2}{5}\\[1ex]3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{5}\\[1ex] \frac{3}{5}\\[1ex]3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F(-\frac{9}{5}|\frac{3}{5}|3)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{5}\\[1ex] \frac{3}{5}\\[1ex]3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{14}{5}\\[1ex] -\frac{7}{5}\\[1ex]-2\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-\frac{14}{5}\\[1ex] -\frac{7}{5}\\[1ex]-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\frac{28}{5}\\[1ex]2-\frac{14}{5}\\[1ex]5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{23}{5}\\[1ex] -\frac{4}{5}\\[1ex]1\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(-\frac{23}{5}|-\frac{4}{5}|1)$ .

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Spiegele den Punkt $P(1|2|5)$ an der Ebene.

$E:\;x_1+3x_2-2x_3=11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln

1. Hilfsgerade $h$ aufstellen, die senkrecht zur Ebene $E$ steht (der Normalenvektor $\vec n_E=\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ und verläuft durch den Punkt $P(1|2|5)$ :

$h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$

2. Schnittpunkt $S$ der Gerade $h$ mit der Ebene $E$ bestimmen.

$h\cap E$

$\displaystyle x_1+3x_2-2x_3$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Setze $h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ in $E$ ein.
$\displaystyle (1+r)+3\cdot(2+3r)-2\cdot(5-2r)$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 1+r+6+9r-10+4r$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -3+14r$	$=$	$\displaystyle 11$	$\displaystyle +3$
	↓	Löse nach r auf.
$\displaystyle 14r$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1$

Setze $r=1$ in $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu berechnen:

$\vec x_S=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;S(2|5|3)$

3. Vektor $\overrightarrow{PS}$ berechnen:

$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$

4. Vektor $\overrightarrow{PS}$ zu $\overrightarrow{OS}$ addieren, um den gesuchten Punkt $P'$ zu bekommen.

$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(3|8|1)$ .

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$F:\;-2x_1+x_2+3x_3=43$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln

1. Hilfsgerade $h$ aufstellen, die senkrecht zur Ebene $F$ steht (der Normalenvektor $\vec n_E=\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ und verläuft durch den Punkt $P(1|2|5)$ :

$h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$

2. Schnittpunkt $S$ der Gerade $h$ mit der Ebene $F$ bestimmen.

$h\cap F$

$\displaystyle -2x_1+x_2+3x_3$	$=$	$\displaystyle 43$
	↓	Setze $h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$ in $F$ ein.
$\displaystyle -2\cdot(1-2r)+(2+r)+3\cdot(5+3r)$	$=$	$\displaystyle 43$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle -2+4r+2+r+15+9r$	$=$	$\displaystyle 43$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 15+14r$	$=$	$\displaystyle 43$	$\displaystyle -15$
	↓	Löse nach r auf.
$\displaystyle 14r$	$=$	$\displaystyle 28$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 2$

Setze $r=2$ in $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu berechnen:

$\vec x_S=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\11\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;S(-3|4|11)$

3. Vektor $\overrightarrow{PS}$ berechnen:

$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-3\\4\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\6\end{pmatrix}$

4. Vektor $\overrightarrow{PS}$ zu $\overrightarrow{OS}$ addieren, um den gesuchten Punkt $P'$ zu bekommen.

$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix}-3\\4\\11\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6\\17\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(-7|6|17)$ .

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Spiegele die Gerade $g$ an der Ebene $E$ .

$g:\vec x=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $E:\;4x_1-2x_2+2x_3=30$ und $g\parallel E$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$ : $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$ .

$l_{Lot}\cap E$

$\displaystyle 4x_1-2x_2+2x_3$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Setze $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$ in $E$ ein.
$\displaystyle 4\cdot(2+4s)-2\cdot(4-2s)+2\cdot(3+2s)$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 8+16s-8+4s+6+4s$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6+24s$	$=$	$\displaystyle 30$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle 24s$	$=$	$\displaystyle 24$	$\displaystyle :24$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 1$

Setze $s=1$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;F(6|2|5)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\0\\7\end{pmatrix}$

5. Der berechnete Punkt $P'$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g'$ . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\vec u$ (parallele Gerade zu $g$ ) $\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$

$Antwort:$ Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung $g': \vec x= \begin{pmatrix}10\\0\\7\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$

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$g:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 4\\1 \\ 3 \end{pmatrix}$ , $E:\;x_1+2x_2-3x_3=-9$ und $g\cap E\;\Rightarrow\;S(11|5|10)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$ : $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$ .

Setze $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ in $E$ ein.

$l_{Lot}\cap E$

$\displaystyle x_1+2x_2-3x_3$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Setze $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ in $E$ ein.
$\displaystyle (-1+s)+2\cdot(2+2s)-3\cdot(1-3s)$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle -1+s+4+4s-3+9s$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 14s$	$=$	$\displaystyle -9$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{9}{14}$

Setze $s=-\dfrac{9}{14}$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\left(-\frac{9}{14} \right)\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-\frac{9}{14} \\[1ex]2-\frac{18}{14} \\[1ex]1+\frac{27}{14} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{23}{14} \\[1ex]\frac{10}{14} \\[1ex]\frac{41}{14} \end{pmatrix}$