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Spiegelung einer Ebene an einer Ebene

Der Artikel beschreibt die Spiegelung einer Ebene EE an einer Ebene HH.

Es werden zwei verschiedene Berechnungsmethoden beschrieben.

Berechnungsmethode 1

Es werden zwei Fälle untersucht:

1. Fall: Die beiden Ebenen sind (echt) parallel zueinander.

2. Fall: Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Geraden gSg_S. Die Berechnung der gespiegelten Ebene EE' erfolgt mit einer Lotgeraden lLotl_{Lot}.

Berechnungsmethode 2

Bestimme von der Ebene EE drei nicht kollineare Punkte P,QP, Q und RR. Berechne nacheinander die drei an der Ebene EE gespiegelten Punkte P′,Q′P{}', Q{}' und R′ R{ }'. Erstelle dann mit diesen drei Spiegelpunkten eine Parameterform der Spiegelebene E′E'.

Berechnungsmethode 1 Fall 1:

Vorgehensweise

Abstände paralleler Ebenen

Gegeben sind zwei (echt) parallele Ebenen in Koordinatenform:

E:  a1⋅x1+b1⋅x2+c1⋅x3=d1E:\; a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_1 und H:  a1⋅x1+b1⋅x2+c1⋅x3=d2H:\; a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_2.

Die Ebene EE wird an der Ebene HH gespiegelt  ⇒  E′:  a1⋅x1+b1⋅x2+c1⋅x3=d3\;\Rightarrow\;E':\;a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_3

Wie wird d3d_3 berechnet?

Setzt man den Koordinatenursprung in die Hessesche Normalenform der Ebene ein, so erhält man den Abstand der Ebene vom Ursprung.

EHNF:a1x1+b1x2+c1x3−d1∣n⃗E∣=0E_{HNF}: \dfrac{a_1x_1+b_1x_2+c_1x_3-d_1}{|\vec n_E|}=0

d(O,E)=∣a1⋅0+b1⋅0+c1⋅0−d1∣n⃗E∣∣=d1∣n⃗E∣d(O,E)=\left|\dfrac{a_1\cdot 0+b_1\cdot 0+c_1\cdot 0-d_1}{|\vec n_E|}\right|=\dfrac{d_1}{|\vec n_E|}

Entsprechend für die Ebene HH:

d(O,H)=∣a1⋅0+b1⋅0+c1⋅0−d2∣n⃗H∣∣=d2∣n⃗H∣d(O,H)=\left|\dfrac{a_1\cdot 0+b_1\cdot 0+c_1\cdot 0-d_2}{|\vec n_H|}\right|=\dfrac{d_2}{|\vec n_H|}

Für den Abstand der Spiegelebene E′E' vom Koordinatenursprung gilt:

d(O,E′)=d(O,H)+d(E,H)=d(O,H)+(d(OH)−d(O,E))=2⋅d(O,H)−d(O,E)d(O,E')=d(O,H)+d(E,H)=d(O,H)+(d(OH)-d(O,E))=2\cdot d(O,H)-d(O,E)

Da ∣n⃗E∣=∣n⃗H∣=∣n⃗E′∣|\vec n_E|=|\vec n_H|=|\vec n_E'| gilt: d(O,E′)=d3∣n⃗E∣=2⋅d2∣n⃗E∣−d1∣n⃗E∣d(O,E')=\dfrac{d_3}{|\vec n_E|}=2\cdot \dfrac{d_2}{|\vec n_E|}-\dfrac{d_1}{|\vec n_E|}

Für d3d_3 der Spiegelebene E′E' ergibt sich somit die Gleichung:

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Ebenen

E:  5⋅x1−x2+2⋅x3=−3E:\; 5\cdot x_1- x_2+2\cdot x_3=-3 und H:  5⋅x1−x2+2⋅x3=−30H:\; 5\cdot x_1- x_2+2\cdot x_3=-30 .

Die Ebene EE wird an der Ebene HH gespiegelt.

d3=2⋅d2−d1d_3=2\cdot d_2-d_1

Setze d1=−3d_1=-3 und d2=−30d_2=-30 ein:

d3=2⋅(−30)−(−3)=−60+3=−57d_3=2\cdot(-30)-(-3)=-60+3=-57

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene E′ E' lautet: 5⋅x1−x2+2⋅x3=−575\cdot x_1- x_2+2\cdot x_3=-57

Grafische Darstellung der 3 parallelen Ebenen für das Beispiel zu Fall 1

Grafische Darstellung der 3 parallelen Ebenen

Berechnungsmethode 1 Fall 2:

Gegeben sind zwei Ebenen in Koordinatenform E:  a1⋅x1+b1⋅x2+c1⋅x3=d1E:\; a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_1 und

H:  a2⋅x1+b2⋅x2+c2⋅x3=d2H:\; a_2\cdot x_1+b_2\cdot x_2+c_2\cdot x_3=d_2. Die beiden Ebenen schneiden sich in der Schnittgeraden gSg_S. Die Ebene EE wird an der Ebene HH gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Ebene EE' mit einer Lotgeraden lLotl_{Lot}

Spiegelung einer Ebene an einer Ebene, 2 sich schneidende Ebenen

1. Die Schnittgerade gSg_S ist gegeben: gS:  x⃗=OA→+t⋅u⃗g_S:\;\vec x=\overrightarrow{OA}+t\cdot \vec u oder muss berechnet werden.

2. Finde einen Punkt PP auf der Ebene EE. Der Punkt PP darf nicht auf der Schnittgeraden gSg_S liegen.

3. Erstelle eine Lotgerade lLotl_{Lot} mit dem gefundenen Punkt PP als Aufpunkt und dem Normalenvektor n⃗H=(a2b2c2)\vec n_H=\begin{pmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{pmatrix} der Ebene HH: lLot:x⃗=OP→+r⋅n⃗Hl_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+r \cdot \vec n_H

4. Schneide die Lotgerade lLotl_{Lot} mit der Ebene HH. Du erhältst den Fußpunkt FF.

5. Berechne den Vektor PF→\overrightarrow{PF}

6. Zur Berechnung des Spiegelpunktes P′P' setze OP→\overrightarrow{OP} und PF→\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP′→=OP→+2⋅PF→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein.

7. Der berechnete Punkt P′P' ist ein Punkt der Spiegelebene E′E'. Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene E′E' mit der Schnittgeraden gS g_S und einem weiteren Richtungsvektor v⃗=AP′→\vec v=\overrightarrow{AP'} (AA ist der Aufpunkt der Schnittgeraden)   ⇒   \;\Rightarrow\; E′:  x⃗=OA→+r⋅u⃗+s⋅v⃗E':\; \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u+s\cdot \vec v.

Beispiel zu Fall 2

Gegeben sind die beiden Ebenen E:  7⋅x1−5⋅x2−3⋅x3=0E:\; 7\cdot x_1-5\cdot x_2-3\cdot x_3=0 und H:  3⋅x1−x2−x3=2H:\; 3\cdot x_1- x_2- x_3=2. Die Gleichung der Schnittgeraden lautet: gS:  x⃗=(307)+r⋅(−11−4)g_S:\;\vec x=\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}

Die Ebene EE wird an der Ebene HH gespiegelt.

1. Die Schnittgerade gSg_S ist gegeben: gS:  x⃗=OA→+r⋅u⃗=(307)+r⋅(−11−4)g_S:\;\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u =\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}.

2. Finde einen Punkt PP auf der Ebene EE. Der Punkt PP darf nicht auf der Schnittgeraden gSg_S liegen.

E:  7⋅x1−5⋅x2−3⋅x3=0E:\; 7\cdot x_1-5\cdot x_2-3\cdot x_3=0

Wähle z.B. P(5∣7∣0)P(5|7|0). P∈E P\in E ?  ⇒  7⋅5−5⋅7−3⋅0=0  ✓\;\Rightarrow\;7\cdot5-5\cdot7-3\cdot0=0\;\checkmark

Liegt PP auf gSg_S? Setze PP in die Geradengleichung ein:

(570)=(307)+r⋅(−11−4)  ⇒  (27−7)=r⋅(−11−4)\begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\7\\-7\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}

Aus der ersten Zeile folgt r=−2 r=-2 und aus der zweiten Zeile folgt r=7r=7. Somit liegt PP nicht auf gS.g_S.

3. Erstelle eine Lotgerade lLotl_{Lot} mit dem gefundenen Punkt P(5∣7∣0)P(5|7|0) als Aufpunkt und dem Normalenvektor n⃗H=(3−1−1)\vec n_H=\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix} der Ebene HH: lLot:x⃗=(570)+r⋅(3−1−1)l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}

4. Schneide die Lotgerade lLotl_{Lot} mit der Ebene HH.

3⋅x1−x2−x3\displaystyle 3\cdot x_1- x_2- x_3==2\displaystyle 2
↓

Setze die Lotgerade lLot:x⃗=(570)+r⋅(3−1−1)l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}in HH ein.

3⋅(5+3r)−(7−r)−(0−r)\displaystyle 3\cdot(5+3r)-(7-r)-(0-r)==2\displaystyle 2
↓

Löse die Klammern auf.

15+9r−7+r+r\displaystyle 15+9r-7+r+r==2\displaystyle 2
↓

Fasse zusammen und löse nach rr auf.

8+11r\displaystyle 8+11r==2\displaystyle 2−8\displaystyle -8
11r\displaystyle 11r==−6\displaystyle -6:30\displaystyle :30
r\displaystyle r==−611\displaystyle -\dfrac{6}{11}

Setze r=−611r=-\dfrac{6}{11} in die Lotgerade lLotl_{Lot} ein, um den Punkt FF zu berechnen.

x⃗F=(570)+(−611)⋅(3−1−1)=(5−18117+6110+611)=(37118311611)  ⇒  \vec x_F= \begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}+(-\dfrac{6}{11}) \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5-\dfrac{18}{11}\\[2ex] 7+\dfrac{6}{11}\\[2ex]0+\dfrac{6}{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{37}{11}\\[2ex] \dfrac{83}{11}\\[2ex]\dfrac{6}{11}\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;F(3711∣8311∣611)F\left(\dfrac{37}{11}\Big\vert\dfrac{83}{11}\Big\vert\dfrac{6}{11}\right)

5. Berechne den Vektor PF→\overrightarrow{PF}

PF→=OF→−OP→=(37118311611)−(570)=(3711−58311−7611−0)=(−1811611611)\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\dfrac{37}{11}\\[2ex] \dfrac{83}{11}\\[2ex]\dfrac{6}{11}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{37}{11}-5\\[2ex] \dfrac{83}{11}-7\\[2ex]\dfrac{6}{11}-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{18}{11}\\[2ex] \dfrac{6}{11}\\[2ex]\dfrac{6}{11}\end{pmatrix}

6. Setze OP→\overrightarrow{OP} und PF→\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP′→=OP→+2⋅PF→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein:

OP′→=(570)+2⋅(−1811611611)=(5−36117+12110+1211)=(191189111211)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-\dfrac{18}{11}\\[2ex] \dfrac{6}{11}\\[2ex]\dfrac{6}{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-\dfrac{36}{11}\\[2ex]7+\dfrac{12}{11}\\[2ex]0+\dfrac{12}{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{11}\\[2ex]\dfrac{89}{11}\\[2ex]\dfrac{12}{11}\end{pmatrix}

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten P′(1911∣8911∣1211)P'\left(\dfrac{19}{11}\Big\vert\dfrac{89}{11}\Big\vert\dfrac{12}{11}\right).

7. Der berechnete Punkt P′P' ist ein Punkt der Spiegelebene E′E'. Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene E′E' mit der Schnittgeraden gS g_S und einem weiteren Richtungsvektor v⃗=AP′→\vec v=\overrightarrow{AP'} (AA ist der Aufpunkt der Schnittgeraden)   ⇒   \;\Rightarrow\; E′:  x⃗=OA→+r⋅u⃗+s⋅v⃗E':\; \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u+s\cdot \vec v.

Berechne den zweiten Richtungsvektor:

v⃗=AP′→=OP′→−OA→=(191189111211)−(307)=(1911−38911−01211−7)=(−14118911−6511)=111⋅(−1489−65)\vec v=\overrightarrow{AP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{11}\\[2ex]\dfrac{89}{11}\\[2ex]\dfrac{12}{11}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{11}-3\\[2ex]\dfrac{89}{11}-0\\[2ex]\dfrac{12}{11}-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{14}{11}\\[2ex]\dfrac{89}{11}\\[2ex]-\dfrac{65}{11}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{11}\cdot\begin{pmatrix}-14\\89\\-65\end{pmatrix}

Die Spiegelebene E′E' kann dann als Parametergleichung geschrieben werden:

E′:  x⃗=(307)+r⋅(−11−4)+s⋅(−1489−65)E':\;\vec x=\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-14\\89\\-65\end{pmatrix} oder umgewandelt in eine Koordinatenform:

E′:  291x1−9x2−75x3=348E':\;291x_1-9x_2-75x_3=348

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das berechnete Beispiel im 2. Fall.


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