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Punkt an Ebene spiegeln

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Die einfachste Vorgehensweise, einen Punkt an einer Ebene zu spiegeln, ist wie folgt:

  1. Hilfsgerade hh aufstellen, die senkrecht zur Ebene EE steht und durch den Punkt  PP  verläuft.

  2. Schnittpunkt SS der Gerade hh mit der Ebene EE bestimmen.

  3. Vektor PS\overrightarrow{PS} berechnen.

  4. Vektor PS\overrightarrow{PS} zu OS\overrightarrow{OS} addieren, um den gesuchten Punkt PP' zu bekommen.

Beispiel  

Gegeben:  E:2x1+x2+2x3=20E:2x_1+x_2+2x_3=20 und  P(769)P(7|6|9)

  1. Hilfsgerade hh bestimmen: Diese soll senkrecht auf der Ebene EE stehen; also ist ihr Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene.                           nE=(212)\overrightarrow{{ n}_ E}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} Außerdem soll sie durch PP gehen; als Aufpunkt kann man PP verwenden, als Stützvektor also OP\overrightarrow{OP}.     h:  x=(769)+λ(212)\Rightarrow\;\; h:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}

  2. Schnittpunkt SS von der Geraden hh mit der Ebene EE bestimmen: Dazu wird die Gerade (genauer: der "allgemeine Geradenpunkt") in die Ebenengleichung eingesetzt.

    2(7+2λ)+(6+λ)+2(9+2λ)=202\cdot\left(7+2\lambda\right)+\left(6+\lambda\right)+2\cdot\left(9+2\lambda\right)=20

    14+4λ+6+λ+18+4λ=2014+4\lambda+6+\lambda+18+4\lambda=20

    38+9λ=2038+9\lambda=20

    9λ=189\lambda=-18

    λ=2\lambda=-2

Dieser Wert wird nun in die Geradengleichung eingesetzt, um SS zu erhalten. OS=(769)2(212)=(345)\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix} also ist S(345){S(3|4|5)}.

  1. Vektor PS\overrightarrow{{PS}} berechnen: PS=OSOP=(345)(769)=(424)\overrightarrow{{PS}}=\overrightarrow{ OS}-\overrightarrow{ OP}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\-4\end{pmatrix}

  2. Spiegelpunkt P' berechnen: OP=OS+PS=(345)+(424)=(121)\overrightarrow{OP'}= \overrightarrow{OS}+\overrightarrow{{PS}}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\-2\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\\phantom-2\\\phantom-1\end{pmatrix}, also P(121)P'(-1|2|1).

Alternative Berechnung der Spiegelung eines Punktes PP an einer Ebene EE

Spiegelung eines Punktes P an der Ebene E

Die Ebene ist durch xn=d\vec x\circ \vec n=d gegeben.

Setze den gegebenen Punkt PP in die Ebenengleichung EE ein und berechne die Zahl d1d_1:

    (I)    pn=d1\;\Rightarrow\;\mathrm{(I)}\;\;\vec p\circ \vec n=d_1

Der Spiegelpunkt PP{}' liegt dann in der Ebene xn=2dd1\vec x\circ \vec n=2\cdot d -d_1 (siehe Spiegelung Ebene an Ebene)

    (II)    p  n=2dd1\;\Rightarrow\; \mathrm{(II)}\;\;\vec p\;{'}\circ \vec n=2\cdot d -d_1

Die Verbindung der Punkte PP und PP{}' steht senkrecht auf der Ebene EE.

Damit ist (III)    p  =p+tn\mathrm{(III)}\;\;\vec p\;{'}=\vec p+t\cdot\vec n.

Zur Berechnung des Spiegelpunktes muss der Parameter tt berechnet werden:

Setze (III)  \mathrm{(III)}\;in (II)  \mathrm{(II)}\; ein:

p  n\displaystyle \vec p\;{'}\circ \vec n==2dd1\displaystyle 2\cdot d-d_1

Setze p  =p+tn\vec p\;{'}=\vec p+t\cdot\vec n ein.

(p+tn)n\displaystyle (\vec p+t\cdot\vec n)\circ \vec n==2dd1\displaystyle 2\cdot d-d_1

Löse die Klammer auf.

pn+tnn\displaystyle \vec p\circ \vec n+t\cdot\vec n\circ \vec n ==2dd1\displaystyle 2\cdot d -d_1

Die Gleichung (IV)  \mathrm{(IV)}\;lautet nun: pn+tnn=2dd1\vec p\circ \vec n+t\cdot\vec n\circ \vec n=2\cdot d -d_1

Setze (I)  \mathrm{(I)}\; in (IV)  \mathrm{(IV)}\; ein:

pn+tnn\displaystyle \vec p\circ \vec n+t\cdot\vec n\circ \vec n==2dd1\displaystyle 2\cdot d -d_1

Setze pn=d1 \vec p\circ \vec n=d_1 ein.

d1+tnn\displaystyle d_1+t\cdot\vec n\circ \vec n==2dd1\displaystyle 2\cdot d -d_1d1\displaystyle -d_1
tnn\displaystyle t\cdot\vec n\circ \vec n==2d2d1\displaystyle 2\cdot d-2\cdot d_1

Klammere auf der rechten Seite 22 aus.

tnn\displaystyle t\cdot\vec n\circ \vec n==2(dd1)\displaystyle 2\cdot(d-d_1):nn\displaystyle :\vec n\circ \vec n
t\displaystyle t==2(dd1)nn\displaystyle \dfrac{2\cdot(d-d_1)}{\vec{n}\circ\vec{n}}

Mit diesem Parameter tt wird der Spiegelpunkt PP{}' berechnet:

Beispiel

Gegeben sind der Punkt P(321)P(3|2|1) und die Ebene E:  x(101)=6E:\;\vec x\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=6. Spiegele den Punkt PP an der Ebene EE.

Die Ebenengleichung EE liefert den Normalenvektor n=(101)\vec n =\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} und d=6d=6.

1. Setze den gegebenen Punkt P(321)P(3|2|1) in die Ebenengleichung E:  x(101)=6E:\;\vec x\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=6 ein und berechne die Zahl d1d_1:

(321)(101)=d1    d1=31+20+1(1)=3+01=2\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=d_1\;\Rightarrow\;d_1=3\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot(-1)=3+0-1=2

2. Berechne nn\vec{n}\circ\vec{n}:

(101)(101)=11+00+(1)(1)=1+0+1=2\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=1\cdot 1+0\cdot 0+(-1)\cdot(-1)=1+0+1=2

3. Berechne den Parameter tt mit d=6d=6, d1=2d_1=2 und nn=2\vec{n}\circ\vec{n}=2:

t=2(dd1)nn=2(62)2=4t=\dfrac{2\cdot(d-d_1)}{\vec{n}\circ\vec{n}}=\dfrac{2\cdot(6-2)}{2}=4

4. Berechne p  \vec p\;{'}:

p  =p+tn=(321)+4(101)=(3+42+014)=(723)\vec p\;{'}=\vec p+t\cdot\vec n=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+4\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+4\\2+0\\1-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\\-3\end{pmatrix}

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten P(723)P'(7|2|-3).

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