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Punkt an Ebene spiegeln

Die einfachste Vorgehensweise, einen Punkt an einer Ebene zu spiegeln, ist wie folgt:

  1. Hilfsgerade hh aufstellen, die senkrecht zur Ebene EE steht und durch den Punkt  PP  verlÀuft.

  2. Schnittpunkt SS der Gerade hh mit der Ebene EE bestimmen.

  3. Vektor PS→\overrightarrow{PS} berechnen.

  4. Vektor PS→\overrightarrow{PS} zu OS→\overrightarrow{OS} addieren, um den gesuchten Punkt Pâ€ČP' zu bekommen.

Bild

Beispiel  

Gegeben:  E:2x1+x2+2x3=20E:2x_1+x_2+2x_3=20 und  P(7∣6∣9)P(7|6|9)

  1. Hilfsgerade hh bestimmen: Diese soll senkrecht auf der Ebene EE stehen; also ist ihr Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene.                           nE→=(212)\overrightarrow{{ n}_ E}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} Außerdem soll sie durch PP gehen; als Aufpunkt kann man PP verwenden, als StĂŒtzvektor also OP→\overrightarrow{OP}. ⇒    h:  x→=(769)+λ⋅(212)\Rightarrow\;\; h:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}

  2. Schnittpunkt SS von der Geraden hh mit der Ebene EE bestimmen: Dazu wird die Gerade (genauer: der "allgemeine Geradenpunkt") in die Ebenengleichung eingesetzt.

    2⋅(7+2λ)+(6+λ)+2⋅(9+2λ)=202\cdot\left(7+2\lambda\right)+\left(6+\lambda\right)+2\cdot\left(9+2\lambda\right)=20

    14+4λ+6+λ+18+4λ=2014+4\lambda+6+\lambda+18+4\lambda=20

    38+9λ=2038+9\lambda=20

    9λ=−189\lambda=-18

    λ=−2\lambda=-2

Dieser Wert wird nun in die Geradengleichung eingesetzt, um SS zu erhalten. OS→=(769)−2⋅(212)=(345)\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix} also ist S(3∣4∣5){S(3|4|5)}.

  1. Vektor PS→\overrightarrow{{PS}} berechnen: PS→=OS→−OP→=(345)−(769)=(−4−2−4)\overrightarrow{{PS}}=\overrightarrow{ OS}-\overrightarrow{ OP}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\-4\end{pmatrix}

  2. Spiegelpunkt P' berechnen: OPâ€Č→=OS→+PS→=(345)+(−4−2−4)=(−1−2−1)\overrightarrow{OP'}= \overrightarrow{OS}+\overrightarrow{{PS}}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\-2\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\\phantom-2\\\phantom-1\end{pmatrix}, also Pâ€Č(−1∣2∣1)P'(-1|2|1).

Alternative Berechnung der Spiegelung eines Punktes PP an einer Ebene EE

Spiegelung eines Punktes P an der Ebene E

Die Ebene ist durch x⃗∘n⃗=d\vec x\circ \vec n=d gegeben.

Setze den gegebenen Punkt PP in die Ebenengleichung EE ein und berechne die Zahl d1d_1:

  ⇒  (I)    p⃗∘n⃗=d1\;\Rightarrow\;\mathrm{(I)}\;\;\vec p\circ \vec n=d_1

Der Spiegelpunkt Pâ€ČP{}' liegt dann in der Ebene x⃗∘n⃗=2⋅d−d1\vec x\circ \vec n=2\cdot d -d_1 (siehe Spiegelung Ebene an Ebene)

  ⇒  (II)    p⃗  â€Č∘n⃗=2⋅d−d1\;\Rightarrow\; \mathrm{(II)}\;\;\vec p\;{'}\circ \vec n=2\cdot d -d_1

Die Verbindung der Punkte PP und Pâ€ČP{}' steht senkrecht auf der Ebene EE.

Damit ist (III)    p⃗  â€Č=p⃗+t⋅n⃗\mathrm{(III)}\;\;\vec p\;{'}=\vec p+t\cdot\vec n.

Zur Berechnung des Spiegelpunktes muss der Parameter tt berechnet werden:

Setze (III)  \mathrm{(III)}\;in (II)  \mathrm{(II)}\; ein:

p⃗  â€Č∘n⃗\displaystyle \vec p\;{'}\circ \vec n==2⋅d−d1\displaystyle 2\cdot d-d_1
↓

Setze p⃗  â€Č=p⃗+t⋅n⃗\vec p\;{'}=\vec p+t\cdot\vec n ein.

(p⃗+t⋅n⃗)∘n⃗\displaystyle (\vec p+t\cdot\vec n)\circ \vec n==2⋅d−d1\displaystyle 2\cdot d-d_1
↓

Löse die Klammer auf.

p⃗∘n⃗+t⋅n⃗∘n⃗\displaystyle \vec p\circ \vec n+t\cdot\vec n\circ \vec n ==2⋅d−d1\displaystyle 2\cdot d -d_1

Die Gleichung (IV)  \mathrm{(IV)}\;lautet nun: p⃗∘n⃗+t⋅n⃗∘n⃗=2⋅d−d1\vec p\circ \vec n+t\cdot\vec n\circ \vec n=2\cdot d -d_1

Setze (I)  \mathrm{(I)}\; in (IV)  \mathrm{(IV)}\; ein:

p⃗∘n⃗+t⋅n⃗∘n⃗\displaystyle \vec p\circ \vec n+t\cdot\vec n\circ \vec n==2⋅d−d1\displaystyle 2\cdot d -d_1
↓

Setze p⃗∘n⃗=d1 \vec p\circ \vec n=d_1 ein.

d1+t⋅n⃗∘n⃗\displaystyle d_1+t\cdot\vec n\circ \vec n==2⋅d−d1\displaystyle 2\cdot d -d_1−d1\displaystyle -d_1
t⋅n⃗∘n⃗\displaystyle t\cdot\vec n\circ \vec n==2⋅d−2⋅d1\displaystyle 2\cdot d-2\cdot d_1
↓

Klammere auf der rechten Seite 22 aus.

t⋅n⃗∘n⃗\displaystyle t\cdot\vec n\circ \vec n==2⋅(d−d1)\displaystyle 2\cdot(d-d_1):n⃗∘n⃗\displaystyle :\vec n\circ \vec n
t\displaystyle t==2⋅(d−d1)n⃗∘n⃗\displaystyle \dfrac{2\cdot(d-d_1)}{\vec{n}\circ\vec{n}}

Mit diesem Parameter tt wird der Spiegelpunkt Pâ€ČP{}' berechnet:

p⃗  â€Č=p⃗+t⋅nâƒ—ï»ż\displaystyle \vec p\;{'}=\vec p+t\cdot\vec n ï»ż

Beispiel

Gegeben sind der Punkt P(3∣2∣1)P(3|2|1) und die Ebene E:  x⃗∘(10−1)=6E:\;\vec x\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=6. Spiegele den Punkt PP an der Ebene EE.

Die Ebenengleichung EE liefert den Normalenvektor n⃗=(10−1)\vec n =\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} und d=6d=6.

1. Setze den gegebenen Punkt P(3∣2∣1)P(3|2|1) in die Ebenengleichung E:  x⃗∘(10−1)=6E:\;\vec x\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=6 ein und berechne die Zahl d1d_1:

(321)∘(10−1)=d1  ⇒  d1=3⋅1+2⋅0+1⋅(−1)=3+0−1=2\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=d_1\;\Rightarrow\;d_1=3\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot(-1)=3+0-1=2

2. Berechne n⃗∘n⃗\vec{n}\circ\vec{n}:

(10−1)∘(10−1)=1⋅1+0⋅0+(−1)⋅(−1)=1+0+1=2\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=1\cdot 1+0\cdot 0+(-1)\cdot(-1)=1+0+1=2

3. Berechne den Parameter tt mit d=6d=6, d1=2d_1=2 und n⃗∘n⃗=2\vec{n}\circ\vec{n}=2:

t=2⋅(d−d1)n⃗∘n⃗=2⋅(6−2)2=4t=\dfrac{2\cdot(d-d_1)}{\vec{n}\circ\vec{n}}=\dfrac{2\cdot(6-2)}{2}=4

4. Berechne p⃗  â€Č\vec p\;{'}:

p⃗  â€Č=p⃗+t⋅n⃗=(321)+4⋅(10−1)=(3+42+01−4)=(72−3)\vec p\;{'}=\vec p+t\cdot\vec n=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+4\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+4\\2+0\\1-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\\-3\end{pmatrix}

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten Pâ€Č(7∣2∣−3)P'(7|2|-3).

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