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Spiegelung einer Ebene an einer Ebene

Der Artikel beschreibt die Spiegelung einer Ebene EE an einer Ebene HH.

Es werden zwei verschiedene Berechnungsmethoden beschrieben.

Berechnungsmethode 1

Es werden zwei Fälle untersucht:

1. Fall: Die beiden Ebenen sind (echt) parallel zueinander.

2. Fall: Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Geraden gSg_S. Die Berechnung der gespiegelten Ebene EE' erfolgt mit einer Lotgeraden lLotl_{Lot}.

Berechnungsmethode 2

Bestimme von der Ebene EE drei nicht kollineare Punkte P,QP, Q und RR. Berechne nacheinander die drei an der Ebene EE gespiegelten Punkte P,QP{}', Q{}' und R R{ }'. Erstelle dann mit diesen drei Spiegelpunkten eine Parameterform der Spiegelebene EE'.

Berechnungsmethode 1 Fall 1:

Vorgehensweise

Abstände paralleler Ebenen

Gegeben sind zwei (echt) parallele Ebenen in Koordinatenform:

E:  a1x1+b1x2+c1x3=d1E:\; a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_1 und H:  a1x1+b1x2+c1x3=d2H:\; a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_2.

Die Ebene EE wird an der Ebene HH gespiegelt    E:  a1x1+b1x2+c1x3=d3\;\Rightarrow\;E':\;a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_3

Wie wird d3d_3 berechnet?

Setzt man den Koordinatenursprung in die Hessesche Normalenform der Ebene ein, so erhält man den Abstand der Ebene vom Ursprung.

EHNF:a1x1+b1x2+c1x3d1nE=0E_{HNF}: \dfrac{a_1x_1+b_1x_2+c_1x_3-d_1}{|\vec n_E|}=0

d(O,E)=a10+b10+c10d1nE=d1nEd(O,E)=\left|\dfrac{a_1\cdot 0+b_1\cdot 0+c_1\cdot 0-d_1}{|\vec n_E|}\right|=\dfrac{d_1}{|\vec n_E|}

Entsprechend für die Ebene HH:

d(O,H)=a10+b10+c10d2nH=d2nHd(O,H)=\left|\dfrac{a_1\cdot 0+b_1\cdot 0+c_1\cdot 0-d_2}{|\vec n_H|}\right|=\dfrac{d_2}{|\vec n_H|}

Für den Abstand der Spiegelebene EE' vom Koordinatenursprung gilt:

d(O,E)=d(O,H)+d(E,H)=d(O,H)+(d(OH)d(O,E))=2d(O,H)d(O,E)d(O,E')=d(O,H)+d(E,H)=d(O,H)+(d(OH)-d(O,E))=2\cdot d(O,H)-d(O,E)

Da nE=nH=nE|\vec n_E|=|\vec n_H|=|\vec n_E'| gilt: d(O,E)=d3nE=2d2nEd1nEd(O,E')=\dfrac{d_3}{|\vec n_E|}=2\cdot \dfrac{d_2}{|\vec n_E|}-\dfrac{d_1}{|\vec n_E|}

Für d3d_3 der Spiegelebene EE' ergibt sich somit die Gleichung:

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Ebenen

E:  5x1x2+2x3=3E:\; 5\cdot x_1- x_2+2\cdot x_3=-3 und H:  5x1x2+2x3=30H:\; 5\cdot x_1- x_2+2\cdot x_3=-30 .

Die Ebene EE wird an der Ebene HH gespiegelt.

d3=2d2d1d_3=2\cdot d_2-d_1

Setze d1=3d_1=-3 und d2=30d_2=-30 ein:

d3=2(30)(3)=60+3=57d_3=2\cdot(-30)-(-3)=-60+3=-57

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene E E' lautet: 5x1x2+2x3=575\cdot x_1- x_2+2\cdot x_3=-57

Grafische Darstellung der 3 parallelen Ebenen für das Beispiel zu Fall 1

Grafische Darstellung der 3 parallelen Ebenen

Berechnungsmethode 1 Fall 2:

Gegeben sind zwei Ebenen in Koordinatenform E:  a1x1+b1x2+c1x3=d1E:\; a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_1 und

H:  a2x1+b2x2+c2x3=d2H:\; a_2\cdot x_1+b_2\cdot x_2+c_2\cdot x_3=d_2. Die beiden Ebenen schneiden sich in der Schnittgeraden gSg_S. Die Ebene EE wird an der Ebene HH gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Ebene EE' mit einer Lotgeraden lLotl_{Lot}

Spiegelung einer Ebene an einer Ebene, 2 sich schneidende Ebenen

1. Die Schnittgerade gSg_S ist gegeben: gS:  x=OA+tug_S:\;\vec x=\overrightarrow{OA}+t\cdot \vec u oder muss berechnet werden.

2. Finde einen Punkt PP auf der Ebene EE. Der Punkt PP darf nicht auf der Schnittgeraden gSg_S liegen.

3. Erstelle eine Lotgerade lLotl_{Lot} mit dem gefundenen Punkt PP als Aufpunkt und dem Normalenvektor nH=(a2b2c2)\vec n_H=\begin{pmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{pmatrix} der Ebene HH: lLot:x=OP+rnHl_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+r \cdot \vec n_H

4. Schneide die Lotgerade lLotl_{Lot} mit der Ebene HH. Du erhältst den Fußpunkt FF.

5. Berechne den Vektor PF\overrightarrow{PF}

6. Zur Berechnung des Spiegelpunktes PP' setze OP\overrightarrow{OP} und PF\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP=OP+2PF\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein.

7. Der berechnete Punkt PP' ist ein Punkt der Spiegelebene EE'. Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene EE' mit der Schnittgeraden gS g_S und einem weiteren Richtungsvektor v=AP\vec v=\overrightarrow{AP'} (AA ist der Aufpunkt der Schnittgeraden)      \;\Rightarrow\; E:  x=OA+ru+svE':\; \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u+s\cdot \vec v.

Beispiel zu Fall 2

Gegeben sind die beiden Ebenen E:  7x15x23x3=0E:\; 7\cdot x_1-5\cdot x_2-3\cdot x_3=0 und H:  3x1x2x3=2H:\; 3\cdot x_1- x_2- x_3=2. Die Gleichung der Schnittgeraden lautet: gS:  x=(307)+r(114)g_S:\;\vec x=\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}

Die Ebene EE wird an der Ebene HH gespiegelt.

1. Die Schnittgerade gSg_S ist gegeben: gS:  x=OA+ru=(307)+r(114)g_S:\;\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u =\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}.

2. Finde einen Punkt PP auf der Ebene EE. Der Punkt PP darf nicht auf der Schnittgeraden gSg_S liegen.

E:  7x15x23x3=0E:\; 7\cdot x_1-5\cdot x_2-3\cdot x_3=0

Wähle z.B. P(570)P(5|7|0). PE P\in E ?    755730=0  \;\Rightarrow\;7\cdot5-5\cdot7-3\cdot0=0\;\checkmark

Liegt PP auf gSg_S? Setze PP in die Geradengleichung ein:

(570)=(307)+r(114)    (277)=r(114)\begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\7\\-7\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}

Aus der ersten Zeile folgt r=2 r=-2 und aus der zweiten Zeile folgt r=7r=7. Somit liegt PP nicht auf gS.g_S.

3. Erstelle eine Lotgerade lLotl_{Lot} mit dem gefundenen Punkt P(570)P(5|7|0) als Aufpunkt und dem Normalenvektor nH=(311)\vec n_H=\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix} der Ebene HH: lLot:x=(570)+r(311)l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}

4. Schneide die Lotgerade lLotl_{Lot} mit der Ebene HH.

3x1x2x3\displaystyle 3\cdot x_1- x_2- x_3==2\displaystyle 2

Setze die Lotgerade lLot:x=(570)+r(311)l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}in HH ein.

3(5+3r)(7r)(0r)\displaystyle 3\cdot(5+3r)-(7-r)-(0-r)==2\displaystyle 2

Löse die Klammern auf.

15+9r7+r+r\displaystyle 15+9r-7+r+r==2\displaystyle 2

Fasse zusammen und löse nach rr auf.

8+11r\displaystyle 8+11r==2\displaystyle 28\displaystyle -8
11r\displaystyle 11r==6\displaystyle -6:30\displaystyle :30
r\displaystyle r==611\displaystyle -\dfrac{6}{11}

Setze r=611r=-\dfrac{6}{11} in die Lotgerade lLotl_{Lot} ein, um den Punkt FF zu berechnen.

xF=(570)+(611)(311)=(518117+6110+611)=(37118311611)    \vec x_F= \begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}+(-\dfrac{6}{11}) \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5-\dfrac{18}{11}\\[2ex] 7+\dfrac{6}{11}\\[2ex]0+\dfrac{6}{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{37}{11}\\[2ex] \dfrac{83}{11}\\[2ex]\dfrac{6}{11}\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;F(37118311611)F\left(\dfrac{37}{11}\Big\vert\dfrac{83}{11}\Big\vert\dfrac{6}{11}\right)

5. Berechne den Vektor PF\overrightarrow{PF}

PF=OFOP=(37118311611)(570)=(37115831176110)=(1811611611)\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\dfrac{37}{11}\\[2ex] \dfrac{83}{11}\\[2ex]\dfrac{6}{11}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{37}{11}-5\\[2ex] \dfrac{83}{11}-7\\[2ex]\dfrac{6}{11}-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{18}{11}\\[2ex] \dfrac{6}{11}\\[2ex]\dfrac{6}{11}\end{pmatrix}

6. Setze OP\overrightarrow{OP} und PF\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP=OP+2PF\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein:

OP=(570)+2(1811611611)=(536117+12110+1211)=(191189111211)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-\dfrac{18}{11}\\[2ex] \dfrac{6}{11}\\[2ex]\dfrac{6}{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-\dfrac{36}{11}\\[2ex]7+\dfrac{12}{11}\\[2ex]0+\dfrac{12}{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{11}\\[2ex]\dfrac{89}{11}\\[2ex]\dfrac{12}{11}\end{pmatrix}

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten P(191189111211)P'\left(\dfrac{19}{11}\Big\vert\dfrac{89}{11}\Big\vert\dfrac{12}{11}\right).

7. Der berechnete Punkt PP' ist ein Punkt der Spiegelebene EE'. Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene EE' mit der Schnittgeraden gS g_S und einem weiteren Richtungsvektor v=AP\vec v=\overrightarrow{AP'} (AA ist der Aufpunkt der Schnittgeraden)      \;\Rightarrow\; E:  x=OA+ru+svE':\; \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u+s\cdot \vec v.

Berechne den zweiten Richtungsvektor:

v=AP=OPOA=(191189111211)(307)=(191138911012117)=(141189116511)=111(148965)\vec v=\overrightarrow{AP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{11}\\[2ex]\dfrac{89}{11}\\[2ex]\dfrac{12}{11}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{11}-3\\[2ex]\dfrac{89}{11}-0\\[2ex]\dfrac{12}{11}-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{14}{11}\\[2ex]\dfrac{89}{11}\\[2ex]-\dfrac{65}{11}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{11}\cdot\begin{pmatrix}-14\\89\\-65\end{pmatrix}

Die Spiegelebene EE' kann dann als Parametergleichung geschrieben werden:

E:  x=(307)+r(114)+s(148965)E':\;\vec x=\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-14\\89\\-65\end{pmatrix} oder umgewandelt in eine Koordinatenform:

E:  291x19x275x3=348E':\;291x_1-9x_2-75x_3=348

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das berechnete Beispiel im 2. Fall.


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