Spiegele die Gerade g an der Geraden h.
g:x=â401ââ+râ â21â1ââund h:x=â613ââ+sâ â21â1ââ. Die Gerade g ist (echt) parallel zur Geraden h.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden
Lösung der Aufgabe mit Hilfsebene H
1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene H mit dem Aufpunkt P der Geraden g und dem Richtungsvektor u der Geraden g als Normalenvektor:
H:âxââ401âââââ21â1ââ=0
2. Schneide h mit H:
âxââ401âââââ21â1ââ = 0 â Setze h:x=â613ââ+sâ â21â1ââ ein.
ââ613ââ+sâ â21â1ââââ401âââââ21â1ââ = 0 â Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
ââ212ââ+sâ â21â1âââââ21â1ââ = 0 â Fasse zusammen
â2+2s1+s2âsââââ21â1ââ = 0 â Berechne das Skalarprodukt.
(2+2s)â 2+(1+s)â 1+(2âs)â (â1) = 0 â Löse die Klammern auf.
4+4s+1+sâ2+s = 0 â Löse nach s auf.
6s+3 = 0 â3 6s = â3 :6 s = â63â â KĂŒrze
s = â21â Setze s=â21â in die Geradengleichung h ein, um den Punkt F zu berechnen.
xFâ=â613ââ+(â21â)â â21â1ââ=â6â11â21â3+21âââ=â50,53,5âââF(5âŁ0,5âŁ3,5)
3. Berechne den Vektor PF
PF=OFâOP=â50,53,5ââââ401ââ=â10,52,5ââ
4. Setze OP und PF in die Vektorgleichung OPâČ=OP+2â PF ein:
OPâČ=â401ââ+2â â10,52,5ââ=â4+20+11+5ââ=â616ââ
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten PâČ(6âŁ1âŁ6).
5. Setze in gâČ:x=OPâČ+tâ u den Spiegelpunkt PâČ und den Richtungsvektor u der Geraden g ein.
Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet: gâČ:x=â616ââ+tâ â21â1ââ
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g:x=â236ââ+râ â105ââund h:x=â311ââ+sâ ââ110ââ. Die Geraden schneiden sich im Punkt S(1âŁ3âŁ1).
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden
1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene H mit dem Aufpunkt P der Geraden g und dem Richtungsvektor v der Geraden h als Normalenvektor:
H:âxââ236ââââââ110ââ=0
2. Schneide h mit H:
âxââ236ââââââ110ââ = 0 â Setze h:x=â311ââ+sâ ââ110ââ ein.
ââ311ââ+sâ ââ110ââââ236ââââââ110ââ = 0 â Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
ââ1â2â5ââ+sâ ââ110ââââââ110ââ = 0 â Fasse zusammen.
â1âsâ2+sâ5+0sâââââ110ââ = 0 â Berechne das Skalarprodukt.
(1âs)â (â1)+(â2+s)â 1+(â5+0s)â 0 = 0 â Löse die Klammern auf.
â1+sâ2+s+0 = â Fasse zusammen.
2sâ3 = 0 +3 â Löse nach s auf.
2s = 3 :2 s = 1,5 Setze s=1,5 in die Geradengleichung h ein, um den Punkt F zu berechnen.
xFâ=â311ââ+1,5â ââ110ââ=â3â1,51+1,51+0ââ=â1,52,51âââF(1,5âŁ2,5âŁ1)
3. Berechne den Vektor PF
PF=OFâOP=â1,52,51ââââ236ââ=ââ0,5â0,5â5ââ
4. Setze OP und PF in die Vektorgleichung OPâČ=OP+2â PF ein:
OPâČ=â236ââ+2â ââ0,5â0,5â5ââ=â2â13â16â10ââ=â12â4ââ
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten PâČ(1âŁ2âŁâ4).
5. Berechne den Vektor PâČS=OSâOPâČ=â131ââââ12â4ââ=â015ââ
Der berechnete Punkt PâČ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden gâČ. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor PâČS (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt S):
âgâČ:x=OPâČ+tâ PâČS
Setze in gâČ den Spiegelpunkt PâČ und den Richtungsvektor PâČS ein.
Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet gâČ:x=â12â4ââ+tâ â015ââ.
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