Lösung der Aufgabe mit Hilfsebene H

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $h$ mit $H$:

Setze $s=-\dfrac{1}{2}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+(-\frac{1}{2})\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-1\\[1ex] 1-\frac{1}{2}\\[1ex]3+\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\[1ex] 0{,}5\\[1ex]3{,}5\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$$F(5|0{,}5|3{,}5)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}5\\ 0{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}1\\0{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+2\\0+1\\1+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\1\\6\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(6|1|6)$.

5. Setze in $g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$ den Spiegelpunkt $P'$ und den Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet: $g': \vec x= \begin{pmatrix}6\\1\\6\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden $h$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $h$ mit $H$:

Setze $s=1{,}5$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+1{,}5\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-1{,}5\\ 1+1{,}5\\1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5\\2{,}5\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$$F(1{,}5|2{,}5|1)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1{,}5\\2{,}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0{,}5\\-0{,}5\\-5\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-0{,}5\\-0{,}5\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-1\\3-1\\6-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(1|2|-4)$.

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{P'S}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}$

Der berechnete Punkt $P'$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g'$. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\overrightarrow{P'S}$ (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt $S$):

$\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{P'S}$

Setze in $g'$ den Spiegelpunkt $P'$ und den Richtungsvektor $\overrightarrow{P'S}$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet $g': \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}$.