Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spiegele die Gerade $g$ an der Geraden $h$ .

$g: \vec x= \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $h: \vec x= \begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ . Die Gerade $g$ ist (echt) parallel zur Geraden $h$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

Lösung der Aufgabe mit Hilfsebene H

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $h$ mit $H$ :

$\displaystyle \left(\vec x- \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $h: \vec x= \begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ ein.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle \begin{pmatrix}2+2s\\1+s\\2-s\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (2+2s)\cdot 2+(1+s)\cdot1+(2-s)\cdot (-1)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 4+4s+1+s-2+s$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach $s$ auf.
$\displaystyle 6s+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 6s$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{3}{6}$
	↓	Kürze
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{2}$

Setze $s=-\dfrac{1}{2}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}+(-\frac{1}{2})\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-1\\[1ex] 1-\frac{1}{2}\\[1ex]3+\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\[1ex] 0{,}5\\[1ex]3{,}5\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F (5 ∣ 0,5 ∣ 3,5)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}5\\ 0{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}1\\0{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+2\\0+1\\1+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\1\\6\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{'} (6 ∣ 1 ∣ 6)$ .

5. Setze in $g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$ den Spiegelpunkt $P^{'}$ und den Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet: $g': \vec x= \begin{pmatrix}6\\1\\6\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$

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$g: \vec x= \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}$ und $h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ . Die Geraden schneiden sich im Punkt $S (1 ∣ 3 ∣ 1)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden $h$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $h$ mit $H$ :

$\displaystyle \left(\vec x- \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ ein.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}1\\-2\\-5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1-s\\-2+s\\-5+0s\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (1-s)\cdot(-1)+(-2+s)\cdot 1+(-5+0s)\cdot 0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle -1+s-2+s+0$	$=$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2s-3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
	↓	Löse nach $s$ auf.
$\displaystyle 2s$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Setze $s = 1,5$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+1{,}5\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-1{,}5\\ 1+1{,}5\\1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5\\2{,}5\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $F (1,5 ∣ 2,5 ∣ 1)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1{,}5\\2{,}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0{,}5\\-0{,}5\\-5\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-0{,}5\\-0{,}5\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-1\\3-1\\6-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{'} (1 ∣ 2 ∣ - 4)$ .

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{P'S}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}$

Der berechnete Punkt $P^{'}$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g^{'}$ . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\overrightarrow{P'S}$ (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt $S$ ):

$\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{P'S}$

Setze in $g^{'}$ den Spiegelpunkt $P^{'}$ und den Richtungsvektor $\overrightarrow{P'S}$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet $g': \vec x= \begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}$ .

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