Lösung der Aufgabe mit Hilfsebene H

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Geraden $g$ als Normalenvektor:

$H:(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right))\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)=0$

2. Schneide $h$ mit $H$:

Setze $s=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\overrightarrow{x}}_F=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 3\end{array}\right)+(-\frac{1}{2})\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6-1\\ 1-\frac{1}{2}\\ 3+\frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{0,5}\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)\Rightarrow$$F(5|\mathrm{0,5}|\mathrm{3,5})$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{0,5}\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{0,5}\\ \mathrm{2,5}\end{array}\right)$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{0,5}\\ \mathrm{2,5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+2\\ 0+1\\ 1+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 6\end{array}\right)$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{\prime }(6|1|6)$.

5. Setze in $g^{\prime }:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{O{P}^{\prime }}+t\cdot \overrightarrow{u}$ den Spiegelpunkt $P^{\prime }$ und den Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Geraden $g$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet: $g^{\prime }:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ der Geraden $h$ als Normalenvektor:

$H:(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right))\circ \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$

2. Schneide $h$ mit $H$:

Setze $s=\mathrm{1,5}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\overrightarrow{x}}_F=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{1,5}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-\mathrm{1,5}\\ 1+\mathrm{1,5}\\ 1+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,5}\\ \mathrm{2,5}\\ 1\end{array}\right)\Rightarrow$$F(\mathrm{1,5}|\mathrm{2,5}|1)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,5}\\ \mathrm{2,5}\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{0,5}\\ -\mathrm{0,5}\\ -5\end{array}\right)$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-\mathrm{0,5}\\ -\mathrm{0,5}\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-1\\ 3-1\\ 6-10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -4\end{array}\right)$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{\prime }(1|2|-4)$.

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{P^{\prime }S}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

Der berechnete Punkt $P^{\prime }$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g^{\prime }$. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\overrightarrow{P^{\prime }S}$ (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt $S$):

$\Rightarrow g^{\prime }:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{O{P}^{\prime }}+t\cdot \overrightarrow{P^{\prime }S}$

Setze in $g^{\prime }$ den Spiegelpunkt $P^{\prime }$ und den Richtungsvektor $\overrightarrow{P^{\prime }S}$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet $g^{\prime }:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$.