Punkt an Ebene spiegeln

Beispiel  

Gegeben:  $E:2x_1+x_2+2x_3=20$ und  $P(7|6|9)$

1. Hilfsgerade $h$ bestimmen: Diese soll senkrecht auf der Ebene $E$ stehen; also ist ihr Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene.                           $\overrightarrow{{ n}_ E}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ Außerdem soll sie durch $P$ gehen; als Aufpunkt kann man $P$ verwenden, als Stützvektor also $\overrightarrow{OP}$. $\Rightarrow\;\; h:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$

2. Schnittpunkt $S$ von der Geraden $h$ mit der Ebene $E$ bestimmen: Dazu wird die Gerade (genauer: der "allgemeine Geradenpunkt") in die Ebenengleichung eingesetzt.

   $2\cdot\left(7+2\lambda\right)+\left(6+\lambda\right)+2\cdot\left(9+2\lambda\right)=20$

   $14+4\lambda+6+\lambda+18+4\lambda=20$

   $38+9\lambda=20$

   $9\lambda=-18$

   $\lambda=-2$

Dieser Wert wird nun in die Geradengleichung eingesetzt, um $S$ zu erhalten. $\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$ also ist ${S(3|4|5)}$.

1. Vektor $\overrightarrow{{PS}}$ berechnen: $\overrightarrow{{PS}}=\overrightarrow{ OS}-\overrightarrow{ OP}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\-4\end{pmatrix}$

2. Spiegelpunkt P' berechnen: $\overrightarrow{OP'}= \overrightarrow{OS}+\overrightarrow{{PS}}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\-2\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\\phantom-2\\\phantom-1\end{pmatrix}$, also $P'(-1|2|1)$.

Alternative Berechnung der Spiegelung eines Punktes $P$ an einer Ebene $E$

Die Ebene ist durch $\vec x\circ \vec n=d$ gegeben.

Setze den gegebenen Punkt $P$ in die Ebenengleichung $E$ ein und berechne die Zahl $d_1$:

$\;\Rightarrow\;\mathrm{(I)}\;\;\vec p\circ \vec n=d_1$

Der Spiegelpunkt $P{}'$ liegt dann in der Ebene $\vec x\circ \vec n=2\cdot d -d_1$ (siehe Spiegelung Ebene an Ebene)

$\;\Rightarrow\; \mathrm{(II)}\;\;\vec p\;{'}\circ \vec n=2\cdot d -d_1$

Die Verbindung der Punkte $P$ und $P{}'$ steht senkrecht auf der Ebene $E$.

Damit ist $\mathrm{(III)}\;\;\vec p\;{'}=\vec p+t\cdot\vec n$.

Zur Berechnung des Spiegelpunktes muss der Parameter $t$ berechnet werden:

Setze $\mathrm{(III)}\;$in $\mathrm{(II)}\;$ ein:

Die Gleichung $\mathrm{(IV)}\;$lautet nun: $\vec p\circ \vec n+t\cdot\vec n\circ \vec n=2\cdot d -d_1$

Setze $\mathrm{(I)}\;$ in $\mathrm{(IV)}\;$ ein:

Mit diesem Parameter $t$ wird der Spiegelpunkt $P{}'$ berechnet:

Beispiel

Gegeben sind der Punkt $P(3|2|1)$ und die Ebene $E:\;\vec x\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=6$. Spiegele den Punkt $P$ an der Ebene $E$.

Die Ebenengleichung $E$ liefert den Normalenvektor $\vec n =\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ und $d=6$.

1. Setze den gegebenen Punkt $P(3|2|1)$ in die Ebenengleichung $E:\;\vec x\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=6$ ein und berechne die Zahl $d_1$:

$\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=d_1\;\Rightarrow\;d_1=3\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot(-1)=3+0-1=2$

2. Berechne $\vec{n}\circ\vec{n}$:

$\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=1\cdot 1+0\cdot 0+(-1)\cdot(-1)=1+0+1=2$

3. Berechne den Parameter $t$ mit $d=6$, $d_1=2$ und $\vec{n}\circ\vec{n}=2$:

$t=\dfrac{2\cdot(d-d_1)}{\vec{n}\circ\vec{n}}=\dfrac{2\cdot(6-2)}{2}=4$

4. Berechne $\vec p\;{'}$:

$\vec p\;{'}=\vec p+t\cdot\vec n=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+4\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+4\\2+0\\1-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\\-3\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(7|2|-3)$.