1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_E$ der Ebene $E$: $l_{Lot}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+s\cdot {\overrightarrow{n}}_E=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$.

$l_{Lot}\cap E$

Setze $s=1$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\overrightarrow{x}}_F=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 5\end{array}\right)$$\Rightarrow F(6|2|5)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 7\end{array}\right)$

5. Der berechnete Punkt $P^{\prime }$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g^{\prime }$. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ (parallele Gerade zu $g$) $\Rightarrow g^{\prime }:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{O{P}^{\prime }}+t\cdot \overrightarrow{u}$

$Antwort:$ Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung $g^{\prime }:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_E$ der Ebene $E$: $l_{Lot}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+s\cdot {\overrightarrow{n}}_E=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right)$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$.

Setze $l_{Lot}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right)$in $E$ ein.

$l_{Lot}\cap E$

Setze $s=-{\displaystyle \frac{9}{14}}$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\overrightarrow{x}}_F=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+(-\frac{9}{14})\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1-\frac{9}{14}\\ 2-\frac{18}{14}\\ 1+\frac{27}{14}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{23}{14}\\ \frac{10}{14}\\ \frac{41}{14}\end{array}\right)$$\Rightarrow F(-\frac{23}{14}|\frac{10}{14}|\frac{41}{14})$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}-\frac{23}{14}\\ \frac{10}{14}\\ \frac{41}{14}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{9}{14}\\ -\frac{18}{14}\\ \frac{27}{14}\end{array}\right)$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-\frac{9}{14}\\ -\frac{18}{14}\\ \frac{27}{14}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1-\frac{18}{14}\\ 2-\frac{36}{14}\\ 1+\frac{54}{14}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{32}{14}\\ -\frac{8}{14}\\ \frac{68}{14}\end{array}\right)$

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{S{P}^{\prime }}:$

$\overrightarrow{S{P}^{\prime }}=\overrightarrow{O{P}^{\prime }}-\overrightarrow{OS}=\left(\begin{array}{c}-\frac{32}{14}\\ -\frac{8}{14}\\ \frac{68}{14}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}11\\ 5\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{32}{14}-11\\ -\frac{8}{14}-5\\ \frac{68}{14}-10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{93}{7}\\ -\frac{39}{7}\\ -\frac{36}{7}\end{array}\right)$

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann:

$g^{\prime }:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{S{P}^{\prime }}$

$g^{\prime }:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}11\\ 5\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-\frac{93}{7}\\ -\frac{39}{7}\\ -\frac{36}{7}\end{array}\right)$ oder $g^{\prime }:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}11\\ 5\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}31\\ 13\\ 12\end{array}\right)$