1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$: $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$.

$l_{Lot}\cap E$

Setze $s=1$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix}$$\;\Rightarrow\;F(6|2|5)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\0\\7\end{pmatrix}$

5. Der berechnete Punkt $P'$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g'$. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\vec u$ (parallele Gerade zu $g$) $\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$

$Antwort:$ Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung $g': \vec x= \begin{pmatrix}10\\0\\7\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$: $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$.

Setze $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$in $E$ ein.

$l_{Lot}\cap E$

Setze $s=-\dfrac{9}{14}$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\left(-\frac{9}{14} \right)\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-\frac{9}{14} \\[1ex]2-\frac{18}{14} \\[1ex]1+\frac{27}{14} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{23}{14} \\[1ex]\frac{10}{14} \\[1ex]\frac{41}{14} \end{pmatrix}$$\;\Rightarrow\;F\left(-\frac{23}{14}|\frac{10}{14}|\frac{41}{14}\right)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-\frac{23}{14} \\[1ex]\frac{10}{14} \\[1ex]\frac{41}{14} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{14}\\[1ex]-\frac{18}{14}\\[1ex]\frac{27}{14}\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-\frac{9}{14}\\[1ex]-\frac{18}{14}\\[1ex]\frac{27}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-\frac{18}{14}\\[1ex]2-\frac{36}{14}\\[1ex]1+\frac{54}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{32}{14}\\[1ex]-\frac{8}{14}\\[1ex]\frac{68}{14}\end{pmatrix}$

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{SP'}:$

$\overrightarrow{SP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}-\frac{32}{14}\\[1ex]-\frac{8}{14}\\[1ex]\frac{68}{14}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\5\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{32}{14}-11\\[1ex]-\frac{8}{14}-5\\[1ex]\frac{68}{14}-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{93}{7}\\[1ex]-\frac{39}{7}\\[1ex]-\frac{36}{7}\end{pmatrix}$

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann:

$g': \vec x= \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SP'}$

$g': \vec x=\begin{pmatrix}11\\5\\10\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-\frac{93}{7}\\[1ex]-\frac{39}{7}\\[1ex]-\frac{36}{7}\end{pmatrix}$ oder $g': \vec x=\begin{pmatrix}11\\5\\10\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}31\\13\\12\end{pmatrix}$