Spiegele die Gerade g an der Ebene E.
g:x=â243ââ+râ â011ââ, E:4x1ââ2x2â+2x3â=30 und gâ„E
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene
1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden lLotâ mit dem Aufpunkt P der Geraden g und mit dem Normalenvektor nEâ der Ebene E: lLotâ:x=OP+sâ nEâ=â243ââ+sâ â4â22ââ
2. Schneide die Gerade lLotâ mit der Ebene E.
lLotââ©E
4x1ââ2x2â+2x3â = 30 â Setze lLotâ:x=â243ââ+sâ â4â22ââin E ein.
4â (2+4s)â2â (4â2s)+2â (3+2s) = 30 â Löse die Klammern auf.
8+16sâ8+4s+6+4s = 30 â Fasse zusammen.
6+24s = 30 â6 24s = 24 :24 s = 1 Setze s=1 in die Lotgeradengleichung lLotâ ein, um den Punkt F zu berechnen.
xFâ=â243ââ+1â â4â22ââ=â625âââF(6âŁ2âŁ5)
3. Berechne den Vektor PF
PF=OFâOP=â625ââââ243ââ=â4â22ââ
4. Setze OP und PF in die Vektorgleichung OPâČ=OP+2â PF ein:
OPâČ=â243ââ+2â â4â22ââ=â1007ââ
5. Der berechnete Punkt PâČ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden gâČ. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor u (parallele Gerade zu g) âgâČ:x=OPâČ+tâ u
Antwort: Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung gâČ:x=â1007ââ+tâ â011ââ
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g:x=ââ121ââ+râ â413ââ, E:x1â+2x2ââ3x3â=â9 und gâ©EâS(11âŁ5âŁ10)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene
1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden lLotâ mit dem Aufpunkt P der Geraden g und mit dem Normalenvektor nEâ der Ebene E: lLotâ:x=OP+sâ nEâ=ââ121ââ+sâ â12â3ââ
2. Schneide die Gerade lLotâ mit der Ebene E.
Setze lLotâ:x=ââ121ââ+sâ â12â3ââin E ein.
lLotââ©E
x1â+2x2ââ3x3â = â9 â Setze lLotâ:x=ââ121ââ+sâ â12â3ââin E ein.
(â1+s)+2â (2+2s)â3â (1â3s) = â9 â Löse die Klammern auf
â1+s+4+4sâ3+9s = â9 â Fasse zusammen.
14s = â9 :14 s = â149â Setze s=â149â in die Lotgeradengleichung lLotâ ein, um den Punkt F zu berechnen.
xFâ=ââ121ââ+(â149â)â â12â3ââ=ââ1â149â2â1418â1+1427âââ=ââ1423â1410â1441ââââF(â1423ââŁ1410ââŁ1441â)
3. Berechne den Vektor PF
PF=OFâOP=ââ1423â1410â1441ââââââ121ââ=ââ149ââ1418â1427âââ
4. Setze OP und PF in die Vektorgleichung OPâČ=OP+2â PF ein:
OPâČ=ââ121ââ+2â ââ149ââ1418â1427âââ=ââ1â1418â2â1436â1+1454âââ=ââ1432ââ148â1468âââ
5. Berechne den Vektor SPâČ:
SPâČ=OPâČâOS=ââ1432ââ148â1468âââââ11510ââ=ââ1432ââ11â148ââ51468ââ10ââ=ââ793ââ739ââ736âââ
6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann:
gâČ:x=OS+tâ SPâČ
gâČ:x=â11510ââ+tâ ââ793ââ739ââ736âââ oder gâČ:x=â11510ââ+tâ â311312ââ
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