Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spiegele die Gerade $g$ an der Ebene $E$ .

$g:\vec x=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $E:\;4x_1-2x_2+2x_3=30$ und $g\parallel E$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$ : $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$ .

$l_{Lot}\cap E$

$\displaystyle 4x_1-2x_2+2x_3$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Setze $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$ in $E$ ein.
$\displaystyle 4\cdot(2+4s)-2\cdot(4-2s)+2\cdot(3+2s)$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 8+16s-8+4s+6+4s$	$=$	$\displaystyle 30$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6+24s$	$=$	$\displaystyle 30$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle 24s$	$=$	$\displaystyle 24$	$\displaystyle :24$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 1$

Setze $s = 1$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;F(6|2|5)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\0\\7\end{pmatrix}$

5. Der berechnete Punkt $P^{'}$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g^{'}$ . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\vec u$ (parallele Gerade zu $g$ ) $\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$

$A n t w o r t :$ Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung $g': \vec x= \begin{pmatrix}10\\0\\7\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$

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$g:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 4\\1 \\ 3 \end{pmatrix}$ , $E:\;x_1+2x_2-3x_3=-9$ und $g\cap E\;\Rightarrow\;S(11|5|10)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$ : $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$ .

Setze $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ in $E$ ein.

$l_{Lot}\cap E$

$\displaystyle x_1+2x_2-3x_3$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Setze $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ in $E$ ein.
$\displaystyle (-1+s)+2\cdot(2+2s)-3\cdot(1-3s)$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Löse die Klammern auf
$\displaystyle -1+s+4+4s-3+9s$	$=$	$\displaystyle -9$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 14s$	$=$	$\displaystyle -9$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{9}{14}$

Setze $s=-\dfrac{9}{14}$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\left(-\frac{9}{14} \right)\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-\frac{9}{14} \\[1ex]2-\frac{18}{14} \\[1ex]1+\frac{27}{14} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{23}{14} \\[1ex]\frac{10}{14} \\[1ex]\frac{41}{14} \end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;F\left(-\frac{23}{14}|\frac{10}{14}|\frac{41}{14}\right)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-\frac{23}{14} \\[1ex]\frac{10}{14} \\[1ex]\frac{41}{14} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{14}\\[1ex]-\frac{18}{14}\\[1ex]\frac{27}{14}\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-\frac{9}{14}\\[1ex]-\frac{18}{14}\\[1ex]\frac{27}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-\frac{18}{14}\\[1ex]2-\frac{36}{14}\\[1ex]1+\frac{54}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{32}{14}\\[1ex]-\frac{8}{14}\\[1ex]\frac{68}{14}\end{pmatrix}$

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{SP'}:$

$\overrightarrow{SP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}-\frac{32}{14}\\[1ex]-\frac{8}{14}\\[1ex]\frac{68}{14}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\5\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{32}{14}-11\\[1ex]-\frac{8}{14}-5\\[1ex]\frac{68}{14}-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{93}{7}\\[1ex]-\frac{39}{7}\\[1ex]-\frac{36}{7}\end{pmatrix}$

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann:

$g': \vec x= \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SP'}$

$g': \vec x=\begin{pmatrix}11\\5\\10\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-\frac{93}{7}\\[1ex]-\frac{39}{7}\\[1ex]-\frac{36}{7}\end{pmatrix}$ oder $g': \vec x=\begin{pmatrix}11\\5\\10\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}31\\13\\12\end{pmatrix}$

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