Die Ebene $E$ wird an der Ebene $H$ gespiegelt.

Für die rechte Seite der gespiegelten Ebene $E{}'$ in Koordinatenform gilt die Gleichung:

$\mathrm{(I)}\;\;d_3=2\cdot d_2-d_1$

Lies $d_1$ aus der Ebenengleichung $E$ ab: $d_1=7$

Lies $d_2$ aus der Ebenengleichung $H$ ab: $d_2=12$

Setze $d_1=7$ und $d_2=12$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein:

$d_3=2\cdot 12-7=24-7=17$

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene $E'$ lautet: $2\cdot x_1- 3x_2+ x_3=17$

1. Die Schnittgerade $g_S$ ist gegeben: $g_S:\;\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u =\begin{pmatrix}\dfrac{18}{7}\\[1ex]0\\[1ex]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.

2. Finde einen Punkt $P$ auf der Ebene $E$. Der Punkt $P$ darf nicht auf der Schnittgeraden $g_S$ liegen.

$E:\; 2\cdot x_1+4\cdot x_2-2\cdot x_3=5$

Setze z. B. $x_1=1$ und $x_2=1$ und berechne $x_3$:

$2\cdot 1+4\cdot1-2\cdot x_3=5\;\Rightarrow\;x_3=0{,}5\;\Rightarrow\;P(1|1|0{,}5)$

Liegt $P$ auf $g_S$? Setze $P$ in die Geradengleichung ein:

$\begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{18}{7}\\[1ex]0\\[1ex]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{7}\\1\\\dfrac{3}{7}\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$

Aus der ersten Zeile folgt $r=\dfrac{11}{7}$ und aus der zweiten Zeile folgt $r=1$. Das ist ein Widerspruch. Somit liegt $P$ nicht auf $g_S.$

3. Wird ein Punkt $P$ der Ebene $E$ an der Ebene $H$ gespiegelt, so liegen der Punkt $P$ und der Spiegelpunkt $P{}'$ auf einer Geraden, die senkrecht auf der Ebene $H$ steht. Diese Gerade ist die Lotgerade $l_{Lot}$. Sie wird benötigt, um den Lotfußpunkt $F$ auf der Ebene $H$ zu berechnen.

Erstelle nun eine Lotgerade $l_{Lot}$ mit dem gefundenen Punkt $P(1|1|0{,}5)$ als Aufpunkt und dem Normalenvektor $\vec n_H=\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$ der Ebene $H$: $l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$

4. Schneide die Lotgerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $H$, um den Lotfußpunkt $F$ zu erhalten.

Setze $r=\dfrac{2}{13}$ in die Lotgerade $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}+(\frac{2}{13})\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+\dfrac{6}{13}\\[2ex] 1-\dfrac{2}{13}\\[2ex]0{,}5+\dfrac{8}{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{13}\\[2ex] \dfrac{11}{13}\\[2ex]\dfrac{29}{26}\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$$F\left(\dfrac{19}{13}\Big\vert\dfrac{11}{13}\Big\vert\dfrac{29}{26}\right)$

5. Für den Spiegelpunkt $P{}'$ gilt immer die Gleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$

Berechne zunächst den Vektor $\overrightarrow{PF}$:

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{13}\\[2ex] \dfrac{11}{13}\\[2ex]\dfrac{29}{26}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{19}{13}-1\\[2ex] \dfrac{11}{13}-1\\[2ex]\dfrac{29}{26}-0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{6}{13}\\[2ex] -\dfrac{2}{13}\\[2ex]\dfrac{8}{13}\end{pmatrix}$

6. Setze dann $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}\dfrac{6}{13}\\[2ex] -\dfrac{2}{13}\\[2ex]\dfrac{8}{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\dfrac{12}{13}\\[2ex]1-\dfrac{4}{13}\\[2ex]0{,}5+\dfrac{16}{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{25}{13}\\[2ex]\dfrac{9}{13}\\[2ex]\dfrac{45}{26}\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'\left(\dfrac{25}{13}\Big\vert\dfrac{9}{13}\Big\vert\dfrac{45}{26}\right)$.

7. Der berechnete Punkt $P'$ ist ein Punkt der Spiegelebene $E'$. Erstelle eine Parameterform für die Spiegelebene $E'$ mit der Schnittgeraden $g_S$ und einem weiteren Richtungsvektor $\vec v=\overrightarrow{AP'}$ ($A$ ist der Aufpunkt der Schnittgeraden)

$\;\Rightarrow\;$ $E':\; \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u+s\cdot \vec v$.

Berechne den zweiten Richtungsvektor:

$\vec v=\overrightarrow{AP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}\dfrac{25}{13}\\[2ex]\dfrac{9}{13}\\[2ex]\dfrac{45}{26}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\dfrac{18}{7}\\[1ex]0\\[1ex]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{25}{13}-\dfrac{18}{7}\\[2ex]\dfrac{9}{13}-0\\[2ex]\dfrac{45}{26}-\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{59}{91}\\[2ex]\dfrac{9}{13}\\[2ex]\dfrac{151}{91}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{91}\cdot\begin{pmatrix}-59\\63\\151\end{pmatrix}$

Die Spiegelebene $E'$ kann dann als Parametergleichung geschrieben werden:

$E':\;\vec x=\begin{pmatrix}\dfrac{18}{7}\\[1ex]0\\[1ex]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-59\\63\\151\end{pmatrix}$