1. Hilfsgerade  $h$  aufstellen, die senkrecht zur Ebene $E$steht (der Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_E=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ und verläuft durch den Punkt $P(1|2|5)$:

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

2. Schnittpunkt $S$ der Gerade $h$ mit der Ebene $E$ bestimmen.

$h\cap E$

Setze $r=1$ in $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu berechnen:

${\overrightarrow{x}}_S=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$$\Rightarrow S(2|5|3)$

3. Vektor$\overrightarrow{PS}$ berechnen:

$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

4. Vektor $\overrightarrow{PS}$ zu $\overrightarrow{OS}$ addieren, um den gesuchten Punkt $P^{\prime }$zu bekommen.

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 1\end{array}\right)$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{\prime }(3|8|1)$.

1. Hilfsgerade  $h$  aufstellen, die senkrecht zur Ebene $F$steht (der Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_E=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ und verläuft durch den Punkt $P(1|2|5)$:

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

2. Schnittpunkt $S$ der Gerade $h$ mit der Ebene $F$ bestimmen.

$h\cap F$

Setze $r=2$ in $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu berechnen:

${\overrightarrow{x}}_S=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 11\end{array}\right)$$\Rightarrow S(-3|4|11)$

3. Vektor$\overrightarrow{PS}$ berechnen:

$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 11\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

4. Vektor $\overrightarrow{PS}$ zu $\overrightarrow{OS}$ addieren, um den gesuchten Punkt $P^{\prime }$zu bekommen.

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 11\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ 17\end{array}\right)$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{\prime }(-7|6|17)$.