Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spiegele den Punkt $P(1|2|5)$ an der Ebene.

$E:\;x_1+3x_2-2x_3=11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln

1. Hilfsgerade $h$ aufstellen, die senkrecht zur Ebene $E$ steht (der Normalenvektor $\vec n_E=\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ und verläuft durch den Punkt $P(1|2|5)$ :

$h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$

2. Schnittpunkt $S$ der Gerade $h$ mit der Ebene $E$ bestimmen.

$h\cap E$

$\displaystyle x_1+3x_2-2x_3$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Setze $h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ in $E$ ein.
$\displaystyle (1+r)+3\cdot(2+3r)-2\cdot(5-2r)$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 1+r+6+9r-10+4r$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -3+14r$	$=$	$\displaystyle 11$	$\displaystyle +3$
	↓	Löse nach r auf.
$\displaystyle 14r$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1$

Setze $r=1$ in $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu berechnen:

$\vec x_S=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;S(2|5|3)$

3. Vektor $\overrightarrow{PS}$ berechnen:

$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$

4. Vektor $\overrightarrow{PS}$ zu $\overrightarrow{OS}$ addieren, um den gesuchten Punkt $P'$ zu bekommen.

$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(3|8|1)$ .

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$F:\;-2x_1+x_2+3x_3=43$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln

1. Hilfsgerade $h$ aufstellen, die senkrecht zur Ebene $F$ steht (der Normalenvektor $\vec n_E=\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden $h$ und verläuft durch den Punkt $P(1|2|5)$ :

$h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$

2. Schnittpunkt $S$ der Gerade $h$ mit der Ebene $F$ bestimmen.

$h\cap F$

$\displaystyle -2x_1+x_2+3x_3$	$=$	$\displaystyle 43$
	↓	Setze $h:\; \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$ in $F$ ein.
$\displaystyle -2\cdot(1-2r)+(2+r)+3\cdot(5+3r)$	$=$	$\displaystyle 43$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle -2+4r+2+r+15+9r$	$=$	$\displaystyle 43$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 15+14r$	$=$	$\displaystyle 43$	$\displaystyle -15$
	↓	Löse nach r auf.
$\displaystyle 14r$	$=$	$\displaystyle 28$	$\displaystyle :14$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 2$

Setze $r=2$ in $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu berechnen:

$\vec x_S=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\11\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;S(-3|4|11)$

3. Vektor $\overrightarrow{PS}$ berechnen:

$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}-3\\4\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\6\end{pmatrix}$

4. Vektor $\overrightarrow{PS}$ zu $\overrightarrow{OS}$ addieren, um den gesuchten Punkt $P'$ zu bekommen.

$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix}-3\\4\\11\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6\\17\end{pmatrix}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(-7|6|17)$ .

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