Der Vektor $\overrightarrow{PP{}'}=\overrightarrow{OP{}'}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}8\\2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}=\textcolor{ff6600}{  \begin{pmatrix}6\\1\\2\end{pmatrix}}$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$.

Der Vektor $\overrightarrow{OM}$ ist der Vektor, der vom Koordinatenursprung aus zur Mitte des Vektors $\overrightarrow{PP{}'}$ zeigt. Der Punkt $M$ ist ein Punkt in der Ebene $E$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{OM}$:

$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OP{}'}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}8\\2\\5\end{pmatrix}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}10\\3\\8\end{pmatrix}=\textcolor{006400}{\begin{pmatrix}5\\1{,}5\\4\end{pmatrix}}$

Mit dem berechneten Vektor $\overrightarrow{OM}$ und dem Normalenvektor $\vec n= \textcolor{ff6600}{  \begin{pmatrix}6\\1\\2\end{pmatrix}}$ der Ebene $E$ kann die Ebenengleichung in Normalenform folgendermaßen geschrieben werden:

$E: \left(\vec x -\textcolor{006400}{\begin{pmatrix}5\\1{,}5\\4\end{pmatrix}}\right)\circ\textcolor{ff6600}{  \begin{pmatrix}6\\1\\2\end{pmatrix}}=0$

Die Ebenengleichung wird in Koordinatenform umgerechnet, indem das Skalarprodukt ausgerechnet wird:

$E:\;\textcolor{ff6600}{6}\cdot x_1+\textcolor{ff6600}{ 1}\cdot x_2+\textcolor{ff6600}{2}\cdot x_3-(\textcolor{006400}{5}\cdot \textcolor{ff6600}{6}+\textcolor{006400}{1{,}5}\cdot \textcolor{ff6600}{ 1}+\textcolor{006400}{4}\cdot \textcolor{ff6600}{2})=0$

$\;\Rightarrow\; E:\;6\cdot x_1+ x_2+2\cdot x_3-39{,}5=0$ oder $E:\;6\cdot x_1+ x_2+2\cdot x_3=39{,}5$

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene lautet $E:\;6\cdot x_1+ x_2+2\cdot x_3=39{,}5$.