Der Vektor $\overrightarrow{PP{}^{\prime }}=\overrightarrow{OP{}^{\prime }}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$.

Der Vektor $\overrightarrow{OM}$ ist der Vektor, der vom Koordinatenursprung aus zur Mitte des Vektors $\overrightarrow{PP{}^{\prime }}$ zeigt. Der Punkt $M$ ist ein Punkt in der Ebene $E$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{OM}$:

$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OP{}^{\prime }})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ 5\end{array}\right))={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 3\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{1,5}\\ 4\end{array}\right)$

Mit dem berechneten Vektor $\overrightarrow{OM}$ und dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ der Ebene $E$ kann die Ebenengleichung in Normalenform folgendermaßen geschrieben werden:

$E:(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{1,5}\\ 4\end{array}\right))\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$

Die Ebenengleichung wird in Koordinatenform umgerechnet, indem das Skalarprodukt ausgerechnet wird:

$E:6\cdot x_1+1\cdot x_2+2\cdot x_3-(5\cdot 6+\mathrm{1,5}\cdot 1+4\cdot 2)=0$

$\Rightarrow E:6\cdot x_1+x_2+2\cdot x_3-\mathrm{39,5}=0$ oder $E:6\cdot x_1+x_2+2\cdot x_3=\mathrm{39,5}$

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene lautet $E:6\cdot x_1+x_2+2\cdot x_3=\mathrm{39,5}$.