Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken im Koordinatensystem

Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ sind:

• $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}8\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$

• $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}4\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$

Der erste Vektor ist $\overrightarrow{AB}$, da er gegen den Uhrzeigersinn gesehen der erste ist.

Lösung: $A=\dfrac{1}{2}(6\cdot 7-4\cdot 2)=17~\text{FE}$

$A(1|2),~B(2|3),~ C(3|0)$

Skizziere die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.

$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\begin{pmatrix}1-3\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\begin{pmatrix}2-3\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( $\mathrm\alpha$ ) oder setze um die Determinante einen Betrag.

Wichtig: $\frac12$ nicht vergessen!

Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.

$\mathrm A_{\Delta}=\frac12\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{CA}}&\overrightarrow{\mathrm{CB}}\end{vmatrix}\right|=\frac12\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{CB}}&\overrightarrow{\mathrm{CA}}\end{vmatrix}=\frac12\begin{vmatrix}-1&-2\\3&2\end{vmatrix}=\frac12(-2+6)=2\;FE$

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den $\mathbb{R}^3$ ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag $0$ hinzugefügt wird.

Berechne nun das Kreuzprodukt $\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}$. Das Ergebnis ist ein zu $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$ orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$ aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

$A(-1|-1),~ B(5|1),~ C(2|4)$

Zeichne die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}5-(-1)\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}2-(-1)\\4-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}$

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( $\mathrm\alpha$ ) oder setze um die Determinante einen Betrag.

Wichtig: $\frac12$ nicht vergessen!

Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.

$\mathrm A_{\Delta}=\frac12\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{AC}}&\overrightarrow{\mathrm{AB}}\end{vmatrix}\right|=\frac12\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{AB}}&\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{vmatrix}=\frac12\begin{vmatrix}6&3\\2&5\end{vmatrix}=\frac12(30-6)=12\;FE$

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den $\mathbb{R}^3$ ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag $0$ hinzugefügt wird.

Berechne nun das Kreuzprodukt $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$. Das Ergebnis ist ein zu $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.