Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken im Koordinatensystem
Lerne mit diesen Aufgaben, Flächen von Dreiecken im Koordinatensystem zu berechnen.
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Flächeninhalt mit Determinante
Ziehe die Zahlen an die richtige Stelle in der Formel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt im Koordinatensystem
Die Vektoren AB und AC sind:
AB=(88)−(24)=(64)
AC=(411)−(24)=(27)
Der erste Vektor ist AB, da er gegen den Uhrzeigersinn gesehen der erste ist.
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Berechne die Vektoren AB und AC.
Setze die Werte dieser Vektoren an die richtige Stelle in der Formel:
A=21ABx ACxABy ACy
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks aus der Teilaufgabe (a).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt im Koordinatensystem
Lösung: A=21(6⋅7−4⋅2)=17 FE
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Berechne den Wert der Determinante von A=21ABx ACxABy ACy
Das geht am Beispiel so: A=213 15 7=21(3⋅7−5⋅1)=8 FE
- 2
Berechne die Fläche der Dreiecke ABC.
A(1∣2), B(2∣3), C(3∣0)
FEFür diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche berechnen
A(1∣2), B(2∣3), C(3∣0)
Skizziere die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.
CA=(1−32−0)=(−22)
CB=(2−33−0)=(−13)
1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante
Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( α ) oder setze um die Determinante einen Betrag.
Wichtig: 21 nicht vergessen!
Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.
AΔ=21CACB=21CBCA=21−13−22=21(−2+6)=2FE
2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt
Bette die Zeichenebene in den R3 ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag 0 hinzugefügt wird.
Berechne nun das Kreuzprodukt CA×CB. Das Ergebnis ist ein zu CA und CB orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von CA und CB aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
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Bilde die Vektoren CA,CB und wende das Determinanten-Verfahren an.
A(−1∣−1), B(5∣1), C(2∣4)
FEFür diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche berechnen
A(−1∣−1), B(5∣1), C(2∣4)
Zeichne die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.
AB=(5−(−1)1−(−1))=(62)
AC=(2−(−1)4−(−1))=(35)
1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante
Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( α ) oder setze um die Determinante einen Betrag.
Wichtig: 21 nicht vergessen!
Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.
AΔ=21ACAB=21ABAC=216235=21(30−6)=12FE
2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt
Bette die Zeichenebene in den R3 ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag 0 hinzugefügt wird.
Berechne nun das Kreuzprodukt AB×AC. Das Ergebnis ist ein zu AB und AC orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von AB und AC aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bilde die Vektoren AB,AC und wende das Determinanten-Verfahren an.
- 3
Die Punkte A(−4∣−2), B(9∣−5) und C(2∣2) bilden ein Dreieck. Bestimme den Flächeninhalt FE mit dem Determinantenverfahren. Benutze C als Fußpunkt.
FEFür diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksflächen berechnen
Zuerst wird Spitze minus Fuß gerechnet, was in diesem Fall A-C und B-C ist:
Zuerst A−C
Dann B−C
Dann wird das Determinantenverfahren angewendet:
A=0,5−6−47−7
A=0,5((−6⋅(−7))−((−4)⋅7))
A=0,5(42−(−28))
A=0,5⋅70
A=35FE
C als Fußpunkt bedeutet, die Vektoren CA und CB werden für das Determinantenverfahren verwendet.
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