Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Wird der Punkt $P (1 ∣ 2 ∣ 3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q (7 ∣ 2 ∣ 11)$ .

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln
Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist ein Normalenvektor der gesuchten Ebene E.
Der Punkt $M$ ist die Mitte der Strecke $[P Q]$ und liegt in der Ebene $E$ .
Berechne den Vektor $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$ :
$\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}7\\2\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;\vec n =\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}$
Berechne den Mittelpunkt der Strecke $[P Q]$ :
$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7\\2\\11\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix}$
Für die Ebene $E$ in Normalenform gilt allgemein:
$E: \;\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)\circ\vec n =0$
Setze in $E$ für $\overrightarrow{OA}$ den Vektor $\overrightarrow{OM}$ und den Vektor $\vec n$ ein:
$E: \;\left(\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}=0$
In Koordinatenform umgewandelt, folgt:
$E:\; 6x_1+8x_3-(4\cdot 6+2\cdot 0+7\cdot 8)=0 $ $\;\Rightarrow\;E:\; 6x_1+8x_3-80=0$
Eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet: $E:\; 6x_1+8x_3-80=0$ .

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Auf der Geraden durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$ ; dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$ . Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$ . Bestimmen Sie die Koordinaten von $R$ . (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
$R$ liegt bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$ (siehe Abbildung).
Es gilt: Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$ . Demnach ist $[RS]=2\cdot [PQ]$ .
Der Punkt $M$ liegt in der Mitte der Strecke $[R S]$ , d.h. $[RM]=\dfrac{1}{2}[RS]$ .
$[RM]=\dfrac{1}{2}[RS]=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot[PQ]=[PQ]$
Vektoriell heißt die letzte Zeile: $\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{PQ}$
$\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{PQ}$ oder nach $\overrightarrow{OR}$ umgeformt:
$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$
Der Punkt $R$ hat die Koordinaten $R (- 2 ∣ 2 ∣ - 1)$ .
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