Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Wird der Punkt $P (1 ∣ 2 ∣ 3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q (7 ∣ 2 ∣ 11)$ .
1. Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. (3P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Ebene spiegeln
  Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist ein Normalenvektor der gesuchten Ebene E.
  Der Punkt $M$ ist die Mitte der Strecke $[P Q]$ und liegt in der Ebene $E$ .
  Berechne den Vektor $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$ :
  $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}7\\2\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;\vec n =\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}$
  Berechne den Mittelpunkt der Strecke $[P Q]$ :
  $\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7\\2\\11\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix}$
  Für die Ebene $E$ in Normalenform gilt allgemein:
  $E: \;\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)\circ\vec n =0$
  Setze in $E$ für $\overrightarrow{OA}$ den Vektor $\overrightarrow{OM}$ und den Vektor $\vec n$ ein:
  $E: \;\left(\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}=0$
  In Koordinatenform umgewandelt, folgt:
  $E:\; 6x_1+8x_3-(4\cdot 6+2\cdot 0+7\cdot 8)=0 $ $\;\Rightarrow\;E:\; 6x_1+8x_3-80=0$
  Eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet: $E:\; 6x_1+8x_3-80=0$ .
  
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2. Auf der Geraden durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$ ; dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$ . Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$ . Bestimmen Sie die Koordinaten von $R$ . (2P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  $R$ liegt bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$ (siehe Abbildung).
  Es gilt: Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$ . Demnach ist $[RS]=2\cdot [PQ]$ .
  Der Punkt $M$ liegt in der Mitte der Strecke $[R S]$ , d.h. $[RM]=\dfrac{1}{2}[RS]$ .
  $[RM]=\dfrac{1}{2}[RS]=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot[PQ]=[PQ]$
  Vektoriell heißt die letzte Zeile: $\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{PQ}$
  $\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{PQ}$ oder nach $\overrightarrow{OR}$ umgeformt:
  $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$
  Der Punkt $R$ hat die Koordinaten $R (- 2 ∣ 2 ∣ - 1)$ .
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Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

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