Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Berechne den Vektor $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$:

$\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}7\\2\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}$$\;\Rightarrow\;\vec n =\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}$

Berechne den Mittelpunkt der Strecke $[PQ]$ :

$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7\\2\\11\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix}$

Für die Ebene $E$ in Normalenform gilt allgemein:

$E: \;\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)\circ\vec n =0$

Setze in $E$ für $\overrightarrow{OA}$ den Vektor $\overrightarrow{OM}$ und den Vektor $\vec n$ ein:

$E: \;\left(\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}=0$

In Koordinatenform umgewandelt, folgt:

$E:\; 6x_1+8x_3-(4\cdot 6+2\cdot 0+7\cdot 8)=0 $ $\;\Rightarrow\;E:\; 6x_1+8x_3-80=0$

Eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet: $E:\; 6x_1+8x_3-80=0$.



Vektoriell heißt die letzte Zeile: $\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{PQ}$

$\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{PQ}$ oder nach $\overrightarrow{OR}$ umgeformt:

$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$

Der Punkt $R$ hat die Koordinaten $R(-2|2|-1)$.