Aufgaben zu Extremwerten - lernen mit Serlo!

Das Bild zeigt eine Gerade $g$ und eine Parabel $p$ .

Bestimme von Gerade und Parabel jeweils die Funktionsgleichung. Berechne dann die Schnittpunkte der beiden Graphen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung

Aus dem Graphen lassen sich zwei Punkte $P_1(0\mid 0),P_2(6 \mid 6)$ der Geraden und drei Punkte $P_3(0 \mid 0), P_4(4 \mid 8), P_5(8 \mid 0)$ der Parabel ablesen.

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf und setze die zwei bekannten Punkte ein.

$y = m x + t$

$0 = m\cdot 0 + t$

Der erste Punkt führt zu $t = 0$ . Setze nun den zweiten Punkt ein.

$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle m\cdot6+0$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 1$

Der zweite Punkt führt zu $m = 1$ . Folglich lautet die Funktionsgleichung für die Gerade:

\displaystyle y = x.

Bestimme nun die Funktionsgleichung für die Parabel. Hierzu verwende die allgemeine Form.

$y = a x^{2} + b x + c$

Setze in diese Gleichung die bekannten Punkte ein.

$0 = a \cdot 0² + b \cdot 0 + c$

Der erste Punkt führt zu $c = 0$ $\;\Rightarrow\;y=ax^2+bx$ .

Setze nun den zweiten Punkt $(4 ∣ 8)$ ein.

$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle a\cdot4^2+b\cdot4$	$\displaystyle -a\cdot4^2$
	↓	$4^{2} = 16$
$\displaystyle 8-a\cdot16$	$=$	$\displaystyle b\cdot4$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 2-4\cdot a$

Der zweite Punkt führt zu einer Gleichung in Abhängigkeit von $a$ und $b$ . Setze nun den dritten Punkt $(8 ∣ 0)$ ein.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a\cdot8^2+b\cdot8$
	↓	Setze die aus dem vorherigen Schritt bekannte Gleichung $b = 2-4\cdot a$ ein.
	$=$	$\displaystyle a\cdot8^2+(2-4\cdot a)\cdot8$
	↓	Berechne das Quadrat und löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle 64a+16-32a$
	↓	Fasse die Terme zusammen.
	$=$	$\displaystyle 32a+16$	$\displaystyle -16$
$\displaystyle -16$	$=$	$\displaystyle 32a$	$\displaystyle :32$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -0{,}5$

Errechne daraus $b$ .

$b = 2 - 4 \cdot (-0.5) = 4$

Insgesamt lautet damit die Funktionsgleichung der Parabel:

\displaystyle y = -0{,}5x^2 + 4x.

Schnittpunkte berechnen

Zur Berechnung der Schnittpunkte setzt man die beiden Funktionsgleichungen gleich.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -0{,}5x^2+4x$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -0{,}5x^2+3x$
	↓	Klammere $x$ aus.
	$=$	$\displaystyle x\left(-0{,}5x+3\right)$

Die rechte Seite ist genau dann $0$ , wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist.

$\Rightarrow\ x_1=0$

$-0{,}5x+3=0\ \Leftrightarrow\ x_2=6$

Die Schnittpunkte sind also an den Stellen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 6$ . Die Schnittpunkte sind also

$S_1(0\mid0)$

$S_2(6 \mid 6)$

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Gib die Koordinaten eines Punktes $P$ auf der Parabel nur in Abhängigkeit von ${\mathrm x}_\mathrm p$ an. Zeichnet man für $0 < x_{p} < 6$ zwischen dem Punkt $P$ und der Geraden $g$ zur y-Achse parallele Strecken, so sind diese Strecken unterschiedlich lang. Bestimme unter diesen Strecken die längste.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Koordinaten eines Punktes $P$ auf der Parabel
Ein Punkt auf der Parabel hat nach der Funktionsgleichung die Koordinaten $P(x_p \mid -0{,}5x_p^2 + 4x_p)$ .
Längste Strecke
Die Länge $S (x)$ der Strecke an der Stelle $x$ ergibt sich als Differenz der beiden Funktionswerte.
$S(x) = -0{,}5x^2 + 4x - x$
Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Maximalstellen.
$S^{'} (x) = - x + 3 = 0$
$x = 3$ ist also die einzige Extremstelle. Mit der 2. Ableitung lässt sich überprüfen, ob hier ein Maximum vorliegt.
$S^{''} (x) = - 1$
$S^{''} (3) = - 1 < 0$
Damit liegt an der Stelle $x = 3$ ein Maximum vor. Die längste Strecke hat damit die Länge
$S(3) = -0{,}5 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 = 4{,}5$
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Schnittpunkte berechnen

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Koordinaten eines Punktes PPP auf der Parabel

Längste Strecke

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Koordinaten eines Punktes $P$ auf der Parabel