Aus dem Graphen lassen sich zwei Punkte $P_1(0\mid 0),P_2(6 \mid 6)$ der Geraden und drei Punkte $P_3(0 \mid 0), P_4(4 \mid 8), P_5(8 \mid 0)$ der Parabel ablesen.

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf und setze die zwei bekannten Punkte ein.

$y = mx + t$

$0 = m\cdot 0 + t$

Der erste Punkt führt zu $t=0$. Setze nun den zweiten Punkt ein.

Der zweite Punkt führt zu $m=1$. Folglich lautet die Funktionsgleichung für die Gerade:

Bestimme nun die Funktionsgleichung für die Parabel. Hierzu verwende die allgemeine Form.

$y=ax^2+bx+c$

Setze in diese Gleichung die bekannten Punkte ein.

$0 = a \cdot 0² + b \cdot 0 + c$

Der erste Punkt führt zu $c=0$ $\;\Rightarrow\;y=ax^2+bx$.

Setze nun den zweiten Punkt $(4|8)$ ein.

Der zweite Punkt führt zu einer Gleichung in Abhängigkeit von $a$ und $b$. Setze nun den dritten Punkt $(8|0)$ ein.

Errechne daraus $b$.

$b = 2 - 4 \cdot (-0.5) = 4$

Insgesamt lautet damit die Funktionsgleichung der Parabel:

Schnittpunkte berechnen

Zur Berechnung der Schnittpunkte setzt man die beiden Funktionsgleichungen gleich.

Die rechte Seite ist genau dann $0$, wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist.

$\Rightarrow\ x_1=0$

$-0{,}5x+3=0\ \Leftrightarrow\ x_2=6$

Die Schnittpunkte sind also an den Stellen $x_1 = 0$ und $x_2 = 6$. Die Schnittpunkte sind also

$S_1(0\mid0)$

$S_2(6 \mid 6)$

Koordinaten eines Punktes $P$ auf der Parabel

Ein Punkt auf der Parabel hat nach der Funktionsgleichung die Koordinaten $P(x_p \mid -0{,}5x_p^2 + 4x_p)$.

Längste Strecke

Die Länge $S(x)$ der Strecke an der Stelle $x$ ergibt sich als Differenz der beiden Funktionswerte.

$S(x) = -0{,}5x^2 + 4x - x$

Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Maximalstellen.

$S'(x) = -x + 3 = 0$

$x=3$ ist also die einzige Extremstelle. Mit der 2. Ableitung lässt sich überprüfen, ob hier ein Maximum vorliegt.

$S''(x)=-1$

$S''(3) = -1 < 0$

Damit liegt an der Stelle $x=3$ ein Maximum vor. Die längste Strecke hat damit die Länge

$S(3) = -0{,}5 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 = 4{,}5$