Aus dem Graphen lassen sich zwei Punkte $P_1(0\mid 0),P_2(6\mid 6)P\_1(0\backslash mid\; 0),P\_2(6\; \backslash mid\; 6)$ der Geraden und drei Punkte $P_3(0\mid 0),P_4(4\mid 8),P_5(8\mid 0)P\_3(0\; \backslash mid\; 0),\; P\_4(4\; \backslash mid\; 8),\; P\_5(8\; \backslash mid\; 0)$ der Parabel ablesen.

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf und setze die zwei bekannten Punkte ein.

$y=mx+ty\; =\; mx\; +\; t$

$0=m\cdot 0+t0\; =\; m\backslash cdot\; 0\; +\; t$

Der erste Punkt führt zu $t=0t=0$. Setze nun den zweiten Punkt ein.

Der zweite Punkt führt zu $m=1m=1$. Folglich lautet die Funktionsgleichung für die Gerade:

Bestimme nun die Funktionsgleichung für die Parabel. Hierzu verwende die allgemeine Form.

$y=a{x}^2+bx+cy=ax^2+bx+c$

Setze in diese Gleichung die bekannten Punkte ein.

$0=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c0\; =\; a\; \backslash cdot\; 0²\; +\; b\; \backslash cdot\; 0\; +\; c$

Der erste Punkt führt zu $c=0c=0$ $\Rightarrow y=a{x}^2+bx\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;y=ax^2+bx$.

Setze nun den zweiten Punkt $(4\mathrm{\mid }8)(4|8)$ ein.

Der zweite Punkt führt zu einer Gleichung in Abhängigkeit von $aa$ und $bb$. Setze nun den dritten Punkt $(8\mathrm{\mid }0)(8|0)$ ein.

Errechne daraus $bb$.

$b=2-4\cdot (-0.5)=4b\; =\; 2\; -\; 4\; \backslash cdot\; (-0.5)\; =\; 4$

Insgesamt lautet damit die Funktionsgleichung der Parabel:

Schnittpunkte berechnen

Zur Berechnung der Schnittpunkte setzt man die beiden Funktionsgleichungen gleich.

Die rechte Seite ist genau dann $00$, wenn einer der beiden Faktoren $00$ ist.

$\Rightarrow x_1=0\backslash Rightarrow\backslash \; x\_1=0$

$-\mathrm{0,5}x+3=0\iff x_2=6-0\{,\}5x+3=0\backslash \; \backslash Leftrightarrow\backslash \; x\_2=6$

Die Schnittpunkte sind also an den Stellen $x_1=0x\_1\; =\; 0$ und $x_2=6x\_2\; =\; 6$. Die Schnittpunkte sind also

$S_1(0\mid 0)S\_1(0\backslash mid0)$

$S_2(6\mid 6)S\_2(6\; \backslash mid\; 6)$

Koordinaten eines Punktes $PP$ auf der Parabel

Ein Punkt auf der Parabel hat nach der Funktionsgleichung die Koordinaten $P(x_p\mid -\mathrm{0,5}{x}_p^2+4x_p)P(x\_p\; \backslash mid\; -0\{,\}5x\_p^2\; +\; 4x\_p)$.

Längste Strecke

Die Länge $S(x)S(x)$ der Strecke an der Stelle $xx$ ergibt sich als Differenz der beiden Funktionswerte.

$S(x)=-\mathrm{0,5}{x}^2+4x-xS(x)\; =\; -0\{,\}5x^2\; +\; 4x\; -\; x$

Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Maximalstellen.

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=-x+3=0S\text{'}(x)\; =\; -x\; +\; 3\; =\; 0$

$x=3x=3$ ist also die einzige Extremstelle. Mit der 2. Ableitung lässt sich überprüfen, ob hier ein Maximum vorliegt.

$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-1S\text{'}\text{'}(x)=-1$

Damit liegt an der Stelle $x=3x=3$ ein Maximum vor. Die längste Strecke hat damit die Länge

$S(3)=-\mathrm{0,5}\cdot 3^2+3\cdot 3=\mathrm{4,5}S(3)\; =\; -0\{,\}5\; \backslash cdot\; 3^2\; +\; 3\; \backslash cdot\; 3\; =\; 4\{,\}5$