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Aufgaben zu Extremwertproblemen im Koordinatensystem

Hier findest du Aufgaben zu Extremwertproblemen im Koordinatensystem. Lerne, Extremwertprobleme mit graphischer Darstellung zu lösen!

  1. 1

    Ein Punkt P(xP∣yP)P(x_P|y_P) gleite auf der Strecke [AB][AB] mit A(0∣6)A(0|6) und B(4∣0)B(4|0).

    Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.

    FĂŒr welchen Punkt PP hat das Dreieck den grĂ¶ĂŸtmöglichen FlĂ€cheninhalt? Wie groß ist dieser?

    Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.

  2. 2

    Von einer Parabel sind der Scheitelpunkt S(2,5 ∣ 12,5) S(2\text{,}5\ \vert\ 12\text{,}5) und eine Nullstelle x=5x = 5 bekannt. Eine Gerade schneidet die yy- Achse bei y=−1y = -1 und geht durch den Punkt R(3 ∣ 5)R(3\ \vert\ 5).

    a)a) Bestimme den Funktionsterm f(x)f(x) zur Parabel und den Funktionsterm g(x)g(x) zur Geraden.

    b) b) Die Gerade x=ux = u (0≀u≀4)(0\leq u\leq 4) schneidet die Parabel (Graph zu f(x)f(x) ) im Punkt PP und die Gerade g(x)g(x) im Punkt QQ.

    FĂŒr welches uu ist die Strecke PQ‟\overline{PQ} maximal?

    Parabel, 2 Geraden

    Abb. 1

    Parabel f(x) f(x), Gerade g(x)g(x)

    und Gerade x=u x =u

  3. 3

    Gegeben sind die beiden Parabeln mit den Funktionsgleichungen

    f(x)=4−x2\mathrm{f}(\mathrm{x})=4-\mathrm{x}^2   und  g(x)=(x−2)2−6\mathrm g(\mathrm x)=\left(\mathrm x-2\right)^2-6

    1. Zeichne die beiden Graphen sauber in ein Koordinatensystem

    2. Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln

    3. Zeichnet man im Bereich −1<x<3-1<x<3 senkrechte Verbindungsstrecken von der oberen zur unteren Parabel, so haben diese Strecken unterschiedliche LĂ€ngen.

      Bestimme die Strecke mit der grĂ¶ĂŸten LĂ€nge!  Zeichne diese Strecke in dein Bild ein!

  4. 4
    Bild

    Das Bild zeigt eine Gerade gg und eine Parabel pp.

    1. Bestimme von Gerade und Parabel jeweils die Funktionsgleichung. Berechne dann die Schnittpunkte der beiden Graphen.   

    2. Gib die Koordinaten eines Punktes PP auf der Parabel nur in AbhĂ€ngigkeit von xp{\mathrm x}_\mathrm p an. Zeichnet man fĂŒr 0<xp<60 < x_p < 6 zwischen dem Punkt PP und der Geraden gg zur y-Achse parallele Strecken, so sind diese Strecken unterschiedlich lang. Bestimme unter diesen Strecken die lĂ€ngste.


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