Aufgaben

Das Bild zeigt eine Gerade %%g%% und eine Parabel %%p%%.

  1. Bestimme von Gerade und Parabel jeweils die Funktionsgleichung. Berechne dann die Schnittpunkte der beiden Graphen.                                                      

  2. Gib die Koordinaten eines Punktes P auf der Parabel nur in Abhängigkeit von %%{\mathrm x}_\mathrm p%% an. Zeichnet man für %%0 < x_p < 6%% von %%P%% eine senkrechte Strecke zur Geraden, so sind diese Strecken unterschiedlich lang. Bestimme unter diesen Strecken die längste.

7299_XvAb3kJ4St.xml           

Aus dem Graphen lassen sich zwei Punkte %%P_1(0\mid 0),P_2(6 \mid 6)%% der Geraden und drei Punkte %%P_3(0 \mid 0), P_4(4 \mid 8), P_5(8 \mid 0)%% der Parabel ablesen.

%%y = mx + t%%

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf und setze die zwei bekannten Punkte ein.

%%0 = m\cdot 0 + t%%

Der erste Punkt führt zu %%t=0%%. Setze nun den zweiten Punkt ein.

%%6 = m \cdot 6 + t%%

%%\mid\,:6%%

%%m=1%%

Der zweite Punkt führt zu %%m=1%%. Folglich lautet die Funktionengleichung für die Gerade:

$$y = x.$$

Bestimme nun die Funktionengleichung für die Parabel. Hierzu verwende die allgemeine Form.

%%y = ax^2 + bx + c%%

Setze in diese Gleichung die bekannten Punkte ein.

%%0 = a \cdot 0² + b \cdot 0 + c%%

Der erste Punkt führt zu %%c=0%%. Setze nun den zweiten Punkt ein.

%%8 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c%%

%%\mid - a \cdot 4^2%%

%%8-a \cdot 4^2 = b \cdot 4%%

%%\mid\,: 4%%

%%b = 2 - 4a%%

Der zweite Punkt führt zu einer Gleichung in Abhängigkeit von %%a%% und %%b%%. Setze nun den dritten Punkt ein.

%%0 = a \cdot 8^2 + b \cdot 8 + c%%

Setze die aus dem vorherigen Schritt bekannte Gleichung %%b = 2-4a%% ein.

%%0 = a \cdot 8^2 + (2 - 4a) \cdot 8%%

Fasse die Terme zusammen

%%0 = 32a + 16%%

%%\mid -16%%

%%-16 = 32a%%

%%\mid\, : 32%%

%%a = -0,5%%

Errechne daraus %%b%%.

%%b = 2 - 4 \cdot (-0.5) = 4%%

Ingesamt lautet damit die Funktionengleichung der Parabel:

$$y = -0,5x^2 + 4x.$$

Schnittpunkte berechnen

Zur Berechnung der Schnittpunkte setzt man die beiden Funktionengleichungen gleich.

%%x = -0,5x^2 + 4x%%

%%\mid -x%%

%%0 = -0,5x^2 + 3x%%

Klammere %%x%% aus.

%%0 = x(-0,5x + 3)%%

Die rechte Seite ist genau dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

%%x_1 = 0%%

%%-0,5x^2 + 3 = 0%%

Die Schnittpunkte sind also an den Stellen %%x_1 = 0%% und %%x_2 = 6%%. Die Schnittpunkte sind also

%%S_1(0 \mid 0)%%

%%S_2(6 \mid 6)%%

Koordinaten eines Punktes %%P%% auf der Parabel

Ein Punkt auf der Parabel hat nach der Funktionengleichung die Koordinaten %%P(x_p \mid -0,5x_p^2 + 4x_p)%%.

Längste Strecke

Die Länge %%S(x)%% der Strecke an der Stelle %%x%% ergibt sich als Differenz der beiden Funktionengleichungen.

%%S(x) = -0,5x^2 + 4x - x%%

Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Maximalstellen.

%%S'(x) = -x + 3 = 0%%

%%x=3%% ist also die einzige Extremstelle. Mit der 2. Ableitung lässt sich überprüfen, ob hier ein Maximum vorliegt.

%%S''(x) = -1%%

%%S''(3) = -1 < 0%%

Damit liegt an der Stelle %%x=3%% ein Maximum vor. Die längste Strecke hat damit die Länge

%%S(3) = -0,5 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 = 4,5%%

Gegeben sind die beiden Parabeln mit den Funktionsgleichungen

%%\mathrm f(\mathrm x)=4-\mathrm x^2%%   und  %%\mathrm g(\mathrm x)=\left(\mathrm x-2\right)^2-6%%

a.    Zeichne die beiden Graphen sauber in ein Koordinatensystem

b.    Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln

c.    Zeichnet man im Bereich %%-1<x<3%% senkrechte Verbindungsstrecken von der oberen zur unteren Parabel, so haben diese Strecken unterschiedliche Längen.

Bestimme die Strecke mit der größten Länge!  Zeichne diese Strecke in dein Bild ein!

Teilaufgabe a): Zeichnen

%%\begin{array}{ccc}f(x)&=&4-x^2\\g(x)&=&(x-2)^2-6\end{array}%%

Zeichne die Parabeln ein. Verwende dazu entweder die Technik aus dem verlinkten Artikel oder benutze eine Wertetabelle. 

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9315_OQwqFpEP15.xml

 

Teilaufgabe b): Schnittpunkte berechnen

%%\begin{array}{ccc}f(x)&=&4-x^2\\g(x)&=&(x-2)^2-6\end{array}%%

Setze die beiden Funktionen gleich. 

%%4-x^2=(x-2)^2-6%%

Bringe die quadratische Gleichung auf allgemeine Form

%%2x^2-4x-6=0%%

Berechne die Diskriminante .

%%D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)=64%%

Die Gleichung hat also zwei Lösungen, die mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnet werden können. 

%%x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt D}4=\frac{4\pm8}4\Rightarrow x_1=3,\;x_2=-1%%

 

Teilaufgabe c): Zwischenstrecke mit größter Länge bestimmen

%%\begin{array}{ccc}f(x)&=&4-x^2\\g(x)&=&(x-2)^2-6\end{array}%%

Zu maximieren ist der Abstand zwischen den beiden Funktionen; die Extremalfunktion bestimmst du also mit  %%f(x)-g(x)%% , da %%f%% im Bereich %%-1<x<3%%  größer als %%g%% ist. 

%%E(x)=f(x)-g(x)=-2x^2+4x+6%%

Leite diese Funktion zweimal ab , um die Extremstelle bestimmen zu können. 

%%\begin{array}{ccc}E'(x)&=&-4x+4\\E''(x)&=&-4\end{array}%%

Setze die erste Ableitung gleich Null , berechne x und setze in die zweite Ableitung ein , um zu erkennen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt. 

%%E'(x)=-4x+4=0%%

%%x=1%%

%%E''(1)=-4%%

%%E(1)=8%%

Die längste zwischen den Graphen verlaufende senkrechte Strecke ist also bei %%x=1%% zu finden. Ihre Länge beträgt %%8%% Längeneinheiten.

Nun musst du diese Strecke nur noch in die Zeichnung von Teilaufgabe a) einzeichnen. In der Grafik ist sie gestrichelt eingetragen. 

Ein Punkt P(xPyP)P(x_P|y_P) gleite auf der Strecke [AB][AB] mit A(06)A(0|6) und B(40)B(4|0).
Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.
Für welchen Punkt PP hat das Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser?
Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.
GeoGebra

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Für das gleichschenklige Dreieck mit der Spitze PP gilt:
Grundlinie = 2xP2\cdot x_P
Höhe = yPy_P
Für die Dreiecksfläche ergibt sich also:
ADreieck=xPyPA_{Dreieck}=x_P\cdot y_P
Skizze der Situation im Koordinatensystem
Gib die Zielfunktion und die Nebenbedingung für die Extremumsaufagbe an.
Zielfunktion
ADreieck=xPyP\displaystyle A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P

Nebenbedingung
Der Punkt P(xPyP)P(x_P|y_P) liegt auf der Strecke [AB][AB].
Ermittle die Geradengleichung ABAB.
allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:
g(x)=mx+t\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm{mx}+\mathrm t
Bestimme den y-Achsenabschnitt tt, indem du abliest, wo der Graph die y-Achse schneidet.
    t=6\Rightarrow\;\;\mathrm t=6
Bestimme die Steigung m, indem du ein Steigungsdreieck benutzt:
Gehe von irgendeinem Geradenpunkt 1LE1\,LE nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.
    m=1,5\Rightarrow\;\;\mathrm m=-1,5
Setze die Werte mm und tt in die Funktionsgleichung ein.
    g(x)=1,5x+6\Rightarrow\;\;\mathrm g(\mathrm x)=-1,5\mathrm x+6
Gib noch den Definitionsbereich DgD_g an, mit dem die Gerade gg auf die Strecke [AB][AB] begrenzt wird.
Dg=[0;4]D_g=[0;4]
Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt P(xPyP)P(x_P|y_P) an.
Nebenbedingung
yP=1,5xP+6y_P=-1,5\cdot x_P+6

Zielfunktion
A(xP;yP)=xPyPA(x_P;y_P)=x_P\cdot y_P
Setze yPy_P der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.
A(xP)=1,5xP2+6xPA(x_P)=-1,5\cdot x_P^2+6\cdot x_P
Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.
Ihr Maximum lässt sich über die Scheitelform durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.
A(xP)=1,5(xP24xP)=1,5(xP24xP+22)+6=1,5(xP2)2+6\begin{array}{rcl}A(x_P)&=&-1,5(x_P^2\color{red}{-4}x_P)\\&=&-1,5(x_P^2-4x_P\color{red}{+2^2})\color{red}{+6}\\&=&-1,5(x_P-2)^2+6\end{array}
Lies den Scheitelpunkt ab.
    S(2    6)\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(2\;\left|\;6\right.\right)
Gib die Bedeutung der Koordinaten des Scheitelpunktes an.
  \Rightarrow\; Bei xp=2{\mathrm x}_\mathrm p=2 ist der Flächeninhalt 6LE6\,\text{LE} und dies ist der gesuchte größtmögliche Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.
Bestimme aus der Nebenbedingung den y-Wert des Punktes PP.
yp=1,52+6=3{\mathrm y}_\mathrm p=-1,5\cdot2+6=3
Gib den gesuchten Punkt PP und den maximalen Flächeninhalt in einem Antwortsatz an.
Für den Punkt P(2    3)\mathrm P\left(\left.2\;\right|\;3\right) ist der Flächeninhalt des darunterliegenden Dreiecks maximal und er beträgt 6  FE6\;\mathrm{FE}.

Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von A(xP)A(x_P)

A(xP)=1,5xP2+6xPA(xP)=3xP+6\begin{array}{rcl}A(x_P)&=&-1,5x_P^2+6x_P\\A'(x_P)&=&-3x_P+6\end{array}
Setze A(xP)A'(x_P) gleich Null und löse nach xPx_P auf.
A(x)A'\left(x\right)==00
3xP+6-3x_P+6==00|+3xP+3x_P
66==3xP3x_P|:3:3
22==xPx_P
Setze den Wert in A(xP)A(x_P) und in die Nebenbedingung y=1,5xP+6y=-1,5\cdot x_P+6 ein und du hast die Lösung der Aufgabe.
Von einer Parabel sind der Scheitelpunkt S(2,5  12,5) S(2\text{,}5\ \vert\ 12\text{,}5) und eine Nullstelle x=5x = 5 bekannt. Eine Gerade schneidet die yy- Achse bei y=1y = -1 und geht durch den Punkt R(3  5)R(3\ \vert\ 5).

a)a) Bestimme den Funktionsterm f(x)f(x) zur Parabel und den Funktionsterm g(x)g(x) zur Geraden.

b) b) Die Gerade x=ux = u (0u4)(0\leq u\leq 4) schneidet die Parabel (Graph zu f(x)f(x) ) im Punkt PP und die Gerade g(x)g(x) im Punkt QQ.
Für welches uu ist die Strecke PQ\overline{PQ} maximal?
Parabel, 2 Geraden

Abb. 1
Parabel f(x) f(x), Gerade g(x)g(x)
und Gerade x=u x =u


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum

Lösung Teilaufgabe a)

Bestimmen der Funktionsgleichung von f

Aus der Aufgabenstellung kannst du bereits die wichtigsten Daten herauslesen, um die Funktionsgleichung von ff zu berechnen.
  1. Der Graph von ff ist eine Parabel, also ist ff eine quadratische Funktion
  2. Der Scheitel der Parabel liegt bei S(2,512,5)S(2,5\vert 12,5).
  3. Die Funktionsgleichung hat eine Nullstelle bei x=5x=5.
Da ff eine qudratische Funktion ist und dessen Scheitel gegeben ist, kannst du hilft dir die Scheitelpunktsform ff zu bestimmen:

Die Funktion ff hat die Form: f(x)=a(xd)2+ef(x)=a(x-d)^2+e , wobei der Scheitelpunkt bei S(de)S(d\vert e) liegt.
Da der Scheitel laut Angabe bei S(2,512,5)S(2,5\vert 12,5) liegt, ist in dieser Aufgabe d=2,5d=2,5 und e=12,5e=12,5.
Setze nun dd und ee in die Funktionsgleichung ein:
f(x)=a(xd)2+e=a(x2,5)2+12,5\displaystyle f(x)= a(x-d)^2+e=a⋅(x−2,5)^2+12,5
Nun haben wir eine Funktionsgleichung gefunden, die einen Scheitel bei S(2,512,5)S(2,5\vert 12,5) hat. Der Öffnungsfaktor aa der Parabel fehlt noch. Hier hilft dir die Angabe der Nullstelle, um aa (und dadurch auch ff) eindeutig zu bestimmen.
Da x=5x=5 eine Nullstelle ist, ist f(5)=0f(5)=0. Setze x=5x=5 in ff ein und löse nach aa auf:

f(5)=0a(52,5)2+12,5=06,25a+12,5=06,25a=12,5\begin{array}{rcl}f(5)&=&0\\a\cdot(5-2,5)^2+12,5&=&0\\6,25a+12,5&=&0\\6,25a&=&-12,5\end{array}

a=12,56,25=2\Rightarrow a =-\dfrac{12,5}{6,25}=-2
f(x)=2(x2,5)2+12,5\Rightarrow f(x) = -2(x-2,5)^2 +12,5
Wenn du willst, kannst du f(x)f(x) nun noch ausmultiplizieren:
f(x)=2(x25x+6,25)+12,5=2x2+10x12,5+12,5=2x2+10x\begin{array}{rcl}f(x)&=&-2(x^2-5x+6,25)+12,5\\&=&-2x^2+10x-12,5+12,5\\&=&-2x^2+10x\end{array}

Bestimmen der Funktionsgleichung für g

Aus der Angabe kannst du folgende Daten zu gg herauslesen:
  1. gg ist eine Gerade.
  2. gg schneidet die yy-Achse bei y=1y=-1.
  3. Der Punkt R(35)R(3\vert 5) liegt auf gg.
Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion und hat im allgemeinen die Form g(x)=mx+tg(x)=mx+t.
mm bezeichnet die Steigung der Geraden und tt den yy-Achsenanschnitt, also bei welchem yy-Wert die Gerade die yy-Achse schneidet.
Da der gg die yy-Achse bei y=1y=-1 schneidet ist t=1t=-1 und du bekommst g(x)=mx1g(x)=mx-1 als erstes Ergebnis.
Setzt man nun den Punkt R(35)R(3\vert5) in g(x)g(x) ein, kann die Steigung mm berechnet werden:
g(x)=mx15=m316=3mm=2\begin{array}{rcl}g(x)&=&mx-1\\5&=&m\cdot 3-1\\ 6&=&3\cdot m\\ m&=&2\end{array}
g(x)=2x1\Rightarrow g(x) =2x-1
Antwort: Die gesuchten Funktionsgleichungen für die Parabel und die Gerade lauten: f(x)=2x2+10x f(x)=-2x^2+10x und g(x)=2x1g(x) = 2x-1.

Lösung Teilaufgabe b)

Die Länge der Strecke PQ\overline{PQ} soll maximal werden.
PQ\overline{PQ} ist die Differenz der Funktionswerte f(u)f(u) und g(u)g(u) also f(u)g(u)f(u) – g(u)
Die Zielfunktion lautet also:
D(u)=f(u)g(u)\displaystyle D(u) = f(u) – g(u)
D(u)D(u) ist eine quadratische Funktion in Abhängigkeit von uu.
Setze f(u)f(u) und g(u)g(u) in D(u)D(u) ein und löse soweit wie möglich auf:

D(u)=(2u2+10u)(2u1)=2u2+8u+1D(u) = (-2u^2+10u) -(2u-1) = -2u^2+8u+1

Von dieser Funktion soll das Maximum bestimmt werden. Dies kannst du auf folgende zwei Arten machen:

i) mit Scheitelpunktsbestimmung und mit dem Wissen über quadratische Funktionen

ii) mit der Ableitung .

i) Lösen mit Hilfe der Scheitelpunktsbestimmung und dem Wissen über quadratische Funktionen

D(u)=2u2+8u+1D(u) = -2u^2+8u+1
Der Koeffizient vor dem x2x^2 ist negativ , somit handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel.

Der Scheitelpunkt ist daher ein Maximum.
Du kannst nun den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung ermitteln.

Klammere zuerst (2)(-2) aus:
D(u)=2(u24u0,5)\displaystyle D(u) = -2(u^2-4u-0,5)

Der gemischte Term in der Klammer ist 4u- 4u, d.h. du musst eine quadratische Ergänzung mit (42)2=22\left(\dfrac{4}{2}\right)^2=2^2 machen.

Addiere in der Klammer 222^2 und subtrahiere diesen Term gleich wieder: 

D(u)=2(u24u+22220,5)\displaystyle D(u) = -2(u^2-4u+2^2-2^2-0,5)
Fasse die ersten drei Terme in der Klammer mit Hilfe der 2. binomischen Formel zusammen:
D(u)=2((u2)2220,5)=2((u2)24,5)\displaystyle D(u) = -2((u-2)^2-2^2-0,5)=-2((u-2)^2-4,5)
Löse die Klammer wieder auf:

D(u)=(2)(u2)2+(2)(4,5)=(2)(u2)2+9\displaystyle D(u) = (-2)\cdot (u - 2)^2+(-2)\cdot(-4,5)=(-2)\cdot (u - 2)^2+9
Lies den Scheitelpunkt ab:
D(u)=(2)(u2)2+9S(29)\displaystyle D(u)=(-2)\cdot (u - 2)^2+9 \Rightarrow S(2\vert 9)

Antwort: An der Stelle x=u=2x=u=2 liegt ein Maximum vor. Die längste Strecke PQ\overline{PQ} hat die Länge 9LE9 LE (Längeneinheiten).

ii) Lösen mit der Ableitung

D(u)=2u2+8u+1D(u) = -2u^2+8u+1

Die Nullstellen der 1. Ableitung von D(u)D(u) sind mögliche Maximalstellen. Wenn zudem die 2. Ableitung kleiner 00 ist hat man ein Maximum berechnet.

Die 1.1. Ableitung lautet: D(u)=4u+8D'(u)=-4u+8
Bestimme die Nullstellen von D(u)D'(u).
D(u)=04u+8=04u=8u=2\displaystyle \begin{array}{rcl}D'(u)&=&0\\-4u+8&=&0 \\-4u&=&-8 \\ u&=&2 \end{array}

Die 2.2. Ableitung lautet: D(u)=4<0D''(u)=-4\lt 0.

D(u)D''(u) ist also für jedes uu aus dem Definitionsbereich <0\lt0 und somit auch bei D(2)<0D''(2)<0.

D(u)D(u) hat also ein lokales Maximum bei u=2u=2.

Berechnet man D(2)D(2), so erhält man die maximale Länge der Strecke PQ\overline{PQ}.
D(2)=(2)22+82+1=8+16+1=9\displaystyle D(2)=(-2)\cdot2^2+8\cdot 2+1 = -8+16+1=9
Antwort: An der Stelle x=u=2x=u=2 liegt ein Maximum vor.
Die längste Strecke PQ\overline{PQ} hat die Länge 9LE9 LE (Längeneinheiten).
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