Aufgaben zu Extremwertproblemen im Koordinatensystem

Hier findest du Aufgaben zu Extremwertproblemen im Koordinatensystem. Lerne, Extremwertprobleme mit graphischer Darstellung zu lösen!

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Ein Punkt $P(x_P|y_P)$ gleite auf der Strecke $[AB]$ mit $A(0|6)$ und $B(4|0)$ .
Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.
Für welchen Punkt $P$ hat das Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser?
Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.
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Von einer Parabel sind der Scheitelpunkt $S(2\text{,}5\ \vert\ 12\text{,}5)$ und eine Nullstelle $x = 5$ bekannt. Eine Gerade schneidet die $y$ - Achse bei $y = -1$ und geht durch den Punkt $R(3\ \vert\ 5)$ .
$a)$ Bestimme den Funktionsterm $f(x)$ zur Parabel und den Funktionsterm $g(x)$ zur Geraden.
$b)$ Die Gerade $x = u$ $(0\leq u\leq 4)$ schneidet die Parabel (Graph zu $f(x)$ ) im Punkt $P$ und die Gerade $g(x)$ im Punkt $Q$ .
Für welches $u$ ist die Strecke $\overline{PQ}$ maximal?
Abb. 1
Parabel $f(x)$ , Gerade $g(x)$
und Gerade $x =u$
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Gegeben sind die beiden Parabeln mit den Funktionsgleichungen
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=4-\mathrm{x}^2$ und $\mathrm g(\mathrm x)=\left(\mathrm x-2\right)^2-6$
1. Zeichne die beiden Graphen sauber in ein Koordinatensystem
2. Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln
3. Zeichnet man im Bereich $-1<x<3$ senkrechte Verbindungsstrecken von der oberen zur unteren Parabel, so haben diese Strecken unterschiedliche Längen.
  Bestimme die Strecke mit der größten Länge! Zeichne diese Strecke in dein Bild ein!
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Das Bild zeigt eine Gerade $g$ und eine Parabel $p$ .
1. Bestimme von Gerade und Parabel jeweils die Funktionsgleichung. Berechne dann die Schnittpunkte der beiden Graphen.
2. Gib die Koordinaten eines Punktes $P$ auf der Parabel nur in Abhängigkeit von ${\mathrm x}_\mathrm p$ an. Zeichnet man für $0 < x_p < 6$ zwischen dem Punkt $P$ und der Geraden $g$ zur y-Achse parallele Strecken, so sind diese Strecken unterschiedlich lang. Bestimme unter diesen Strecken die längste.

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