Für das gleichschenklige Dreieck mit der Spitze $PP$ gilt:

Grundlinie = $2\cdot x_{P}2\backslash cdot\; x\_P$

Höhe = $y_{P}y\_P$

Für die Dreiecksfläche ergibt sich also:

$A_{Dreieck}=x_P\cdot y_{P}A\_\{Dreieck\}=x\_P\backslash cdot\; y\_P$

Gib die Zielfunktion und die Nebenbedingung für die Extremumsaufagbe an.

Zielfunktion

${\displaystyle A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P}\backslash displaystyle\; A\_\{Dreieck\}=x\_P\backslash cdot\; y\_P$

Nebenbedingung

Der Punkt $P(x_P\mathrm{\mid }{y}_P)P(x\_P|y\_P)$ liegt auf der Strecke $[AB][AB]$.

Ermittle die Geradengleichung $ABAB$.

allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:

$\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{m}\mathrm{x}+\mathrm{t}\backslash mathrm\; g(\backslash mathrm\; x)=\backslash mathrm\{mx\}+\backslash mathrm\; t$

Bestimme den y-Achsenabschnitt $tt$, indem du abliest, wo der Graph die y-Achse schneidet.

$\Rightarrow \mathrm{t}=6\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash mathrm\; t=6$

Bestimme die Steigung m, indem du ein Steigungsdreieck benutzt:

Gehe von irgendeinem Geradenpunkt $1LE1\backslash ,LE$ nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.

$\Rightarrow \mathrm{m}=-\mathrm{1,5}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash mathrm\; m=-1\{,\}5$

Setze die Werte $mm$ und $tt$ in die Funktionsgleichung ein.

$\Rightarrow \mathrm{g}(\mathrm{x})=-\mathrm{1,5}\mathrm{x}+6\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash mathrm\; g(\backslash mathrm\; x)=-1\{,\}5\backslash mathrm\; x+6$

Gib noch den Definitionsbereich $D_{g}D\_g$ an, mit dem die Gerade $gg$ auf die Strecke $[AB][AB]$ begrenzt wird.

$D_g=[0;4]D\_g=[0;4]$

Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt $P(x_P\mathrm{\mid }{y}_P)P(x\_P|y\_P)$ an.

Nebenbedingung

$y_P=-\mathrm{1,5}\cdot x_P+6y\_P=-1\{,\}5\backslash cdot\; x\_P+6$

Zielfunktion

$A(x_P;y_P)=x_P\cdot y_{P}A(x\_P;y\_P)=x\_P\backslash cdot\; y\_P$

Setze $y_{P}y\_P$ der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

$A(x_P)=-\mathrm{1,5}\cdot x_P^2+6\cdot x_{P}A(x\_P)=-1\{,\}5\backslash cdot\; x\_P^2+6\backslash cdot\; x\_P$

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.

Ihr Maximum lässt sich über die Scheitelform durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow \mathrm{S}\left(2\mid 6\right)\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash mathrm\; S\backslash left(2\backslash ;\backslash left|\backslash ;6\backslash right.\backslash right)$

Gib die Bedeutung der Koordinaten des Scheitelpunktes an.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$ Bei ${\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}=2\{\backslash mathrm\; x\}\_\backslash mathrm\; p=2$ ist der Flächeninhalt $6\text{LE}6\backslash ,\backslash text\{LE\}$ und dies ist der gesuchte größtmögliche Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.

Bestimme aus der Nebenbedingung den y-Wert des Punktes $PP$.

${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}=-\mathrm{1,5}\cdot 2+6=3\{\backslash mathrm\; y\}\_\backslash mathrm\; p=-1\{,\}5\backslash cdot2+6=3$

Gib den gesuchten Punkt $PP$ und den maximalen Flächeninhalt in einem Antwortsatz an.

Für den Punkt $\mathrm{P}\left(2\mid 3\right)\backslash mathrm\; P\backslash left(\backslash left.2\backslash ;\backslash right|\backslash ;3\backslash right)$ ist der Flächeninhalt des darunterliegenden Dreiecks maximal und er beträgt $6\mathrm{F}\mathrm{E}6\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Setze $A^{\mathrm{\prime }}(x_P)A\text{'}(x\_P)$ gleich Null und löse nach $x_{P}x\_P$ auf.

Setze den Wert in $A(x_P)A(x\_P)$ und in die Nebenbedingung $y=-\mathrm{1,5}\cdot x_P+6y=-1\{,\}5\backslash cdot\; x\_P+6$ ein und du hast die Lösung der Aufgabe.