Aufgaben zu Extremwertproblemen im Koordinatensystem

Von einer Parabel sind der Scheitelpunkt $S(2\text{,}5\ \vert\ 12\text{,}5)$ und eine Nullstelle $x = 5$ bekannt. Eine Gerade schneidet die $y$ - Achse bei $y = -1$ und geht durch den Punkt $R(3\ \vert\ 5)$ .

$a)$ Bestimme den Funktionsterm $f(x)$ zur Parabel und den Funktionsterm $g(x)$ zur Geraden.

$b)$ Die Gerade $x = u$ $(0\leq u\leq 4)$ schneidet die Parabel (Graph zu $f(x)$ ) im Punkt $P$ und die Gerade $g(x)$ im Punkt $Q$ .

Für welches $u$ ist die Strecke $\overline{PQ}$ maximal?

Abb. 1

Parabel $f(x)$ , Gerade $g(x)$

und Gerade $x =u$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum

Lösung Teilaufgabe a)

Bestimmen der Funktionsgleichung von f

Aus der Aufgabenstellung kannst du bereits die wichtigsten Daten herauslesen, um die Funktionsgleichung von $f$ zu berechnen.

Der Graph von $f$ ist eine Parabel, also ist $f$ eine quadratische Funktion
Der Scheitel der Parabel liegt bei $S(2{,}5\vert 12{,}5)$ .
Die Funktionsgleichung hat eine Nullstelle bei $x=5$ .

Da $f$ eine qudratische Funktion ist und dessen Scheitel gegeben ist, kannst du hilft dir die Scheitelpunktsform $f$ zu bestimmen:

Die Funktion $f$ hat die Form: $f(x)=a(x-d)^2+e$ , wobei der Scheitelpunkt bei $S(d\vert e)$ liegt.

Da der Scheitel laut Angabe bei $S(2{,}5\vert 12{,}5)$ liegt, ist in dieser Aufgabe $d=2{,}5$ und $e=12{,}5$ .

Setze nun $d$ und $e$ in die Funktionsgleichung ein:

\displaystyle f(x)= a(x-d)^2+e=a⋅(x−2{,}5)^2+12{,}5

Nun haben wir eine Funktionsgleichung gefunden, die einen Scheitel bei $S(2{,}5\vert 12{,}5)$ hat. Der Öffnungsfaktor $a$ der Parabel fehlt noch. Hier hilft dir die Angabe der Nullstelle, um $a$ (und dadurch auch $f$ ) eindeutig zu bestimmen.

Da $x=5$ eine Nullstelle ist, ist $f(5)=0$ . Setze $x=5$ in $f$ ein und löse nach $a$ auf:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f(5)&=&0\\a\cdot(5-2{,}5)^2+12{,}5&=&0\\6{,}25a+12{,}5&=&0\\6{,}25a&=&-12{,}5\end{array}$

$\Rightarrow a =-\dfrac{12{,}5}{6{,}25}=-2$

$\Rightarrow f(x) = -2(x-2{,}5)^2 +12{,}5$

Wenn du willst, kannst du $f(x)$ nun noch ausmultiplizieren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f(x)&=&-2(x^2-5x+6{,}25)+12{,}5\\&=&-2x^2+10x-12{,}5+12{,}5\\&=&-2x^2+10x\end{array}$

Bestimmen der Funktionsgleichung für g

Aus der Angabe kannst du folgende Daten zu $g$ herauslesen:

$g$ ist eine Gerade.
$g$ schneidet die $y$ -Achse bei $y=-1$ .
Der Punkt $R(3\vert 5)$ liegt auf $g$ .

Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion und hat im allgemeinen die Form $g(x)=mx+t$ .

$m$ bezeichnet die Steigung der Geraden und $t$ den $y$ -Achsenanschnitt, also bei welchem $y$ -Wert die Gerade die $y$ -Achse schneidet.

Da der $g$ die $y$ -Achse bei $y=-1$ schneidet ist $t=-1$ und du bekommst $g(x)=mx-1$ als erstes Ergebnis.

Setzt man nun den Punkt $R(3\vert5)$ in $g(x)$ ein, kann die Steigung $m$ berechnet werden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g(x)&=&mx-1\\5&=&m\cdot 3-1\\ 6&=&3\cdot m\\ m&=&2\end{array}$

$\Rightarrow g(x) =2x-1$

Antwort: Die gesuchten Funktionsgleichungen für die Parabel und die Gerade lauten: $f(x)=-2x^2+10x$ und $g(x) = 2x-1$ .

Lösung Teilaufgabe b)

Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ soll maximal werden.

$\overline{PQ}$ ist die Differenz der Funktionswerte $f(u)$ und $g(u)$ also $f(u) – g(u)$

Die Zielfunktion lautet also:

\displaystyle f(x)= a(x-d)^2+e=a⋅(x−2{,}5)^2+12{,}5

$D(u)$ ist eine quadratische Funktion in Abhängigkeit von $u$ .

Setze $f(u)$ und $g(u)$ in $D(u)$ ein und löse soweit wie möglich auf:

$D(u) = (-2u^2+10u) -(2u-1) = -2u^2+8u+1$

Von dieser Funktion soll das Maximum bestimmt werden. Dies kannst du auf folgende zwei Arten machen:

i) mit Scheitelpunktsbestimmung und mit dem Wissen über quadratische Funktionen

ii) mit der Ableitung .

i) Lösen mit Hilfe der Scheitelpunktsbestimmung und dem Wissen über quadratische Funktionen

$D(u) = -2u^2+8u+1$

Der Koeffizient vor dem $x^2$ ist negativ , somit handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel.

Der Scheitelpunkt ist daher ein Maximum.

Du kannst nun den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung ermitteln.

Klammere zuerst $(-2)$ aus:

\displaystyle f(x)= a(x-d)^2+e=a⋅(x−2{,}5)^2+12{,}5

Der gemischte Term in der Klammer ist $- 4u$ , d.h. du musst eine quadratische Ergänzung mit $\left(\dfrac{4}{2}\right)^2=2^2$ machen.

Addiere in der Klammer $2^2$ und subtrahiere diesen Term gleich wieder:

\displaystyle f(x)= a(x-d)^2+e=a⋅(x−2{,}5)^2+12{,}5

Fasse die ersten drei Terme in der Klammer mit Hilfe der 2. binomischen Formel zusammen:

\displaystyle f(x)= a(x-d)^2+e=a⋅(x−2{,}5)^2+12{,}5

Löse die Klammer wieder auf:

\displaystyle f(x)= a(x-d)^2+e=a⋅(x−2{,}5)^2+12{,}5

Lies den Scheitelpunkt ab:

\displaystyle f(x)= a(x-d)^2+e=a⋅(x−2{,}5)^2+12{,}5

Antwort: An der Stelle $x=u=2$ liegt ein Maximum vor. Die längste Strecke $\overline{PQ}$ hat die Länge $9 LE$ (Längeneinheiten).

ii) Lösen mit der Ableitung

$D(u) = -2u^2+8u+1$

Die Nullstellen der 1. Ableitung von $D(u)$ sind mögliche Maximalstellen. Wenn zudem die 2. Ableitung kleiner $0$ ist hat man ein Maximum berechnet.

Die $1.$ Ableitung lautet: $D'(u)=-4u+8$

Bestimme die Nullstellen von $D'(u)$ .

\displaystyle f(x)= a(x-d)^2+e=a⋅(x−2{,}5)^2+12{,}5

Die $2.$ Ableitung lautet: $D''(u)=-4\lt 0$ .

$D''(u)$ ist also für jedes $u$ aus dem Definitionsbereich $\lt0$ und somit auch bei $D''(2)<0$ .

$D(u)$ hat also ein lokales Maximum bei $u=2$ .

Berechnet man $D(2)$ , so erhält man die maximale Länge der Strecke $\overline{PQ}$ .

\displaystyle f(x)= a(x-d)^2+e=a⋅(x−2{,}5)^2+12{,}5

Antwort: An der Stelle $x=u=2$ liegt ein Maximum vor.

Die längste Strecke $\overline{PQ}$ hat die Länge $9 LE$ (Längeneinheiten).

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