Aufgaben zum Thema Ereignisse

$\Omega=\left\{1k;\;2k;\;3k;\;4k;\;5k;\;6k;\;1w;\;2w;\;3w;\;4w;\;5w;\;6w\right\}$,

dabei steht $k$ für Kopf und $w$ für Wappen.

Die Mächtigkeit kannst du bestimmen, indem du nachzählst wie viele Elemente im Ergebnisraum sind.

$\left|\Omega\right|=12$

Unter den Zahlen, die auf einem Würfel zu sehen sind, gibt es die Primzahlen $2$, $3$ und $5$. Das Ereignis E sieht dann also so aus:

$E=\left\{2k;\;3k;\;5k\right\}$

$F=\left\{1z;\;3z;\;5z;\;1k;\;2k;\;3k;\;4k;\;5k;\;6k\right\}$

A = {rrrsssr; rrsrssr; rssrsr; rrsssrr; rsrrssr; rsrsrsr; rsrssrr; rssrrsr; rssrsrr; rsssrrr; srrrssr; srrsrsr; srrssrr; srsrrsr; srsrsrr; srssrrr; ssrrrsr; ssrrsrr; ssrsrrr; sssrrrr}

B = {rrrrsss; rrrsrss; rrsrrss; rsrrrss; srrrrss}

$\Rightarrow$   Die beiden Ereignisse sind unvereinbar, weil bei Ereignis $B$ unter den ersten 5 Zügen schon 4 mal eine rote Kugel dabei sein muss und bei Ereignis $A$ soll erst beim 7. Zug die vierte rote Kugel erscheinen.

Für die Formulierung eines Ereignisses in Worten gibt es oft mehrere Möglichkeiten.

Alternativ:

$\overline B$  in Worten

Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmenge.

$E = \overline{(A \cup B \cup C)} \cup (A \cap (\overline{B} \cap \overline{C})) \cup (B \cap (\overline{C} \cap \overline{A})) \cup (C \cap (\overline{A} \cap \overline{B}))$

Entweder es tritt keines der 3 Ereignisse auf,oder nur eins der drei Ereignisse.

Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmenge.

$E = (A \cap (\overline{B} \cap \overline{C})) \cup (B \cap (\overline{C} \cap \overline{A})) \cup (C \cap (\overline{A} \cap \overline{B}))\cup\overline{(A \cup B \cup C)}$

Entweder es tritt nur eins oder keins der drei Ereignisse ein.

Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmengen.

$E = (A \cap B \cap \overline C) \cup (A \cap C \cap \overline B ) \cup (B \cap C \cap \overline A ) \cup ( A \cap B \cap C )$

Entweder es treten nur zwei Ereignisse ein oder auch alle drei Ereignisse.

Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmengen.

$E = A \cap B \cap C$

Alle Ereignisse treten ein, wenn das Ergebnis des Experiments in der Schnittmenge aller drei Ereignisse liegt.

Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.

Schnittmenge

$A \cap B = \{2{,}9\}$

Die Zahlen 2 und 9 sind in beiden Mengen enthalten.

Vereinigungsmenge

$A \cup B = \{2{,}3,6{,}7,8{,}9\}$

Die Vereinigungsmenge enthält alle Zahlen, die in einer der beiden Mengen enthalten sind.

Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.

Schnittmenge

$A \cap B = \{\text{Mango, Banane, Kirsche} \}$

Beide Mengen enthalten diese drei Früchte.

Vereinigungsmenge

$A \cup B = \{\text{Apfel, Banane, Mango, Kirsche, Pfirsich} \}$

Die Vereinigungsmenge enthält alle Früchte, die in einer der beiden Mengen enthalten sind.

Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.

Schnittmenge

$A \cap B \cap C = \{2{,}8\}$

Alle drei Mengen enthalten die Zahlen 2 und 8.

Vereinigungsmenge

$A \cup B\cup C = \{2{,}3,4{,}5,6{,}7,8{,}10{,}14\}$

Die Vereinigungsmenge enthält alle Zahlen, die in einer der Mengen enthalten sind.

Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.

Schnittmenge

$A \cap B \cap C \cap D = \{Kuchen, Brot\}$

Kuchen und Brot sind in jeder Menge enthalten.

Vereinigungsmenge

$A \cup B \cup C \cup D = \{\text{Kuchen, Brot, Muffin, Breze, Semmel, Plätzchen, Torte} \}$

Die Vereinigungsmenge enthält alles, was in mindestens einer der vier Mengen enthalten ist.

Diese Aufgabe lässt sich leichter mithilfe des Gegenereignisses lösen. Das Gegenereignis lautet:

$\overline{A}:$ "Es werden 2 blaue Kugeln gezogen." oder auch $\overline{A}=\left\{\left(b,b\right)\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu: $P\left(\overline{A}\right)=\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{30}$.

Damit ist die Wahrscheinlichkeit von $A$:

$P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{2}{30}=\frac{28}{30}\approx0{,}9333=93{,}33\ \%$

Diese Aufgabe lässt sich leichter mithilfe des Gegenereignisses lösen. Das Gegenereignis lautet:

$\overline{B}:$ "Es werden gleichfarbige Kugeln gezogen." oder $\overline{B}=\left\{\left(g,g\right);\left(b,b\right)\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu: $P\left(\overline{B}\right)=\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{6}{30}+\frac{2}{30}=\frac{8}{30}$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit von $B$:

$P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=1-\frac{8}{30}=\frac{22}{30}\approx0{,}7333=73{,}33\ \%$

Diese Aufgabe lässt sich leichter mithilfe des Gegenereignisses lösen. Das Gegenereignis lautet:

$\overline{C}:$ "Es werden zwei grüne Kugeln gezogen." oder auch $\overline{C}=\left\{\left(g,g\right)\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu: $P\left(\overline{C}\right)=\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{30}$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit von $C$:

$P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)=1-\frac{6}{30}=\frac{24}{30}=0{,}8\ =80\ \%$

Das Ereignis $A$ ist in Mengenschreibweise formuliert: $A=\left\{2{,}4,6\right\}$

Das Gegenereignis $\overline{A}=\left\{1{,}3,5\right\}$ vervollständigt $A$ zum Ergebnisraum $\Omega.$

In Worten formuliert: $\overline{A}:$ "Es wird eine ungerade Augenzahl geworfen."

Das Ereignis $B$ ist in Mengenschreibweise formuliert: $B=\left\{1{,}2,3{,}4\right\}$

Das Gegenereignis $\overline{B}=\left\{5{,}6\right\}$ vervollständigt $B$ zum Ergebnisraum $\Omega.$

In Worten formuliert: $\overline{B}:$ "Es wird eine $5$ oder $6$ gewürfelt."

Alternativ: $\overline{B}:$ "Es wird mindestens eine $5$ gewürfelt."

Das Ereignis $C$ ist in Mengenschreibweise formuliert: $C=\left\{3{,}4,5{,}6\right\}$

Das Gegenereignis $\overline{C}=\left\{1{,}2\right\}$ vervollständigt $C$ zum Ergebnisraum $\Omega.$

In Worten formuliert: $\overline{C}:$ "Es wird höchstens eine $2$ gewürfelt."

Alternativ: $\overline{C}:$ "Es wird eine $1$ oder $2$ gewürfelt."

Das Ereignis $A$ lautet in Mengenschreibweise $A=\left\{0{,}1,...,12\right\}$. Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\Omega$ benötigt werden:

In Worten formuliert: $\overline{A}:$ "Es werden mindestens $13$ Produkte fehlerhaft produziert."

Das Ereignis $B$ lautet in Mengenschreibweise $B=\left\{6{,}7,...,30\right\}$. Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\Omega$ benötigt werden:

In Worten formuliert: $\overline{B}:$ "Es werden höchstens $5$ Produkte fehlerhaft produziert."

Das Ereignis $C$ lautet in Mengenschreibweise $C=\left\{9{,}10,...,15\right\}$. Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\Omega$ benötigt werden:

In Worten formuliert: $\overline{C}:$ "Es werden höchstens $8$ und mindestens $16$ Produkte fehlerhaft hergestellt."

Das Ereignis $D$ lautet in Mengenschreibweise $D=\left\{5{,}6,...,30\right\}$. Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\Omega$ benötigt werden:

In Worten formuliert: $\overline{D}:$ "Es werden höchstens $4$ Produkte fehlerhaft hergestellt."

Alternativ: $\overline{D}:$ "Es werden weniger als $5$ Produkte fehlerhaft produziert."

Das Ereignis $E$ lautet in Mengenschreibweise $E=\left\{0{,}1,...,23\right\}$. Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\Omega$ benötigt werden:

In Worten formuliert: $\overline{E}:$ "Es werden mindestens $24$ Produkte fehlerhaft hergestellt."

Alternativ: $\overline{E}:$ "Es werden mehr als $23$ Produkte fehlerhaft produziert."