Aufgaben zum Thema Ereignisse

1
Gib das Ereignis $E$ : "Augenzahl größer als 3" bei einem Würfelwurf in Mengenschreibweise an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ereignisse
Es handelt sich um die Menge aller Elementarereignisse, bei denen der Würfel strikt mehr als 3 Punkte anzeigt - also mindestens 4:
$E=\;\left\{4;\;5;\;6\right\}$
2
Ein Würfel und eine Münze werden gleichzeitig geworfen. Wie lautet
1. der Ergebnisraum $\Omega$ und seine Mächtigkeit $\left|\Omega\right|$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum
  $\Omega=\left\{1k;\;2k;\;3k;\;4k;\;5k;\;6k;\;1w;\;2w;\;3w;\;4w;\;5w;\;6w\right\}$ ,
  dabei steht $k$ für Kopf und $w$ für Wappen.
  Die Mächtigkeit kannst du bestimmen, indem du nachzählst wie viele Elemente im Ergebnisraum sind.
  $\left|\Omega\right|=12$
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2. das Ereignis $E$ : "Primzahl beim Würfelwurf und Kopf beim Münzwurf"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ereignisse
  Unter den Zahlen, die auf einem Würfel zu sehen sind, gibt es die Primzahlen $2$ , $3$ und $5$ . Das Ereignis E sieht dann also so aus:
  $E=\left\{2k;\;3k;\;5k\right\}$
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3. das Ereignis $F$ : "ungerade Zahl beim Würfelwurf oder Kopf beim Münzwurf"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ereignisse
  $F=\left\{1z;\;3z;\;5z;\;1k;\;2k;\;3k;\;4k;\;5k;\;6k\right\}$
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3
Eine Familie hat 5 Kinder, die entweder Junge (m) oder Mädchen (w) sind. Beschreibe folgende Ereignisse unter der Annahme, dass die Kinder nur hinsichtlich des Geschlechts unterschieden werden:
A: "Höchstens eines der Kinder ist ein Junge"
B: "Es ist mindestens ein Junge darunter"
C: "Das älteste und das jüngste Kind sind Jungen"
D: "Alle fünf sind Jungen"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ereignisse
A: Entweder ist kein Junge oder nur ein Junge dabei.
$A=\left\{\left(wwwww\right);\left(wwwwm\right)\right\}$
B: Entweder es ist nur ein Junge dabei, oder zwei, oder drei, oder vier, oder fünf Jungs.
$B=\left\{\left(mwwww\right);\left(mmwww\right);\left(mmmww\right);\left(mmmmw\right);\left(mmmmm\right)\right\}$
C: Da das Alter der Kinder nicht unterschieden wird, müssen nur mindestens zwei Jungs dabei sein. Es können aber auch mehr Jungs unter den 5 Kindern sein.
$C=\left\{\left(mmwww\right);\left(mmmww\right);\left(mmmmw\right);\left(mmmmm\right)\right\}$
D: Es darf kein Mädchen unter den Kindern sein.
$D=\left\{mmmmm\right\}$
4
In einer Urne befinden sich 7 Kugeln, 4 rote und 3 schwarze. Alle Kugeln werden ohne Zurücklegen nacheinander gezogen.
A: "Beim siebten Zug erscheint die 4. rote Kugel"
B: "Bis einschließlich zum fünften Zug wird höchstens eine schwarze Kugel gezogen"
1. Gib die Ereignisse in Mengenschreibweise an und begründe damit, dass sie unvereinbar sind.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ereignisse
  $r$ steht für rot, $s$ steht für schwarz
  A = {rrrsssr; rrsrssr; rssrsr; rrsssrr; rsrrssr; rsrsrsr; rsrssrr; rssrrsr; rssrsrr; rsssrrr; srrrssr; srrsrsr; srrssrr; srsrrsr; srsrsrr; srssrrr; ssrrrsr; ssrrsrr; ssrsrrr; sssrrrr}
  B = {rrrrsss; rrrsrss; rrsrrss; rsrrrss; srrrrss}
  $\Rightarrow$ Die beiden Ereignisse sind unvereinbar, weil bei Ereignis $B$ unter den ersten 5 Zügen schon 4 mal eine rote Kugel dabei sein muss und bei Ereignis $A$ soll erst beim 7. Zug die vierte rote Kugel erscheinen.
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2. Formuliere die Gegenereignisse $\overline A$ und $\overline B$ mit Worten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ereignis
  Für die Formulierung eines Ereignisses in Worten gibt es oft mehrere Möglichkeiten.
  $\overline A$ in Worten
  $\overline A$ : "Beim siebten Zug erscheint die dritte schwarze Kugel"
  in Worten: Wenn beim siebten Zug die dritte schwarze Kugel kommt, dann müssen vor dem 7. Zug schon 4 rote Kugeln gezogen worden sein.
  Alternativ:
  Wenn beim 7. Zug die vierte schwarze Kugel gezogen wird, dann sind bis dahin nur 3 rote Kugeln gezogen worden.
  $\overline B$ in Worten
  $\overline B$ : "Bis einschließlich zum fünften Zug werden mindestens 2 schwarze Kugeln gezogen"
  In Worten: Das Ereignis B kann nicht eintreten, wenn bis zum 5. Zug schon 2 schwarze Kugeln gezogen wurden.
  Alternativ:
  Wenn bis zum 5. Zug 5 rote und keine schwarze Kugel gezogen wurden, kann Ereignis B nicht mehr eintreten.
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5
Stelle folgende Beziehungen der Ereignisse A, B und C in der Mengenschreibweise dar.
1. Höchstens ein Ereignis tritt ein
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
  Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmenge.
  $E = \overline{(A \cup B \cup C)} \cup (A \cap (\overline{B} \cap \overline{C})) \cup (B \cap (\overline{C} \cap \overline{A})) \cup (C \cap (\overline{A} \cap \overline{B}))$
  Entweder es tritt keines der 3 Ereignisse auf,oder nur eins der drei Ereignisse.
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2. mindestens zwei Ereignisse treten nicht ein
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
  Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmenge.
  $E = (A \cap (\overline{B} \cap \overline{C})) \cup (B \cap (\overline{C} \cap \overline{A})) \cup (C \cap (\overline{A} \cap \overline{B}))\cup\overline{(A \cup B \cup C)}$
  Entweder es tritt nur eins oder keins der drei Ereignisse ein.
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3. mindestens zwei Ereignisse treten ein
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
  Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmengen.
  $E = (A \cap B \cap \overline C) \cup (A \cap C \cap \overline B ) \cup (B \cap C \cap \overline A ) \cup ( A \cap B \cap C )$
  Entweder es treten nur zwei Ereignisse ein oder auch alle drei Ereignisse.
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4. alle drei treten ein
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
  Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmengen.
  $E = A \cap B \cap C$
  Alle Ereignisse treten ein, wenn das Ergebnis des Experiments in der Schnittmenge aller drei Ereignisse liegt.
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6
Gib die Schnittmenge und Vereinigungsmenge an!
1. $A = \{2{,}3,6{,}9\}$ $B = \{2{,}7,8{,}9\}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
  Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.
  Schnittmenge
  $A \cap B = \{2{,}9\}$
  Die Zahlen 2 und 9 sind in beiden Mengen enthalten.
  Vereinigungsmenge
  $A \cup B = \{2{,}3,6{,}7,8{,}9\}$
  Die Vereinigungsmenge enthält alle Zahlen, die in einer der beiden Mengen enthalten sind.
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2. $A = \{\text{Apfel, Banane, Mango, Kirsche, Pfirsich} \}$ $B = \{ \text{Mango, Kirsche, Banane} \}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
  Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.
  Schnittmenge
  $A \cap B = \{\text{Mango, Banane, Kirsche} \}$
  Beide Mengen enthalten diese drei Früchte.
  Vereinigungsmenge
  $A \cup B = \{\text{Apfel, Banane, Mango, Kirsche, Pfirsich} \}$
  Die Vereinigungsmenge enthält alle Früchte, die in einer der beiden Mengen enthalten sind.
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3. $A = \{2{,}4,6{,}8,10{,}14\}$
  $B = \{2{,}3,4{,}5,6{,}7,8\}$ $C = \{2{,}7,8{,}10\}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
  Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.
  Schnittmenge
  $A \cap B \cap C = \{2{,}8\}$
  Alle drei Mengen enthalten die Zahlen 2 und 8.
  Vereinigungsmenge
  $A \cup B\cup C = \{2{,}3,4{,}5,6{,}7,8{,}10{,}14\}$
  Die Vereinigungsmenge enthält alle Zahlen, die in einer der Mengen enthalten sind.
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4. $A= \{\text{Muffin, Kuchen, Brot}\}$ $B = \{\text{Kuchen, Torte, Plätzchen, Brot}\}$ $C =\{\text{Kuchen, Breze, Semmel, Brot}\}$ $D= \{\text{Kuchen, Brot, Torte, Muffin}\}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
  Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.
  Schnittmenge
  $A \cap B \cap C \cap D = \{Kuchen, Brot\}$
  Kuchen und Brot sind in jeder Menge enthalten.
  Vereinigungsmenge
  $A \cup B \cup C \cup D = \{\text{Kuchen, Brot, Muffin, Breze, Semmel, Plätzchen, Torte} \}$
  Die Vereinigungsmenge enthält alles, was in mindestens einer der vier Mengen enthalten ist.
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7
Ziehung aus einer Urne
Aus der Urne im Bild werden zwei Kugeln gezogen, ohne dass sie zurückgelegt werden.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse. Gib das Ergebnis als Bruch, wie "3/8" an oder als Prozentangabe.
1. $A :$ "Es wird höchstens eine blaue Kugel gezogen."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Diese Aufgabe lässt sich leichter mithilfe des Gegenereignisses lösen. Das Gegenereignis lautet:
  $\overline{A}:$ "Es werden 2 blaue Kugeln gezogen." oder auch $\overline{A}=\left\{\left(b,b\right)\right\}$
  Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu: $P\left(\overline{A}\right)=\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{30}$ .
  Damit ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ :
  $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{2}{30}=\frac{28}{30}\approx0{,}9333=93{,}33\ \%$
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  Stelle das Gegenereignis $\overline{A}$ auf und berechne die Wahrscheinlichkeit. Falls es hilft, skizziere ein Baumdiagramm, um die Rechnung aufzustellen.
2. $B :$ "Es werden verschiedenfarbige Kugeln gezogen."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Diese Aufgabe lässt sich leichter mithilfe des Gegenereignisses lösen. Das Gegenereignis lautet:
  $\overline{B}:$ "Es werden gleichfarbige Kugeln gezogen." oder $\overline{B}=\left\{\left(g,g\right);\left(b,b\right)\right\}$
  Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu: $P\left(\overline{B}\right)=\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{6}{30}+\frac{2}{30}=\frac{8}{30}$
  Damit ist die Wahrscheinlichkeit von $B$ :
  $P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=1-\frac{8}{30}=\frac{22}{30}\approx0{,}7333=73{,}33\ \%$
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  Stelle das Gegenereignis $\overline{B}$ auf und berechne die Wahrscheinlichkeit. Falls es hilft, skizziere ein Baumdiagramm, um die Rechnung aufzustellen.
3. $C :$ "Es wird höchstens eine grüne Kugel gezogen."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Diese Aufgabe lässt sich leichter mithilfe des Gegenereignisses lösen. Das Gegenereignis lautet:
  $\overline{C}:$ "Es werden zwei grüne Kugeln gezogen." oder auch $\overline{C}=\left\{\left(g,g\right)\right\}$
  Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu: $P\left(\overline{C}\right)=\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{30}$
  Damit ist die Wahrscheinlichkeit von $C$ :
  $P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)=1-\frac{6}{30}=\frac{24}{30}=0{,}8\ =80\ \%$
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  Stelle das Gegenereignis $\overline{C}$ auf und berechne die Wahrscheinlichkeit. Falls es hilft, skizziere ein Baumdiagramm, um die Rechnung aufzustellen.
8
Die Würfel sind gefallen
Beim Werfen eines 6-seitigen Würfels können die Zahlen $\Omega=\left\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\right\}$ erzielt werden.
Es werden verschiedene Ereignisse formuliert. Gib jeweils das Gegenereignis in Mengenschreibweise und die Wortformulierung an.
1. $A :$ "Es wird eine gerade Augenzahl geworfen."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Das Ereignis $A$ ist in Mengenschreibweise formuliert: $A=\left\{2{,}4,6\right\}$
  Das Gegenereignis $\overline{A}=\left\{1{,}3,5\right\}$ vervollständigt $A$ zum Ergebnisraum $\Omega.$
  In Worten formuliert: $\overline{A}:$ "Es wird eine ungerade Augenzahl geworfen."
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  Alle Ereignisse zusammengenommen ergeben den Ergebnisraum $\Omega=\left\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\right\}$ . Überlege dir, welche Elementarergebnisse in $A$ noch fehlen, um $\Omega_{ }$ zu erhalten.
2. $B :$ "Es wird eine $1,2, 3$ oder 4 geworfen."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Das Ereignis $B$ ist in Mengenschreibweise formuliert: $B=\left\{1{,}2,3{,}4\right\}$
  Das Gegenereignis $\overline{B}=\left\{5{,}6\right\}$ vervollständigt $B$ zum Ergebnisraum $\Omega.$
  In Worten formuliert: $\overline{B}:$ "Es wird eine $5$ oder $6$ gewürfelt."
  Alternativ: $\overline{B}:$ "Es wird mindestens eine $5$ gewürfelt."
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  Alle Ereignisse zusammengenommen ergeben den Ergebnisraum $\Omega=\left\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\right\}$ . Überlege dir, welche Elementarergebnisse in $B$ noch fehlen, um $\Omega_{ }$ zu erhalten.
3. $C :$ "Es wird mindestens eine $3$ geworfen."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Das Ereignis $C$ ist in Mengenschreibweise formuliert: $C=\left\{3{,}4,5{,}6\right\}$
  Das Gegenereignis $\overline{C}=\left\{1{,}2\right\}$ vervollständigt $C$ zum Ergebnisraum $\Omega.$
  In Worten formuliert: $\overline{C}:$ "Es wird höchstens eine $2$ gewürfelt."
  Alternativ: $\overline{C}:$ "Es wird eine $1$ oder $2$ gewürfelt."
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  Alle Ereignisse zusammengenommen ergeben den Ergebnisraum $\Omega=\left\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\right\}$ . Überlege dir, welche Elementarergebnisse in $C$ noch fehlen, um $\Omega_{ }$ zu erhalten.
9
Produktionsfehler
In einer Firma werden häufig fehlerhafte Produkte hergestellt. Eine Charge von $n = 30$ Produkten kann einige Fehler aufweisen.
Gib zu den Ereignissen das jeweilige Gegenereignis an. Verwende dabei die Mengenschreibweise und auch die Wortformulierung.
1. $A :$ "Es sind höchstens $12$ Produkte fehlerhaft."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Das Ereignis $A$ lautet in Mengenschreibweise $A=\left\{0{,}1,...,12\right\}$ . Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\Omega$ benötigt werden:
  $\displaystyle \overline{A}=\left\{13{,}14,...,30\right\}$
  In Worten formuliert: $\overline{A}:$ "Es werden mindestens $13$ Produkte fehlerhaft produziert."
  BeachteFormulierung "höchstens"
  "Höchstens" $12$ schließt die $12$ als Ergebnis mit ein. Im Gegenereignis geht es deshalb ab $13$ los.
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  Das Ereignis $A$ und das Gegenereignis $\overline{A}$ ergeben zusammen den Ergebnisraum $\Omega$ . Überlege, welche Ergebnisse bei $A$ noch fehlen und formuliere sie als Menge.
2. $B :$ "Es sind mindestens $6$ Produkte defekt."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Das Ereignis $B$ lautet in Mengenschreibweise $B=\left\{6{,}7,...,30\right\}$ . Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\Omega$ benötigt werden:
  $\displaystyle \overline{B}=\left\{0{,}1,...,5\right\}$
  In Worten formuliert: $\overline{B}:$ "Es werden höchstens $5$ Produkte fehlerhaft produziert."
  BeachteFormulierung "mindestens"
  "Mindestens" $6$ schließt die $6$ als Ergebnis mit ein. Im Gegenereignis geht es deshalb bis $5$ .
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  Das Ereignis $B$ und das Gegenereignis $\overline{B}$ ergeben zusammen den Ergebnisraum $\Omega$ . Überlege, welche Ergebnisse bei $B$ noch fehlen und formuliere sie als Menge.
3. $C :$ "Es sind mindestens $9$ und höchstens $15$ Produkte fehlerhaft."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Das Ereignis $C$ lautet in Mengenschreibweise $C=\left\{9{,}10,...,15\right\}$ . Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\Omega$ benötigt werden:
  $\displaystyle \overline{C}=\left\{0{,}1,...,8{,}16{,}17,...,30\right\}$
  In Worten formuliert: $\overline{C}:$ "Es werden höchstens $8$ und mindestens $16$ Produkte fehlerhaft hergestellt."
  BeachteFormulierung "mindestens" und "höchstens"
  Die Formulierungen "mindestens" und "höchstens" im Ereignis $C$ schließen $9$ und $15$ mit ein. Im Gegenereignis geht es deshalb nur bis $8$ und dann wieder ab $16$ weiter.
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  Das Ereignis $C$ und das Gegenereignis $\overline{C}$ ergeben zusammen den Ergebnisraum $\Omega$ . Überlege, welche Ergebnisse bei $C$ noch fehlen und formuliere sie als Menge.
4. $D :$ "Es sind mehr als $4$ Produkte defekt."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Das Ereignis $D$ lautet in Mengenschreibweise $D=\left\{5{,}6,...,30\right\}$ . Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\Omega$ benötigt werden:
  $\displaystyle \overline{D}=\left\{0{,}1,...,4\right\}$
  In Worten formuliert: $\overline{D}:$ "Es werden höchstens $4$ Produkte fehlerhaft hergestellt."
  Alternativ: $\overline{D}:$ "Es werden weniger als $5$ Produkte fehlerhaft produziert."
  BeachteFormulierung "mehr als"
  Die Formulierung "mehr als" im Ereignis schließt die $4$ nicht ein. Sie muss im Ereignis weggelassen werden und taucht folglich im Gegenereignis auf.
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  Das Ereignis $D$ und das Gegenereignis $\overline{D}$ ergeben zusammen den Ergebnisraum $\Omega$ . Überlege, welche Ergebnisse bei $D$ noch fehlen und formuliere sie als Menge.
5. $E :$ "Es sind weniger als $24$ Produkte fehlerhaft."
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Das Ereignis $E$ lautet in Mengenschreibweise $E=\left\{0{,}1,...,23\right\}$ . Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\Omega$ benötigt werden:
  $\displaystyle \overline{E}=\left\{24{,}25,...,30\right\}$
  In Worten formuliert: $\overline{E}:$ "Es werden mindestens $24$ Produkte fehlerhaft hergestellt."
  Alternativ: $\overline{E}:$ "Es werden mehr als $23$ Produkte fehlerhaft produziert."
  BeachteFormulierung "weniger als"
  Die Formulierung "weniger als" im Ereignis schließt die $24$ nicht ein. Sie muss im Ereignis weggelassen werden und taucht folglich im Gegenereignis auf.
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  Das Ereignis $E$ und das Gegenereignis $\overline{E}$ ergeben zusammen den Ergebnisraum $\Omega$ . Überlege, welche Ergebnisse bei $E$ noch fehlen und formuliere sie als Menge.
10
Gegeben ist eine Ergebnismenge. Ziehe die Elemente des gesuchten Ereignisses in das Feld "Ereignis" und die Elemente des Gegenereignisses in das Feld "Gegenereignis".
1. Ereignis: "Beim Würfeln wird eine 6 gewürfelt."
2. Ereignis "Beim Würfeln wird eine gerade Zahl gewürfelt."
3. Ereignis: "Beim Drehen des Glücksrads wird Geld gewonnen."
4. Ereignis: "Beim Drehen des Glücksrads werden mehr als 5€ gewonnen."
11
Gib die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse aus Aufgabe 1 an.
1. Ereignis: "Beim Würfeln wird eine 6 gewürfelt."
2. Ereignis: "Beim Würfeln wird eine gerade Zahl gewürfelt."
3. Ereignis: "Beim Drehen des Glücksrads wird Geld gewonnen."
4. Ereignis: "Beim Drehen des Glücksrads werden mehr als 5€ gewonnen."

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A‾\overline AA in Worten

B‾\overline BB in Worten

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Schnittmenge

Vereinigungsmenge

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Schnittmenge

Vereinigungsmenge

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Schnittmenge

Vereinigungsmenge

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Schnittmenge

Vereinigungsmenge

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Ziehung aus einer Urne

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Die Würfel sind gefallen

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Produktionsfehler

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$\overline A$ in Worten

$\overline B$ in Worten