Aufgaben zum Thema Ereignisse

$\mathrm{\Omega }=\{1k;2k;3k;4k;5k;6k;1w;2w;3w;4w;5w;6w\}$,

dabei steht $k$ für Kopf und $w$ für Wappen.

Die Mächtigkeit kannst du bestimmen, indem du nachzählst wie viele Elemente im Ergebnisraum sind.

$\left|\mathrm{\Omega }\right|=12$

Unter den Zahlen, die auf einem Würfel zu sehen sind, gibt es die Primzahlen $2$, $3$ und $5$. Das Ereignis E sieht dann also so aus:

$E=\{2k;3k;5k\}$

$F=\{1z;3z;5z;1k;2k;3k;4k;5k;6k\}$

A = {rrrsssr; rrsrssr; rssrsr; rrsssrr; rsrrssr; rsrsrsr; rsrssrr; rssrrsr; rssrsrr; rsssrrr; srrrssr; srrsrsr; srrssrr; srsrrsr; srsrsrr; srssrrr; ssrrrsr; ssrrsrr; ssrsrrr; sssrrrr}

B = {rrrrsss; rrrsrss; rrsrrss; rsrrrss; srrrrss}

$\Rightarrow$   Die beiden Ereignisse sind unvereinbar, weil bei Ereignis $B$ unter den ersten 5 Zügen schon 4 mal eine rote Kugel dabei sein muss und bei Ereignis $A$ soll erst beim 7. Zug die vierte rote Kugel erscheinen.

Für die Formulierung eines Ereignisses in Worten gibt es oft mehrere Möglichkeiten.

Alternativ:

$\overline{B}$  in Worten

Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmenge.

$E=\overline{(A\cup B\cup C)}\cup (A\cap (\overline{B}\cap \overline{C}))\cup (B\cap (\overline{C}\cap \overline{A}))\cup (C\cap (\overline{A}\cap \overline{B}))$

Entweder es tritt keines der 3 Ereignisse auf,oder nur eins der drei Ereignisse.

Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmenge.

$E=(A\cap (\overline{B}\cap \overline{C}))\cup (B\cap (\overline{C}\cap \overline{A}))\cup (C\cap (\overline{A}\cap \overline{B}))\cup \overline{(A\cup B\cup C)}$

Entweder es tritt nur eins oder keins der drei Ereignisse ein.

Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmengen.

$E=(A\cap B\cap \overline{C})\cup (A\cap C\cap \overline{B})\cup (B\cap C\cap \overline{A})\cup (A\cap B\cap C)$

Entweder es treten nur zwei Ereignisse ein oder auch alle drei Ereignisse.

Zusätzlich benötigst du Vereinigungsmengen.

$E=A\cap B\cap C$

Alle Ereignisse treten ein, wenn das Ergebnis des Experiments in der Schnittmenge aller drei Ereignisse liegt.

Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.

Schnittmenge

$A\cap B=\{\mathrm{2,9}\}$

Die Zahlen 2 und 9 sind in beiden Mengen enthalten.

Vereinigungsmenge

$A\cup B=\{\mathrm{2,3,6,7,8,9}\}$

Die Vereinigungsmenge enthält alle Zahlen, die in einer der beiden Mengen enthalten sind.

Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.

Schnittmenge

$A\cap B=\{\text{Mango, Banane, Kirsche}\}$

Beide Mengen enthalten diese drei Früchte.

Vereinigungsmenge

$A\cup B=\{\text{Apfel, Banane, Mango, Kirsche, Pfirsich}\}$

Die Vereinigungsmenge enthält alle Früchte, die in einer der beiden Mengen enthalten sind.

Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.

Schnittmenge

$A\cap B\cap C=\{\mathrm{2,8}\}$

Alle drei Mengen enthalten die Zahlen 2 und 8.

Vereinigungsmenge

$A\cup B\cup C=\{\mathrm{2,3,4,5,6,7,8,10,14}\}$

Die Vereinigungsmenge enthält alle Zahlen, die in einer der Mengen enthalten sind.

Außerdem hilft dir das Wissen aus dem Artikel zur Vereinigungsmenge.

Schnittmenge

$A\cap B\cap C\cap D=\{Kuchen,Brot\}$

Kuchen und Brot sind in jeder Menge enthalten.

Vereinigungsmenge

$A\cup B\cup C\cup D=\{\text{Kuchen, Brot, Muffin, Breze, Semmel, Plätzchen, Torte}\}$

Die Vereinigungsmenge enthält alles, was in mindestens einer der vier Mengen enthalten ist.

Diese Aufgabe lässt sich leichter mithilfe des Gegenereignisses lösen. Das Gegenereignis lautet:

$\overline{A}:$ "Es werden 2 blaue Kugeln gezogen." oder auch $\overline{A}=\left\{(b,b)\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu: $P\left(\overline{A}\right)=\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{2}{30}$.

Damit ist die Wahrscheinlichkeit von $A$:

$P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{2}{30}=\frac{28}{30}\approx \mathrm{0,9333}=\mathrm{93,33}\%$

Diese Aufgabe lässt sich leichter mithilfe des Gegenereignisses lösen. Das Gegenereignis lautet:

$\overline{B}:$ "Es werden gleichfarbige Kugeln gezogen." oder $\overline{B}=\{(g,g);(b,b)\}$

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu: $P\left(\overline{B}\right)=\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{6}{30}+\frac{2}{30}=\frac{8}{30}$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit von $B$:

$P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=1-\frac{8}{30}=\frac{22}{30}\approx \mathrm{0,7333}=\mathrm{73,33}\%$

Diese Aufgabe lässt sich leichter mithilfe des Gegenereignisses lösen. Das Gegenereignis lautet:

$\overline{C}:$ "Es werden zwei grüne Kugeln gezogen." oder auch $\overline{C}=\left\{(g,g)\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu: $P\left(\overline{C}\right)=\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{30}$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit von $C$:

$P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)=1-\frac{6}{30}=\frac{24}{30}=\mathrm{0,8}=80\%$

Das Ereignis $A$ ist in Mengenschreibweise formuliert: $A=\left\{\mathrm{2,4,6}\right\}$

Das Gegenereignis $\overline{A}=\left\{\mathrm{1,3,5}\right\}$ vervollständigt $A$ zum Ergebnisraum $\mathrm{\Omega }.$

In Worten formuliert: $\overline{A}:$ "Es wird eine ungerade Augenzahl geworfen."

Das Ereignis $B$ ist in Mengenschreibweise formuliert: $B=\left\{\mathrm{1,2,3,4}\right\}$

Das Gegenereignis $\overline{B}=\left\{\mathrm{5,6}\right\}$ vervollständigt $B$ zum Ergebnisraum $\mathrm{\Omega }.$

In Worten formuliert: $\overline{B}:$ "Es wird eine $5$ oder $6$ gewürfelt."

Alternativ: $\overline{B}:$ "Es wird mindestens eine $5$ gewürfelt."

Das Ereignis $C$ ist in Mengenschreibweise formuliert: $C=\left\{\mathrm{3,4,5,6}\right\}$

Das Gegenereignis $\overline{C}=\left\{\mathrm{1,2}\right\}$ vervollständigt $C$ zum Ergebnisraum $\mathrm{\Omega }.$

In Worten formuliert: $\overline{C}:$ "Es wird höchstens eine $2$ gewürfelt."

Alternativ: $\overline{C}:$ "Es wird eine $1$ oder $2$ gewürfelt."

Das Ereignis $A$ lautet in Mengenschreibweise $A=\{\mathrm{0,1},...,12\}$. Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\mathrm{\Omega }$ benötigt werden:

In Worten formuliert: $\overline{A}:$ "Es werden mindestens $13$ Produkte fehlerhaft produziert."

Das Ereignis $B$ lautet in Mengenschreibweise $B=\{\mathrm{6,7},...,30\}$. Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\mathrm{\Omega }$ benötigt werden:

In Worten formuliert: $\overline{B}:$ "Es werden höchstens $5$ Produkte fehlerhaft produziert."

Das Ereignis $C$ lautet in Mengenschreibweise $C=\{\mathrm{9,10},...,15\}$. Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\mathrm{\Omega }$ benötigt werden:

In Worten formuliert: $\overline{C}:$ "Es werden höchstens $8$ und mindestens $16$ Produkte fehlerhaft hergestellt."

Das Ereignis $D$ lautet in Mengenschreibweise $D=\{\mathrm{5,6},...,30\}$. Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\mathrm{\Omega }$ benötigt werden:

In Worten formuliert: $\overline{D}:$ "Es werden höchstens $4$ Produkte fehlerhaft hergestellt."

Alternativ: $\overline{D}:$ "Es werden weniger als $5$ Produkte fehlerhaft produziert."

Das Ereignis $E$ lautet in Mengenschreibweise $E=\{\mathrm{0,1},...,23\}$. Das hilft, die Ereignisse zu sammeln, die zur Vervollständigung zu $\mathrm{\Omega }$ benötigt werden:

In Worten formuliert: $\overline{E}:$ "Es werden mindestens $24$ Produkte fehlerhaft hergestellt."

Alternativ: $\overline{E}:$ "Es werden mehr als $23$ Produkte fehlerhaft produziert."