Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

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Löse die Gleichungen, indem du zunächst auf die Form $b^{f\left(x\right)}=a$ bringst und anschließend logarithmierst.

$25\cdot3^x=1000$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung

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Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f\left(x\right)}=a$ erhältst.

$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}+1=5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}+1$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \log_{0{,}5}4$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f\left(x\right)}=a$ erhältst.

$5^{x+1}=1000$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung

Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f\left(x\right)}=a$ erhältst.

$8\cdot4^{1{,}5x}=120000$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung

Wenn du nicht den Logarithmus zur Basis $4$ verwenden willst, kannst du das auch mit dem natürlichen Logarithmus (oder dem Zehnerlogarithmus) machen:

$\displaystyle 8\cdot4^{1{,}5x}$	$=$	$\displaystyle 120 000$	$\displaystyle :8$
$\displaystyle 4^{1{,}5x}$	$=$	$\displaystyle 15000$
	↓	verwende den natürlichen Logarithmus
$\displaystyle \ln 4^{1{,}5x}$	$=$	$\displaystyle \ln 15000$
	↓	Rechenregel für Logarithmen: $\log a^b=b\log a$
$\displaystyle 1{,}5 x\cdot \ln 4$	$=$	$\displaystyle \ln 15000$
	↓	Zeit für den Tascherechner:
$\displaystyle 1{,}5x\cdot 1{,}386$	$≈$	$\displaystyle 9{,}62$
	↓	Teile durch $1{,}5$ und durch $1{,}386$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 4{,}62$

Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f\left(x\right)}=a$ erhältst.

$4\cdot2^{15-3x}=64$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung

Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f\left(x\right)}=a$ erhältst.

$\frac{1}{2}\cdot4^{2x+1}-4=12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung

Bevor du logarithmieren kannst, musst du die Potenz isolieren. Forme so um, dass du eine Gleichung der Form $b^{f\left(x\right)}=a$ erhältst.