Das Logarithmusgesetz $\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)$ kann mithilfe des Potenzgesetzes $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und die Definition des Logarithmus $\log_b\left(a\right)=x\ \Leftrightarrow b^x=a$ bzw $\log_b\left(b\right)=1$ bewiesen werden.

Erkläre das Vorgehen des folgenden Beweises, indem du jede Markierung (Zahlen in Klammern) kurz beschreibst.

Für $x,\ y\ \in\mathbb{R}$ sei $\log_b\left(u\right)=x$ und $\log_b\left(v\right)=y$.

Dann gilt ebenfalls $u=b^x$ und $v=b^y$ (1)

und somit

q.e.d.

Beweise das Logarithmusgesetz $\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_b\left(u\right)-\log_b\left(v\right)$ analog zum oberen Beweis.

Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right)$ für $r\in \N$ unter Verwendung des Logarithmusgesetzes $\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)$

Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right)$ unter Verwendung der Regeln der Potenzrechnung.