Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

Herleitung der Rechenregeln zum Logarithmus

Das Logarithmusgesetz $\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)$ kann mithilfe des Potenzgesetzes $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und die Definition des Logarithmus $\log_b\left(a\right)=x\ \Leftrightarrow b^x=a$ bzw $\log_b\left(b\right)=1$ bewiesen werden.

Erkläre das Vorgehen des folgenden Beweises, indem du jede Markierung (Zahlen in Klammern) kurz beschreibst.

Für $x,\ y\ \in\mathbb{R}$ sei $\log_b\left(u\right)=x$ und $\log_b\left(v\right)=y$ .

Dann gilt ebenfalls $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$ (1)

und somit

	$\displaystyle \log_b\left(u\cdot v\right)$
	↓ (2)
$=$	$\displaystyle \log_b\left(b^x\cdot b^y\right)$
	↓ (3)
$=$	$\displaystyle \log_b\left(b^{x+y}\right)$
	↓ (4)
$=$	$\displaystyle x+y$
	↓ (5)
$=$	$\displaystyle \log_b\left(u\right)+\log_{b}\left(v\right)$

q.e.d.

Beweise das Logarithmusgesetz $\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_b\left(u\right)-\log_b\left(v\right)$ analog zum oberen Beweis.

Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right)$ für $r\in \N$ unter Verwendung des Logarithmusgesetzes $\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)$

Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right)$ unter Verwendung der Regeln der Potenzrechnung.

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	$\displaystyle \log_b\left(\frac{u}{v}\right)$
$=$	$\displaystyle \log_b\left(\frac{b^x}{b^y}\right)$
	↓ Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
$=$	$\displaystyle \log_b\left(b^{x-y}\right)$
	↓ (1)
$=$	$\displaystyle x-y$
	↓ Ersetze $x=\log_b\left(u\right)$ und $y=\log_b\left(v\right)$
$=$	$\displaystyle \log_b\left(u\right)-\log_b\left(v\right)$

	$\displaystyle \log_b\left(u^2\right)$
$=$	$\displaystyle \log_b\left(u\cdot u\right)$
	↓ Anwendung des Logarithmusgesetzes $\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)\cdot\log_b\left(v\right)$
$=$	$\displaystyle \log_b\left(u\right)\cdot\log_b\left(u\right)$
$=$	$\displaystyle 2\cdot\log_b\left(u\right)$

(1) $u = b^{x}$ und $v=b^{y\ }$

(2) $\log_b\left(b^x\cdot b^y\right)$

(3) $\log_b\left(b^{x+y}\right)$

(4) $x + y$

(5) $\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)$

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Am Beispiel $r = 2$

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$\displaystyle \log_b(u)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Definition des Logarithmus
$\displaystyle b^x$	$=$	$\displaystyle u$
	↓	Nimm die $r$ -te Potenz
$\displaystyle \left(b^x\right)^r$	$=$	$\displaystyle u^r$
	↓	Potenzgesetz
$\displaystyle b^{r\cdot x}$	$=$	$\displaystyle u^r$
	↓	Definition des Logarithmus
$\displaystyle \log_b (u^r)$	$=$	$\displaystyle r\cdot x$
	↓	$x$ wieder ersetzen
$\displaystyle \log_b (u^r)$	$=$	$\displaystyle r\cdot \log_b(x)$

(1) u=bxu=b^xu=bx und v=by v=b^{y\ }v=by

(2) log⁡b(bx⋅by)\log_b\left(b^x\cdot b^y\right)logb​(bx⋅by)

(3) log⁡b(bx+y)\log_b\left(b^{x+y}\right)logb​(bx+y)

(4) x+y\ x+y x+y

(5) log⁡b(u)+log⁡b(v)\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)logb​(u)+logb​(v)

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Am Beispiel r=2r=2r=2

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(1) $u = b^{x}$ und $v=b^{y\ }$

(2) $\log_b\left(b^x\cdot b^y\right)$

(3) $\log_b\left(b^{x+y}\right)$

(4) $x + y$

(5) $\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)$

Am Beispiel $r = 2$