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Herleitung der Rechenregeln zum Logarithmus

  1. Das Logarithmusgesetz log⁥b(u⋅v)=log⁥b(u)+log⁥b(v)\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right) kann mithilfe des Potenzgesetzes ax⋅ay=ax+ya^x\cdot a^y=a^{x+y} und die Definition des Logarithmus log⁥b(a)=x â‡”bx=a\log_b\left(a\right)=x\ \Leftrightarrow b^x=a bzw log⁥b(b)=1\log_b\left(b\right)=1 bewiesen werden.

    ErklÀre das Vorgehen des folgenden Beweises, indem du jede Markierung (Zahlen in Klammern) kurz beschreibst.

    FĂŒr x, y âˆˆRx,\ y\ \in\mathbb{R} sei log⁥b(u)=x\log_b\left(u\right)=x und log⁥b(v)=y\log_b\left(v\right)=y.

    Dann gilt ebenfalls u=bxu=b^x und v=byv=b^y (1)

    und somit

    log⁡b(u⋅v)\displaystyle \log_b\left(u\cdot v\right)
    ↓

    (2)

    ==log⁡b(bx⋅by)\displaystyle \log_b\left(b^x\cdot b^y\right)
    ↓

    (3)

    ==log⁥b(bx+y)\displaystyle \log_b\left(b^{x+y}\right)
    ↓

    (4)

    ==x+y\displaystyle x+y
    ↓

    (5)

    ==log⁥b(u)+log⁥b(v)\displaystyle \log_b\left(u\right)+\log_{b}\left(v\right)

    q.e.d.

  2. Beweise das Logarithmusgesetz log⁡b(uv)=log⁡b(u)−log⁡b(v)\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_b\left(u\right)-\log_b\left(v\right) analog zum oberen Beweis.

  3. Beweise das Logarithmusrechengesetz log⁥b(ur)=r⋅log⁥b(u)\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right) fĂŒr r∈Nr\in \N unter Verwendung des Logarithmusgesetzes log⁥b(u⋅v)=log⁥b(u)+log⁥b(v)\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)

  4. Beweise das Logarithmusrechengesetz log⁡b(ur)=r⋅log⁡b(u)\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right) unter Verwendung der Regeln der Potenzrechnung.