Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

Herleitung der Rechenregeln zum Logarithmus

Das Logarithmusgesetz $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) + \log_{b} (v)$ kann mithilfe des Potenzgesetzes $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ und die Definition des Logarithmus $\log_{b} (a) = x \Leftrightarrow b^{x} = a$ bzw $\log_{b} (b) = 1$ bewiesen werden.
Erkläre das Vorgehen des folgenden Beweises, indem du jede Markierung (Zahlen in Klammern) kurz beschreibst.
Für $x, y \in ℝ$ sei $\log_{b} (u) = x$ und $\log_{b} (v) = y$ .
Dann gilt ebenfalls $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$ (1)
und somit
$\log_{b} (u \cdot v)$
↓
(2)
$=$ $\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$
↓
(3)
$=$ $\log_{b} (b^{x + y})$
↓
(4)
$=$ $x + y$
↓
(5)
$=$ $\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$
q.e.d.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit dem Logarithmus
(1) $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$
Hier wurde direkt die Definition des Logarithmus angewendet, also:
$\log_{b} (u) = x \Leftrightarrow b^{x} = u$ und $\log_{b} (v) = y \Leftrightarrow b^{y} = v$
(2) $\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$
Es wurde die Definition von den Schritten darüber eingesetzt, also aus $u$ wurde $b^{x}$ , aus $v$ wird $b^{y}$ .
(3) $\log_{b} (b^{x + y})$
Es wurde im Argument des Logarithmus das Potenzgesetz angewendet: $b^{x} \cdot b^{y} = b^{x + y}$
(4) $x + y$
Da die Basis des Logarithmus und die Basis im Argument des Logarithmus übereinstimmen, kann der Logarithmus aufgelöst werden, denn $\log_{b} (b) = 1$ , da $b^{1} = b$ ist. Es wird quasi gefragt "Mit was muss ich die Basis b des Logarithmus potenzieren, um $b^{x + y}$ zu erzeugen?" Antwort: Mit $x + y$ !
(5) $\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$
In Schritt 1 wurde festgelegt, dass $\log_{b} (u) = x$ und $\log_{b} (v) = y$ . Diese Festlegung wurde hier erneut verwendet und die Variablen x und y ersetzt.
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Beweise das Logarithmusgesetz $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} (u) - \log_{b} (v)$ analog zum oberen Beweis.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit dem Logarithmus
Einführen neuer Variablen
Setze $\log_{b} (u) = x$ und $\log_{b} (v) = y$ .
Durch Umformen nach der Definition des Logarithmus gilt dann auch wieder
$b^{x} = u$ und $b^{y} = v$ .
Setze alle diese Definitionen in die zu zeigende Gleichung ein:
$\log_{b} (\frac{u}{v})$
$=$ $\log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}})$
↓
Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$
$=$ $\log_{b} (b^{x - y})$
↓
(1)
$=$ $x - y$
↓
Ersetze $x = \log_{b} (u)$ und $y = \log_{b} (v)$
$=$ $\log_{b} (u) - \log_{b} (v)$
q.e.d
(1) Eine ausführlichere Erklärung zum vorletzten Schritt findest du in der vorherigen Teilaufgabe!
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Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} (u)$ für $r \in ℕ$ unter Verwendung des Logarithmusgesetzes $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) + \log_{b} (v)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit dem Logarithmus
Am Beispiel $r = 2$
Für $r = 2$ kannst du das Logarithmusgesetz durch ausschreiben der Potenz direkt nachvollziehen:
$\log_{b} (u^{2})$
$=$ $\log_{b} (u \cdot u)$
↓
Anwendung des Logarithmusgesetzes $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) \cdot \log_{b} (v)$
$=$ $\log_{b} (u) \cdot \log_{b} (u)$
$=$ $2 \cdot \log_{b} (u)$
Verallgemeinern auf höhere Exponenten
Für höhere Exponenten kann die Potenz ebenfalls als Produkt geschrieben werden:
$l o g_{b} (u^{r}) = l o g_{b} (\underset{r Mal}{\underset{⏟}{u \cdot u \cdot . . . \cdot u}})$
Jede dieser Faktoren im Produkt wird zu einem eigenen Logarithmus:
$\underset{r Mal}{\underset{⏟}{l o g_{b} (u) + . . . + \log_{b} (u)}}$
Anstatt den gleichen Summanden mehrmals zu schreiben, kann man verkürzt $r \cdot \log_{b} (u)$ schreiben.
Insgesamt gilt also $l o g_{b} (u^{r}) = r \cdot l o g_{b} (u)$
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Überlege dir erst mit einem kleinen Exponenten, warum das Gesetz gilt. Verallgemeinere anschließend
Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} (u)$ unter Verwendung der Regeln der Potenzrechnung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$\log_{b} (u)$ $=$ $x$
↓
Definition des Logarithmus
$b^{x}$ $=$ $u$
↓
Nimm die $r$ -te Potenz
${(b^{x})}^{r}$ $=$ $u^{r}$
↓
Potenzgesetz
$b^{r \cdot x}$ $=$ $u^{r}$
↓
Definition des Logarithmus
$\log_{b} (u^{r})$ $=$ $r \cdot x$
↓
$x$ wieder ersetzen
$\log_{b} (u^{r})$ $=$ $r \cdot \log_{b} (x)$
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Schreibe die Logarithmen in Potenzen um und verwende die Potenzgesetze.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\log_{b} (u \cdot v)$
	↓ (2)
$=$	$\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$
	↓ (3)
$=$	$\log_{b} (b^{x + y})$
	↓ (4)
$=$	$x + y$
	↓ (5)
$=$	$\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$

	$\log_{b} (\frac{u}{v})$
$=$	$\log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}})$
	↓ Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$
$=$	$\log_{b} (b^{x - y})$
	↓ (1)
$=$	$x - y$
	↓ Ersetze $x = \log_{b} (u)$ und $y = \log_{b} (v)$
$=$	$\log_{b} (u) - \log_{b} (v)$

	$\log_{b} (u^{2})$
$=$	$\log_{b} (u \cdot u)$
	↓ Anwendung des Logarithmusgesetzes $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) \cdot \log_{b} (v)$
$=$	$\log_{b} (u) \cdot \log_{b} (u)$
$=$	$2 \cdot \log_{b} (u)$

$\log_{b} (u)$	$=$	$x$
	↓	Definition des Logarithmus
$b^{x}$	$=$	$u$
	↓	Nimm die $r$ -te Potenz
${(b^{x})}^{r}$	$=$	$u^{r}$
	↓	Potenzgesetz
$b^{r \cdot x}$	$=$	$u^{r}$
	↓	Definition des Logarithmus
$\log_{b} (u^{r})$	$=$	$r \cdot x$
	↓	$x$ wieder ersetzen
$\log_{b} (u^{r})$	$=$	$r \cdot \log_{b} (x)$

(1) u=bx und v=by

(2) logb⁡(bx⋅by)

(3) logb⁡(bx+y)

(4) x+y

(5) logb⁡(u)+logb⁡(v)

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Einführen neuer Variablen

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Am Beispiel r=2

Verallgemeinern auf höhere Exponenten

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(1) $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$

(2) $\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$

(3) $\log_{b} (b^{x + y})$

(4) $x + y$

(5) $\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$

Am Beispiel $r = 2$