Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

1

Löse die folgenden Gleichungen jeweils nach $x$ auf.

$2^x=8$

$7^{2x}=2$

$10^{x^2}=100$

2

Löse die Gleichungen, indem du sie zu einer Potenz oder einem Logarithmus umformst.

Schaffst du es, die Gleichungen zu lösen, ohne den Taschenrechner zu verwenden?

$3^x=27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Diese Aufgabe kannst du vermutlich direkt im Kopf lösen, denn du weißt, dass $3\cdot9=3\cdot3\cdot3=3^3=27$ ist.
Trotzdem schadet es zu Übungszwecken nicht, den Term umzuschreiben:
$3^x=27\ \Leftrightarrow\ \log_327=x\ \Leftrightarrow\ \log_3{3^3}=x\ \Leftrightarrow\ 3=x$
Die Basis 3 der Exponentialfunktion wird zur Basis des Logarithmus. Der Taschenrechner liefert nach Eingabe des Logarithmus ebenfalls die vermutete Zahl 3.
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$2^x=1024$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Schreibe den Term zu einem Logarithmus um:
$2^x=1024⇔\ \log_21024=x$
Entweder durch wiederholte Verdopplung der Zahl oder durch Eintippen in den Taschenrechner bekommst du dann:
$\displaystyle \log_21024$ $=$ $\displaystyle x$
$\displaystyle 10$ $=$ $\displaystyle x$
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$15^x=225$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Diese Aufgabe kannst du vielleicht direkt im Kopf lösen, wenn du ein paar Quadratzahlen auswendig weißt, denn $15\cdot15=15^2=225$
Trotzdem schadet es zu Übungszecken nicht, den Term umzuschreiben:
$15^x=225\ \Leftrightarrow\log_{15}225=x\Leftrightarrow2=x$
Die Basis 15 der Exponentialfunktion wird zur Basis des Logarithmus. Der Taschenrechner liefert nach Eingabe des Logarithmus ebenfalls die vermutete Zahl 2.
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$3^{-x}=\frac{1}{9}$

$4^x=\frac{1}{256}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Forme zu einem Logarithmus um.
$4^x=\frac{1}{256}\Leftrightarrow\log_4\left(\frac{1}{256}\right)=x$
Du kannst dir entweder überlegen, wie du mit der Basis 4 den Bruch $\frac{1}{4}$ und anschließend $\frac{1}{256}$ erzeugst, indem du den Einfluss negativer Exponenten bedenkst oder du tippst den Term in den Taschenrechner.
$\displaystyle \log_4\left(\frac{1}{256}\right)$ $=$ $\displaystyle x$
$\displaystyle -4$ $=$ $\displaystyle x$
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$\log_2x=3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Schreibe als Potenz:
$\log_2x=3\ \Leftrightarrow2^3=x\Leftrightarrow x=8$
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$\log_5x=3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
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Schreibe als Potenz:
$\log_5x=3\Leftrightarrow5^3=x\Leftrightarrow125=x$
$\log_{10}x=4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Schreibe als Potenz:
$\log_{10}x=4\Leftrightarrow10^4=x\Leftrightarrow x=10000$
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$\log_{10}x=-2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Schreibe als Potenz:
$\log_{10}x=-2\ \Leftrightarrow10^{-2}=x\Leftrightarrow x=\frac{1}{100}$
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3

Gesucht ist die Basis $b$ .

$\log_b2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
$\displaystyle \log _b2$ $=$ $\displaystyle 0$
↓
Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle b^0$ $=$ $\displaystyle 2$
Dies widerspricht den Umformungsregel für Potenzen.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Unwahre Aussage da $x^0=1$
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$\log_b5=0{,}5$

$\log_b\left(\frac1{25}\right)=2$

4

5

Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus und vereinfache diesen so weit wie möglich.

$\log_k\left(m^4\right)-2\log_k\left(m\right)$

$2\log_a\left(x+1\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)$

$2\log(u)+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]$

$\left(n+1\right)\cdot\log(x)-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)$

$\log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2$

6

Herleitung der Rechenregeln zum Logarithmus

Das Logarithmusgesetz $\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)$ kann mithilfe des Potenzgesetzes $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und die Definition des Logarithmus $\log_b\left(a\right)=x\ \Leftrightarrow b^x=a$ bzw $\log_b\left(b\right)=1$ bewiesen werden.

Erkläre das Vorgehen des folgenden Beweises, indem du jede Markierung (Zahlen in Klammern) kurz beschreibst.

Für $x,\ y\ \in\mathbb{R}$ sei $\log_b\left(u\right)=x$ und $\log_b\left(v\right)=y$ .

Dann gilt ebenfalls $u=b^x$ und $v=b^y$ (1)

und somit

	$\displaystyle \log_b\left(u\cdot v\right)$
	↓ (2)
$=$	$\displaystyle \log_b\left(b^x\cdot b^y\right)$
	↓ (3)
$=$	$\displaystyle \log_b\left(b^{x+y}\right)$
	↓ (4)
$=$	$\displaystyle x+y$
	↓ (5)
$=$	$\displaystyle \log_b\left(u\right)+\log_{b}\left(v\right)$

q.e.d.

Beweise das Logarithmusgesetz $\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_b\left(u\right)-\log_b\left(v\right)$ analog zum oberen Beweis.

Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right)$ für $r\in \N$ unter Verwendung des Logarithmusgesetzes $\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)$

Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right)$ unter Verwendung der Regeln der Potenzrechnung.

$\displaystyle \log_b5$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$
	↓	Wende die Definition des Logarithmus an.
$\displaystyle b^{0{,}5}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Quadriere beide Seiten.
$\displaystyle \left( b^{0{,}5} \right)^2$	$=$	$\displaystyle 5^2$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\left(a^{x}\right)^y=a^{x \cdot y}$ .
$\displaystyle b^{0{,}5 \cdot 2}$	$=$	$\displaystyle 25$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 25$

	$\displaystyle \log_b\left(2b\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(uv\right)=\log_bu+\log_bv$
$=$	$\displaystyle \log_b2+\log_bb$
	↓ Es gilt $\log_bb=1$ , denn $b^1=b$
$=$	$\displaystyle \log_b2+1$
$≠$	$\displaystyle 2$

	$\displaystyle \log_q\left(q^5\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_bu$
$=$	$\displaystyle 5\log_qq$
	↓ Da $q^1=q$ ist $\log_qq=1$
$=$	$\displaystyle 5\cdot1$
$=$	$\displaystyle 5$

	$\displaystyle \log_z\left(\frac{1}{z^3}\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_bu-\log_bv$
$=$	$\displaystyle \log_z1-\log_zz^3$
	↓ Da $z^0=1$ ist $\log_z1=0$
$=$	$\displaystyle 0-\log_zz^3$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_bu$
$=$	$\displaystyle -3\log_zz$
	↓ Da $z^1=z$ ist $\log_zz=1$
$=$	$\displaystyle -3\cdot1$
$=$	$\displaystyle -3$

	$\displaystyle \log_k\left(ux+u\right)$
	↓ u ausklammern.
$=$	$\displaystyle \log_k\left(u\cdot\left(x+1\right)\right)$
	↓ Rechengesetz für Produkte anwenden
$=$	$\displaystyle \log_k\left(u\right)+\log_k\left(x+1\right)$

$\displaystyle 2^x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \log_2\left(\right)$
	↓	Wende den Logarithmus mit Basis $2$ auf beiden Seiten an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_2\left(8\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle 7^{2x}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \log_7\left(\right)$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis $7$ an.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \log_7(2)$
	↓	Dividiere auf beiden Seiten durch 2.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\log_72$

$\displaystyle 10^{x^2}$	$=$	$\displaystyle 100$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis $10$ auf beiden Seiten an.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \log_{10}(100)$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{2}$

$\displaystyle \log_21024$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle \log_3\left(\frac{1}{9}\right)$	$=$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -x$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle \log_4\left(\frac{1}{256}\right)$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle \log _b2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle b^0$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle \log_b\left(\frac{1}{25}\right)$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle \frac1{25}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass die Basis $b$ positiv sein muss.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac15$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 0{,}2$

	$\displaystyle \log_a\left(x^2y^{-3}\right)$
$=$	$\displaystyle \log_a\left(x^2\right)\cdot\log_a\left(y^{-3}\right)$
$=$	$\displaystyle 2\log_ax-3\log_ay$

	$\displaystyle \log_b\left(\frac{ab}{b^2}\right)$
	↓ Kürze zunächst im Bruchterm
$=$	$\displaystyle \log_b\left(\frac{a}{b}\right)$
	↓ Teile den Logarithmus mithilfe der Rechenregel $\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_bu-\log_bv$ auf
$=$	$\displaystyle \log_ba-\log_bb$
	↓ Da $b^1=b$ ist $\log_bb=1$
$=$	$\displaystyle \log_ba-1$

	$\displaystyle \log_b\left(\frac{1}{b^4}\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_bu-\log_bv$
$=$	$\displaystyle \log_b1-\log_b\left(b^4\right)$
	↓ Da $b^0=1$ ist $\log_b1=0$
$=$	$\displaystyle 0-\log_b\left(b^4\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right)$
$=$	$\displaystyle -4\cdot\log_bb$
	↓ Da $b^1=b$ ist $\log_bb=1$
$=$	$\displaystyle -4\cdot1$

	$\displaystyle \log_m\left(s^2-t^2\right)$
	↓ Verwende die 3. binomische Formel
$=$	$\displaystyle \log_m\left(\left(s+t\right)\left(s-t\right)\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(uv\right)=\log_bu+\log_bv$
$=$	$\displaystyle \log_m\left(s+t\right)+\log_m\left(s-t\right)$

	$\displaystyle \log_k\left(m^4\right)-2\log_k\left(m\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_bu$
$=$	$\displaystyle 4\log_k\left(m\right)-2\log_km$
	↓ Subtrahiere
$=$	$\displaystyle 2\log_k\left(m\right)$

	$\displaystyle 2\log_a\left(x+1\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_bu$
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\left(x+1\right)^2\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)$
	↓ Verwende $\log_bu+\log_bv=\log_b\left(u\cdot v\right)$
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\left(x+1\right)^2\cdot\frac{1}{x^2-1}\right)$
	↓ Schreibe als einen Bruch und wende die 3. binomische Formel an
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\frac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right)$
	↓ Kürze
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

$\displaystyle \;2\log\;u+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]$	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]$
	↓	Wende die Produktregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\frac12\left[\log\left(\left(u+v\right)\cdot\left(u-v\right)\right)\right]$
	↓	Wende die 3. Binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\frac12\log\left(u^2-v^2\right)$
	↓	Wende die Potenzregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\log(u^2-v^2)^\frac12$
	↓	Wende $x^\frac12=\sqrt x$ an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\log(\sqrt{u^2-v^2})$
	↓	Wende die Produktregel für Logarithmus an und fasse somit beide Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.
	$=$	$\displaystyle \log\left(u^2\sqrt{u^2-v^2}\right)$

$\displaystyle \left(n+1\right)\cdot\log\;x-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)$	$=$	$\displaystyle \;\log\;x^{n+1}-\log\;x^{2n}$
	↓	Wende die Quotientenregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\frac{x^{n+1}}{x^{2n}}$
	↓	Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.
	$=$	$\displaystyle \log\;x^{1-n}$

$\displaystyle \log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \log\left(\frac{a\cdot b\cdot a}b\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2$
	↓	Kürze den Logarithmus und ziehe das Quadrat in die Klammer.
	$=$	$\displaystyle \log\;a^2-\log\left(a^2b^2\right)$
	↓	Wende die Quotientregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\frac{a^2}{a^2b^2}$
	↓	Kürze den Logarithmus.
	$=$	$\displaystyle \log\frac1{b^2}$

	$\displaystyle \log_b\left(\frac{u}{v}\right)$
$=$	$\displaystyle \log_b\left(\frac{b^x}{b^y}\right)$
	↓ Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
$=$	$\displaystyle \log_b\left(b^{x-y}\right)$
	↓ (1)
$=$	$\displaystyle x-y$
	↓ Ersetze $x=\log_b\left(u\right)$ und $y=\log_b\left(v\right)$
$=$	$\displaystyle \log_b\left(u\right)-\log_b\left(v\right)$

	$\displaystyle \log_b\left(u^2\right)$
$=$	$\displaystyle \log_b\left(u\cdot u\right)$
	↓ Anwendung des Logarithmusgesetzes $\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)\cdot\log_b\left(v\right)$
$=$	$\displaystyle \log_b\left(u\right)\cdot\log_b\left(u\right)$
$=$	$\displaystyle 2\cdot\log_b\left(u\right)$

$\displaystyle \log_b(u)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Definition des Logarithmus
$\displaystyle b^x$	$=$	$\displaystyle u$
	↓	Nimm die $r$ -te Potenz
$\displaystyle \left(b^x\right)^r$	$=$	$\displaystyle u^r$
	↓	Potenzgesetz
$\displaystyle b^{r\cdot x}$	$=$	$\displaystyle u^r$
	↓	Definition des Logarithmus
$\displaystyle \log_b (u^r)$	$=$	$\displaystyle r\cdot x$
	↓	$x$ wieder ersetzen
$\displaystyle \log_b (u^r)$	$=$	$\displaystyle r\cdot \log_b(x)$

Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

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Diese Aufgabe kannst du vermutlich direkt im Kopf lösen, denn du weißt, dass 3⋅9=3⋅3⋅3=33=273\cdot9=3\cdot3\cdot3=3^3=273⋅9=3⋅3⋅3=33=27 ist.

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Diese Aufgabe kannst du vielleicht direkt im Kopf lösen, wenn du ein paar Quadratzahlen auswendig weißt, denn 15⋅15=152=22515\cdot15=15^2=22515⋅15=152=225

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Widerlegen durch Gegenbeispiel

Widerlegen durch Umformung

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Widerlegen durch Gegenbeispiel

Was ist hier passiert?

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Widerlegen durch Gegenbeispiel

Widerlegen durch Anwendung der Logarithmusrechenregeln

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(1) u=bxu=b^xu=bx und v=by v=b^{y\ }v=by

(2) log⁡b(bx⋅by)\log_b\left(b^x\cdot b^y\right)logb​(bx⋅by)

(3) log⁡b(bx+y)\log_b\left(b^{x+y}\right)logb​(bx+y)

(4) x+y\ x+y x+y

(5) log⁡b(u)+log⁡b(v)\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)logb​(u)+logb​(v)

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Einführen neuer Variablen

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Am Beispiel r=2r=2r=2

Verallgemeinern auf höhere Exponenten

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Diese Aufgabe kannst du vermutlich direkt im Kopf lösen, denn du weißt, dass $3\cdot9=3\cdot3\cdot3=3^3=27$ ist.

Diese Aufgabe kannst du vielleicht direkt im Kopf lösen, wenn du ein paar Quadratzahlen auswendig weißt, denn $15\cdot15=15^2=225$

(1) $u=b^x$ und $v=b^{y\ }$

(2) $\log_b\left(b^x\cdot b^y\right)$

(3) $\log_b\left(b^{x+y}\right)$

(4) $\ x+y$

(5) $\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)$

Am Beispiel $r=2$