Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

Entscheide jeweils, ob die Umformung allgemein gültig ist und begründe deine Entscheidung

$\log_{b} (2 b) \overset{?}{=} 2$ für alle $b \in ℝ, b > 0$
- wahr
- falsch
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Widerlegen durch Gegenbeispiel
Diese Aussage ist falsch, denn:
$\log_{4} (2 \cdot 4) = 1,5$ und $1,5 \neq 2$
Widerlegen durch Umformung
Diese Aussage ist falsch, denn:
$\log_{b} (2 b)$
↓
Verwende $\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$
$=$ $\log_{b} 2 + \log_{b} b$
↓
Es gilt $\log_{b} b = 1$ , denn $b^{1} = b$
$=$ $\log_{b} 2 + 1$
$\neq$ $2$
(Für b=2 ist die Aussage wahr, aber sie ist nicht allgemein gültig)
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$\log_{q} (q^{5}) \overset{?}{=} 5$ für $q \in ℝ, q > 0$
- wahr
- falsch
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Diese Aussage ist wahr, denn
$\log_{q} (q^{5})$
↓
Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$ $5 \log_{q} q$
↓
Da $q^{1} = q$ ist $\log_{q} q = 1$
$=$ $5 \cdot 1$
$=$ $5$
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Der Logarithmus kann als Frage interpretiert werden: "Mit welcher Zahl muss ich q potenzieren, um $q^{5}$ zu erhalten?" - klar, mit der Zahl 5.
Doch man kann die Äquivalenz ebenso durch Anwendung der Rechenregeln zeigen.

$\log_{z} (\frac{1}{z^{3}}) \overset{?}{=} - 3$ für $z \in ℝ, z > 0$

wahr
falsch

$\log_{a} (b + c) \overset{?}{=} \log_{a} b \cdot \log_{a} c$ für $a, b, c \in ℝ, a, b, c > 0$
- wahr
- falsch
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Widerlegen durch Gegenbeispiel
Setze $a = 2, b = 4, c = 8$
$\log_{2} (4 + 8) = \log_{2} (12) \approx 3,58$
aber $l o g_{2} (4) \cdot l o g_{2} (8) = 2 \cdot 3 = 6$
Was ist hier passiert?
Hier wurde die Punkt- und Strichrechnung vertauscht. Summen im Argument des Logarithmus können nicht aufgeteilt werden.
Das korrekte Gesetz lautet $\log_{a} (b \cdot c) = \log_{a} b + \log_{a} c$
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$\log_{k} (u x + u) \overset{?}{=} \log_{k} (u) + \log_{k} (x + 1)$ für $k, u, x \in ℝ, k, u, x > 0,$
- wahr
- falsch
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Die Aussage ist wahr
$\log_{k} (u x + u)$
↓
u ausklammern.
$=$ $\log_{k} (u \cdot (x + 1))$
↓
Rechengesetz für Produkte anwenden
$=$ $\log_{k} (u) + \log_{k} (x + 1)$
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$\log_{a} (x^{2} y^{- 3}) \overset{?}{=} 2 \log_{a} x - 3 \log_{a} y$ für $a, x, y \in ℝ, a, x, y > 0$
- wahr
- falsch
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Die Aussage ist wahr. Es wurde sowohl das Rechengesetz $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} u + \log_{b} v$ als auch $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} (u)$ verwendet:
$\log_{a} (x^{2} y^{- 3})$
$=$ $\log_{a} (x^{2}) \cdot \log_{a} (y^{- 3})$
$=$ $2 \log_{a} x - 3 \log_{a} y$
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$\log_{b} (\frac{a b}{b^{2}}) = \log_{b} (a) - 1$ für $a, b \in ℝ, a, b > 0$
- wahr
- falsch
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Die Aussage ist wahr.
$\log_{b} (\frac{a b}{b^{2}})$
↓
Kürze zunächst im Bruchterm
$=$ $\log_{b} (\frac{a}{b})$
↓
Teile den Logarithmus mithilfe der Rechenregel $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} u - \log_{b} v$ auf
$=$ $\log_{b} a - \log_{b} b$
↓
Da $b^{1} = b$ ist $\log_{b} b = 1$
$=$ $\log_{b} a - 1$
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$\log_{b} (\frac{1}{b^{4}}) \overset{?}{=} 4$ für $b \in ℝ, b > 0$

wahr
falsch

$\log_{m} (s^{2} - t^{2}) \overset{?}{=} \log_{m} (s + t) + \log_{m} (s - t)$ für $s, t, m \in ℝ, m > 0$
Außerdem soll sowohl $s + t > 0$ wie auch $s - t > 0$ sein.
- wahr
- falsch
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Diese Aussage ist richtig, denn:
$\log_{m} (s^{2} - t^{2})$
↓
Verwende die 3. binomische Formel
$=$ $\log_{m} ((s + t) (s - t))$
↓
Verwende $\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$
$=$ $\log_{m} (s + t) + \log_{m} (s - t)$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\log_{z} (\frac{1}{z^{3}})$
	↓ Verwende $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} u - \log_{b} v$
$=$	$\log_{z} 1 - \log_{z} z^{3}$
	↓ Da $z^{0} = 1$ ist $\log_{z} 1 = 0$
$=$	$0 - \log_{z} z^{3}$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$- 3 \log_{z} z$
	↓ Da $z^{1} = z$ ist $\log_{z} z = 1$
$=$	$- 3 \cdot 1$
$=$	$- 3$

	$\log_{b} (\frac{1}{b^{4}})$
	↓ Verwende $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} u - \log_{b} v$
$=$	$\log_{b} 1 - \log_{b} (b^{4})$
	↓ Da $b^{0} = 1$ ist $\log_{b} 1 = 0$
$=$	$0 - \log_{b} (b^{4})$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} (u)$
$=$	$- 4 \cdot \log_{b} b$
	↓ Da $b^{1} = b$ ist $\log_{b} b = 1$
$=$	$- 4 \cdot 1$

	$\log_{b} (2 b)$
	↓ Verwende $\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$
$=$	$\log_{b} 2 + \log_{b} b$
	↓ Es gilt $\log_{b} b = 1$ , denn $b^{1} = b$
$=$	$\log_{b} 2 + 1$
$\neq$	$2$

	$\log_{q} (q^{5})$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$5 \log_{q} q$
	↓ Da $q^{1} = q$ ist $\log_{q} q = 1$
$=$	$5 \cdot 1$
$=$	$5$

	$\log_{k} (u x + u)$
	↓ u ausklammern.
$=$	$\log_{k} (u \cdot (x + 1))$
	↓ Rechengesetz für Produkte anwenden
$=$	$\log_{k} (u) + \log_{k} (x + 1)$

	$\log_{a} (x^{2} y^{- 3})$
$=$	$\log_{a} (x^{2}) \cdot \log_{a} (y^{- 3})$
$=$	$2 \log_{a} x - 3 \log_{a} y$

	$\log_{b} (\frac{a b}{b^{2}})$
	↓ Kürze zunächst im Bruchterm
$=$	$\log_{b} (\frac{a}{b})$
	↓ Teile den Logarithmus mithilfe der Rechenregel $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} u - \log_{b} v$ auf
$=$	$\log_{b} a - \log_{b} b$
	↓ Da $b^{1} = b$ ist $\log_{b} b = 1$
$=$	$\log_{b} a - 1$

	$\log_{m} (s^{2} - t^{2})$
	↓ Verwende die 3. binomische Formel
$=$	$\log_{m} ((s + t) (s - t))$
	↓ Verwende $\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$
$=$	$\log_{m} (s + t) + \log_{m} (s - t)$

Widerlegen durch Gegenbeispiel

Widerlegen durch Umformung

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Widerlegen durch Gegenbeispiel

Was ist hier passiert?

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Widerlegen durch Gegenbeispiel

Widerlegen durch Anwendung der Logarithmusrechenregeln

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