Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

Entscheide jeweils, ob die Umformung allgemein gültig ist und begründe deine Entscheidung

$\log_b\left(2b\right)\stackrel{?}{=} 2$ für alle $b\in\mathbb{R}, b>0$

$\log_q\left(q^5\right)\stackrel{?}{=}5$ für $q\in\mathbb{R}, q>0$

$\log_z\left(\frac{1}{z^3}\right)\stackrel{?}{=}-3$ für $z\in \mathbb{R}, z>0$

$\log_k\left(ux+u\right)\stackrel{?}{=}\log_k\left(u\right)+\log_k\left(x+1\right)$ für $k,u,x\in \mathbb R, ~ k,u,x >0,$

$\log_a\left(x^2y^{-3}\right)\stackrel{?}{=}2\log_ax-3\log_ay$ für $a,x,y\in \mathbb R,~ a,x,y>0$

$\log_b\left(\frac{ab}{b^2}\right)=\log_b\left(a\right)-1$ für $a,b\in \R,~ a,b>0$

$\log_b\left(\frac{1}{b^4}\right)\stackrel{?}{=}4$ für $b\in \R, ~ b>0$

$\log_m\left(s^2-t^2\right)\stackrel{?}{=}\log_m\left(s+t\right)+\log_m\left(s-t\right)$ für $s,t,m\in \R, ~ m>0$

Außerdem soll sowohl $s+t>0$ wie auch $s-t>0$ sein.

	$\displaystyle \log_b\left(2b\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(uv\right)=\log_bu+\log_bv$
$=$	$\displaystyle \log_b2+\log_bb$
	↓ Es gilt $\log_bb=1$ , denn $b^1=b$
$=$	$\displaystyle \log_b2+1$
$≠$	$\displaystyle 2$

	$\displaystyle \log_q\left(q^5\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_bu$
$=$	$\displaystyle 5\log_qq$
	↓ Da $q^1=q$ ist $\log_qq=1$
$=$	$\displaystyle 5\cdot1$
$=$	$\displaystyle 5$

	$\displaystyle \log_z\left(\frac{1}{z^3}\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_bu-\log_bv$
$=$	$\displaystyle \log_z1-\log_zz^3$
	↓ Da $z^0=1$ ist $\log_z1=0$
$=$	$\displaystyle 0-\log_zz^3$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_bu$
$=$	$\displaystyle -3\log_zz$
	↓ Da $z^1=z$ ist $\log_zz=1$
$=$	$\displaystyle -3\cdot1$
$=$	$\displaystyle -3$

	$\displaystyle \log_k\left(ux+u\right)$
	↓ u ausklammern.
$=$	$\displaystyle \log_k\left(u\cdot\left(x+1\right)\right)$
	↓ Rechengesetz für Produkte anwenden
$=$	$\displaystyle \log_k\left(u\right)+\log_k\left(x+1\right)$

	$\displaystyle \log_a\left(x^2y^{-3}\right)$
$=$	$\displaystyle \log_a\left(x^2\right)\cdot\log_a\left(y^{-3}\right)$
$=$	$\displaystyle 2\log_ax-3\log_ay$

Hast du eine Frage oder Feedback?

	$\displaystyle \log_b\left(\frac{ab}{b^2}\right)$
	↓ Kürze zunächst im Bruchterm
$=$	$\displaystyle \log_b\left(\frac{a}{b}\right)$
	↓ Teile den Logarithmus mithilfe der Rechenregel $\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_bu-\log_bv$ auf
$=$	$\displaystyle \log_ba-\log_bb$
	↓ Da $b^1=b$ ist $\log_bb=1$
$=$	$\displaystyle \log_ba-1$

	$\displaystyle \log_b\left(\frac{1}{b^4}\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_bu-\log_bv$
$=$	$\displaystyle \log_b1-\log_b\left(b^4\right)$
	↓ Da $b^0=1$ ist $\log_b1=0$
$=$	$\displaystyle 0-\log_b\left(b^4\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right)$
$=$	$\displaystyle -4\cdot\log_bb$
	↓ Da $b^1=b$ ist $\log_bb=1$
$=$	$\displaystyle -4\cdot1$

	$\displaystyle \log_m\left(s^2-t^2\right)$
	↓ Verwende die 3. binomische Formel
$=$	$\displaystyle \log_m\left(\left(s+t\right)\left(s-t\right)\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(uv\right)=\log_bu+\log_bv$
$=$	$\displaystyle \log_m\left(s+t\right)+\log_m\left(s-t\right)$