Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

Hier lernst du, die Logarithmusgesetze anzuwenden und wiederholst wichtige Grundlagen zum Logarithmus.

1
Löse die folgenden Gleichungen jeweils nach $x$ auf.
1. $2^{x} = 8$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
  $2^{x}$ $=$ $8$ $\log_{2} ()$
  ↓
  Wende den Logarithmus mit Basis $2$ auf beiden Seiten an.
  $x$ $=$ $\log_{2} (8)$
  $x$ $=$ $3$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $7^{2 x} = 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
  $7^{2 x}$ $=$ $2$ $\log_{7} ()$
  ↓
  Wende den Logarithmus zur Basis $7$ an.
  $2 x$ $=$ $\log_{7} (2)$
  ↓
  Dividiere auf beiden Seiten durch 2.
  $x$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \log_{7} 2$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $10^{x^{2}} = 100$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
  $10^{x^{2}}$ $=$ $100$
  ↓
  Wende den Logarithmus zur Basis $10$ auf beiden Seiten an.
  $x^{2}$ $=$ $\log_{10} (100)$
  $x^{2}$ $=$ $2$
  ↓
  Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten.
  $x$ $=$ $\pm \sqrt{2}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2
Löse die Gleichungen, indem du sie zu einer Potenz oder einem Logarithmus umformst.
Schaffst du es, die Gleichungen zu lösen, ohne den Taschenrechner zu verwenden?
1. $3^{x} = 27$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Diese Aufgabe kannst du vermutlich direkt im Kopf lösen, denn du weißt, dass $3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27$ ist.
  Trotzdem schadet es zu Übungszwecken nicht, den Term umzuschreiben:
  $3^{x} = 27 \Leftrightarrow \log_{3} 27 = x \Leftrightarrow \log_{3} 3^{3} = x \Leftrightarrow 3 = x$
  Die Basis 3 der Exponentialfunktion wird zur Basis des Logarithmus. Der Taschenrechner liefert nach Eingabe des Logarithmus ebenfalls die vermutete Zahl 3.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $2^{x} = 1024$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Schreibe den Term zu einem Logarithmus um:
  $2^{x} = 1024 \Leftrightarrow \log_{2} 1024 = x$
  Entweder durch wiederholte Verdopplung der Zahl oder durch Eintippen in den Taschenrechner bekommst du dann:
  $\log_{2} 1024$ $=$ $x$
  $10$ $=$ $x$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $15^{x} = 225$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Diese Aufgabe kannst du vielleicht direkt im Kopf lösen, wenn du ein paar Quadratzahlen auswendig weißt, denn $15 \cdot 15 = 15^{2} = 225$
  Trotzdem schadet es zu Übungszecken nicht, den Term umzuschreiben:
  $15^{x} = 225 \Leftrightarrow \log_{15} 225 = x \Leftrightarrow 2 = x$
  Die Basis 15 der Exponentialfunktion wird zur Basis des Logarithmus. Der Taschenrechner liefert nach Eingabe des Logarithmus ebenfalls die vermutete Zahl 2.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. $3^{- x} = \frac{1}{9}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Forme zu einem Logarithmus um:
  $3^{- x} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow \log_{3} (\frac{1}{9}) = - x$
  Du kannst dir entweder überlegen, wie du mit der Basis 3 den Bruch $\frac{1}{3}$ und anschließend $\frac{1}{9}$ erzeugst, indem du den Einfluss negativer Exponenten bedenkst oder du tippst den Term in den Taschenrechner.
  $\log_{3} (\frac{1}{9})$ $=$ $- x$
  $- 2$ $=$ $- x$ $\cdot (- 1)$
  $2$ $=$ $x$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. $4^{x} = \frac{1}{256}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Forme zu einem Logarithmus um.
  $4^{x} = \frac{1}{256} \Leftrightarrow \log_{4} (\frac{1}{256}) = x$
  Du kannst dir entweder überlegen, wie du mit der Basis 4 den Bruch $\frac{1}{4}$ und anschließend $\frac{1}{256}$ erzeugst, indem du den Einfluss negativer Exponenten bedenkst oder du tippst den Term in den Taschenrechner.
  $\log_{4} (\frac{1}{256})$ $=$ $x$
  $- 4$ $=$ $x$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. $\log_{2} x = 3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Schreibe als Potenz:
  $\log_{2} x = 3 \Leftrightarrow 2^{3} = x \Leftrightarrow x = 8$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7. $\log_{5} x = 3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Schreibe als Potenz:
  $\log_{5} x = 3 \Leftrightarrow 5^{3} = x \Leftrightarrow 125 = x$
8. $\log_{10} x = 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Schreibe als Potenz:
  $\log_{10} x = 4 \Leftrightarrow 10^{4} = x \Leftrightarrow x = 10000$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
9. $\log_{10} x = - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  Schreibe als Potenz:
  $\log_{10} x = - 2 \Leftrightarrow 10^{- 2} = x \Leftrightarrow x = \frac{1}{100}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3
Gesucht ist die Basis $b$ .
1. $\log_{b} 2 = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
  $\log_{b} 2$ $=$ $0$
  ↓
  Wende den Logarithmus an.
  $b^{0}$ $=$ $2$
  Dies widerspricht den Umformungsregel für Potenzen.
  $\Rightarrow$ Unwahre Aussage da $x^{0} = 1$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $\log_{b} 5 = 0,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
  $\log_{b} 5$ $=$ $0,5$
  ↓
  Wende die Definition des Logarithmus an.
  $b^{0,5}$ $=$ $5$
  ↓
  Quadriere beide Seiten.
  ${(b^{0,5})}^{2}$ $=$ $5^{2}$
  ↓
  Verwende das Potenzgesetz ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ .
  $b^{0,5 \cdot 2}$ $=$ $25$
  $b$ $=$ $25$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $\log_{b} (\frac{1}{25}) = 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen
  $\log_{b} (\frac{1}{25})$ $=$ $2$
  ↓
  Wende den Logarithmus an.
  $b^{2}$ $=$ $\frac{1}{25}$
  ↓
  Ziehe die Wurzel. Beachte, dass die Basis $b$ positiv sein muss.
  $b$ $=$ $\frac{1}{5}$
  $b$ $=$ $0,2$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus und vereinfache diesen so weit wie möglich.

$\log_{k} (m^{4}) - 2 \log_{k} (m)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Ein mögliches Vorgehen ist:
$\log_{k} (m^{4}) - 2 \log_{k} (m)$
↓
Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$ $4 \log_{k} (m) - 2 \log_{k} m$
↓
Subtrahiere
$=$ $2 \log_{k} (m)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$2 \log_{a} (x + 1) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$

$2 \log (u) + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$

$(n + 1) \cdot \log (x) - \frac{1}{3} \cdot \log (x^{6 n})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Wende die Potenzregel des Logarithmus an.
$(n + 1) \cdot \log x - \frac{1}{3} \cdot \log (x^{6 n})$ $=$ $\log x^{n + 1} - \log x^{2 n}$
↓
Wende die Quotientenregel des Logarithmus an.
$=$ $\log \frac{x^{n + 1}}{x^{2 n}}$
↓
Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.
$=$ $\log x^{1 - n}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

$\log (ab) + \log (\frac{a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$

6
Herleitung der Rechenregeln zum Logarithmus
1. Das Logarithmusgesetz $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) + \log_{b} (v)$ kann mithilfe des Potenzgesetzes $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ und die Definition des Logarithmus $\log_{b} (a) = x \Leftrightarrow b^{x} = a$ bzw $\log_{b} (b) = 1$ bewiesen werden.
  Erkläre das Vorgehen des folgenden Beweises, indem du jede Markierung (Zahlen in Klammern) kurz beschreibst.
  Für $x, y \in ℝ$ sei $\log_{b} (u) = x$ und $\log_{b} (v) = y$ .
  Dann gilt ebenfalls $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$ (1)
  und somit
  $\log_{b} (u \cdot v)$
  ↓
  (2)
  $=$ $\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$
  ↓
  (3)
  $=$ $\log_{b} (b^{x + y})$
  ↓
  (4)
  $=$ $x + y$
  ↓
  (5)
  $=$ $\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$
  q.e.d.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit dem Logarithmus
  (1) $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$
  Hier wurde direkt die Definition des Logarithmus angewendet, also:
  $\log_{b} (u) = x \Leftrightarrow b^{x} = u$ und $\log_{b} (v) = y \Leftrightarrow b^{y} = v$
  (2) $\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$
  Es wurde die Definition von den Schritten darüber eingesetzt, also aus $u$ wurde $b^{x}$ , aus $v$ wird $b^{y}$ .
  (3) $\log_{b} (b^{x + y})$
  Es wurde im Argument des Logarithmus das Potenzgesetz angewendet: $b^{x} \cdot b^{y} = b^{x + y}$
  (4) $x + y$
  Da die Basis des Logarithmus und die Basis im Argument des Logarithmus übereinstimmen, kann der Logarithmus aufgelöst werden, denn $\log_{b} (b) = 1$ , da $b^{1} = b$ ist. Es wird quasi gefragt "Mit was muss ich die Basis b des Logarithmus potenzieren, um $b^{x + y}$ zu erzeugen?" Antwort: Mit $x + y$ !
  (5) $\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$
  In Schritt 1 wurde festgelegt, dass $\log_{b} (u) = x$ und $\log_{b} (v) = y$ . Diese Festlegung wurde hier erneut verwendet und die Variablen x und y ersetzt.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Beweise das Logarithmusgesetz $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} (u) - \log_{b} (v)$ analog zum oberen Beweis.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit dem Logarithmus
  Einführen neuer Variablen
  Setze $\log_{b} (u) = x$ und $\log_{b} (v) = y$ .
  Durch Umformen nach der Definition des Logarithmus gilt dann auch wieder
  $b^{x} = u$ und $b^{y} = v$ .
  Setze alle diese Definitionen in die zu zeigende Gleichung ein:
  $\log_{b} (\frac{u}{v})$
  $=$ $\log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}})$
  ↓
  Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$
  $=$ $\log_{b} (b^{x - y})$
  ↓
  (1)
  $=$ $x - y$
  ↓
  Ersetze $x = \log_{b} (u)$ und $y = \log_{b} (v)$
  $=$ $\log_{b} (u) - \log_{b} (v)$
  q.e.d
  (1) Eine ausführlichere Erklärung zum vorletzten Schritt findest du in der vorherigen Teilaufgabe!
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} (u)$ für $r \in ℕ$ unter Verwendung des Logarithmusgesetzes $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) + \log_{b} (v)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit dem Logarithmus
  Am Beispiel $r = 2$
  Für $r = 2$ kannst du das Logarithmusgesetz durch ausschreiben der Potenz direkt nachvollziehen:
  $\log_{b} (u^{2})$
  $=$ $\log_{b} (u \cdot u)$
  ↓
  Anwendung des Logarithmusgesetzes $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) \cdot \log_{b} (v)$
  $=$ $\log_{b} (u) \cdot \log_{b} (u)$
  $=$ $2 \cdot \log_{b} (u)$
  Verallgemeinern auf höhere Exponenten
  Für höhere Exponenten kann die Potenz ebenfalls als Produkt geschrieben werden:
  $l o g_{b} (u^{r}) = l o g_{b} (\underset{r Mal}{\underset{⏟}{u \cdot u \cdot . . . \cdot u}})$
  Jede dieser Faktoren im Produkt wird zu einem eigenen Logarithmus:
  $\underset{r Mal}{\underset{⏟}{l o g_{b} (u) + . . . + \log_{b} (u)}}$
  Anstatt den gleichen Summanden mehrmals zu schreiben, kann man verkürzt $r \cdot \log_{b} (u)$ schreiben.
  Insgesamt gilt also $l o g_{b} (u^{r}) = r \cdot l o g_{b} (u)$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Überlege dir erst mit einem kleinen Exponenten, warum das Gesetz gilt. Verallgemeinere anschließend
4. Beweise das Logarithmusrechengesetz $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} (u)$ unter Verwendung der Regeln der Potenzrechnung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  $\log_{b} (u)$ $=$ $x$
  ↓
  Definition des Logarithmus
  $b^{x}$ $=$ $u$
  ↓
  Nimm die $r$ -te Potenz
  ${(b^{x})}^{r}$ $=$ $u^{r}$
  ↓
  Potenzgesetz
  $b^{r \cdot x}$ $=$ $u^{r}$
  ↓
  Definition des Logarithmus
  $\log_{b} (u^{r})$ $=$ $r \cdot x$
  ↓
  $x$ wieder ersetzen
  $\log_{b} (u^{r})$ $=$ $r \cdot \log_{b} (x)$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Schreibe die Logarithmen in Potenzen um und verwende die Potenzgesetze.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\log_{b} (2 b)$
	↓ Verwende $\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$
$=$	$\log_{b} 2 + \log_{b} b$
	↓ Es gilt $\log_{b} b = 1$ , denn $b^{1} = b$
$=$	$\log_{b} 2 + 1$
$\neq$	$2$

	$\log_{z} (\frac{1}{z^{3}})$
	↓ Verwende $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} u - \log_{b} v$
$=$	$\log_{z} 1 - \log_{z} z^{3}$
	↓ Da $z^{0} = 1$ ist $\log_{z} 1 = 0$
$=$	$0 - \log_{z} z^{3}$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$- 3 \log_{z} z$
	↓ Da $z^{1} = z$ ist $\log_{z} z = 1$
$=$	$- 3 \cdot 1$
$=$	$- 3$

	$\log_{k} (u x + u)$
	↓ u ausklammern.
$=$	$\log_{k} (u \cdot (x + 1))$
	↓ Rechengesetz für Produkte anwenden
$=$	$\log_{k} (u) + \log_{k} (x + 1)$

	$\log_{a} (x^{2} y^{- 3})$
$=$	$\log_{a} (x^{2}) + \log_{a} (y^{- 3})$
$=$	$2 \log_{a} x - 3 \log_{a} y$

	$\log_{b} (\frac{a b}{b^{2}})$
	↓ Kürze zunächst im Bruchterm
$=$	$\log_{b} (\frac{a}{b})$
	↓ Teile den Logarithmus mithilfe der Rechenregel $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} u - \log_{b} v$ auf
$=$	$\log_{b} a - \log_{b} b$
	↓ Da $b^{1} = b$ ist $\log_{b} b = 1$
$=$	$\log_{b} a - 1$

$2^{x}$	$=$	$8$	$\log_{2} ()$
	↓	Wende den Logarithmus mit Basis $2$ auf beiden Seiten an.
$x$	$=$	$\log_{2} (8)$
$x$	$=$	$3$

$7^{2 x}$	$=$	$2$	$\log_{7} ()$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis $7$ an.
$2 x$	$=$	$\log_{7} (2)$
	↓	Dividiere auf beiden Seiten durch 2.
$x$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \log_{7} 2$

$10^{x^{2}}$	$=$	$100$
	↓	Wende den Logarithmus zur Basis $10$ auf beiden Seiten an.
$x^{2}$	$=$	$\log_{10} (100)$
$x^{2}$	$=$	$2$
	↓	Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten.
$x$	$=$	$\pm \sqrt{2}$

$\log_{3} (\frac{1}{9})$	$=$	$- x$
$- 2$	$=$	$- x$	$\cdot (- 1)$
$2$	$=$	$x$

$\log_{b} 5$	$=$	$0,5$
	↓	Wende die Definition des Logarithmus an.
$b^{0,5}$	$=$	$5$
	↓	Quadriere beide Seiten.
${(b^{0,5})}^{2}$	$=$	$5^{2}$
	↓	Verwende das Potenzgesetz ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ .
$b^{0,5 \cdot 2}$	$=$	$25$
$b$	$=$	$25$

$\log_{b} (\frac{1}{25})$	$=$	$2$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$b^{2}$	$=$	$\frac{1}{25}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass die Basis $b$ positiv sein muss.
$b$	$=$	$\frac{1}{5}$
$b$	$=$	$0,2$

	$\log_{q} (q^{5})$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$5 \log_{q} q$
	↓ Da $q^{1} = q$ ist $\log_{q} q = 1$
$=$	$5 \cdot 1$
$=$	$5$

	$\log_{b} (\frac{1}{b^{4}})$
	↓ Verwende $\log_{b} (\frac{u}{v}) = \log_{b} u - \log_{b} v$
$=$	$\log_{b} 1 - \log_{b} (b^{4})$
	↓ Da $b^{0} = 1$ ist $\log_{b} 1 = 0$
$=$	$0 - \log_{b} (b^{4})$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} (u)$
$=$	$- 4 \cdot \log_{b} b$
	↓ Da $b^{1} = b$ ist $\log_{b} b = 1$
$=$	$- 4 \cdot 1$

	$\log_{m} (s^{2} - t^{2})$
	↓ Verwende die 3. binomische Formel
$=$	$\log_{m} ((s + t) (s - t))$
	↓ Verwende $\log_{b} (u v) = \log_{b} u + \log_{b} v$
$=$	$\log_{m} (s + t) + \log_{m} (s - t)$

	$\log_{k} (m^{4}) - 2 \log_{k} (m)$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$4 \log_{k} (m) - 2 \log_{k} m$
	↓ Subtrahiere
$=$	$2 \log_{k} (m)$

	$2 \log_{a} (x + 1) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$\log_{a} ({(x + 1)}^{2}) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Verwende $\log_{b} u + \log_{b} v = \log_{b} (u \cdot v)$
$=$	$\log_{a} ({(x + 1)}^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Schreibe als einen Bruch und wende die 3. binomische Formel an
$=$	$\log_{a} (\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)})$
	↓ Kürze
$=$	$\log_{a} (\frac{x + 1}{x - 1})$

$2 \log u + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$
	↓	Wende die Produktregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} [\log ((u + v) \cdot (u - v))]$
	↓	Wende die 3. Binomische Formel an.
	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} \log (u^{2} - v^{2})$
	↓	Wende die Potenzregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log u^{2} + \log (u^{2} - v^{2})^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ an.
	$=$	$\log u^{2} + \log (\sqrt{u^{2} - v^{2}})$
	↓	Wende die Produktregel für Logarithmus an und fasse somit beide Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.
	$=$	$\log (u^{2} \sqrt{u^{2} - v^{2}})$

$(n + 1) \cdot \log x - \frac{1}{3} \cdot \log (x^{6 n})$	$=$	$\log x^{n + 1} - \log x^{2 n}$
	↓	Wende die Quotientenregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log \frac{x^{n + 1}}{x^{2 n}}$
	↓	Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.
	$=$	$\log x^{1 - n}$

$\log (ab) + \log (\frac{a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$	$=$	$\log (\frac{a \cdot b \cdot a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$
	↓	Kürze den Logarithmus und ziehe das Quadrat in die Klammer.
	$=$	$\log a^{2} - \log (a^{2} b^{2})$
	↓	Wende die Quotientregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log \frac{a^{2}}{a^{2} b^{2}}$
	↓	Kürze den Logarithmus.
	$=$	$\log \frac{1}{b^{2}}$

	$\log_{b} (u \cdot v)$
	↓ (2)
$=$	$\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$
	↓ (3)
$=$	$\log_{b} (b^{x + y})$
	↓ (4)
$=$	$x + y$
	↓ (5)
$=$	$\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$

	$\log_{b} (\frac{u}{v})$
$=$	$\log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}})$
	↓ Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$
$=$	$\log_{b} (b^{x - y})$
	↓ (1)
$=$	$x - y$
	↓ Ersetze $x = \log_{b} (u)$ und $y = \log_{b} (v)$
$=$	$\log_{b} (u) - \log_{b} (v)$

	$\log_{b} (u^{2})$
$=$	$\log_{b} (u \cdot u)$
	↓ Anwendung des Logarithmusgesetzes $\log_{b} (u \cdot v) = \log_{b} (u) \cdot \log_{b} (v)$
$=$	$\log_{b} (u) \cdot \log_{b} (u)$
$=$	$2 \cdot \log_{b} (u)$

$\log_{b} (u)$	$=$	$x$
	↓	Definition des Logarithmus
$b^{x}$	$=$	$u$
	↓	Nimm die $r$ -te Potenz
${(b^{x})}^{r}$	$=$	$u^{r}$
	↓	Potenzgesetz
$b^{r \cdot x}$	$=$	$u^{r}$
	↓	Definition des Logarithmus
$\log_{b} (u^{r})$	$=$	$r \cdot x$
	↓	$x$ wieder ersetzen
$\log_{b} (u^{r})$	$=$	$r \cdot \log_{b} (x)$

Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Diese Aufgabe kannst du vermutlich direkt im Kopf lösen, denn du weißt, dass 3⋅9=3⋅3⋅3=33=27 ist.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Diese Aufgabe kannst du vielleicht direkt im Kopf lösen, wenn du ein paar Quadratzahlen auswendig weißt, denn 15⋅15=152=225

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Widerlegen durch Gegenbeispiel

Widerlegen durch Umformung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Widerlegen durch Gegenbeispiel

Was ist hier passiert?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Widerlegen durch Gegenbeispiel

Widerlegen durch Anwendung der Logarithmusrechenregeln

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

(1) u=bx und v=by

(2) logb⁡(bx⋅by)

(3) logb⁡(bx+y)

(4) x+y

(5) logb⁡(u)+logb⁡(v)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Einführen neuer Variablen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Am Beispiel r=2

Verallgemeinern auf höhere Exponenten

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Diese Aufgabe kannst du vermutlich direkt im Kopf lösen, denn du weißt, dass $3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27$ ist.

Diese Aufgabe kannst du vielleicht direkt im Kopf lösen, wenn du ein paar Quadratzahlen auswendig weißt, denn $15 \cdot 15 = 15^{2} = 225$

(1) $u = b^{x}$ und $v = b^{y}$

(2) $\log_{b} (b^{x} \cdot b^{y})$

(3) $\log_{b} (b^{x + y})$

(4) $x + y$

(5) $\log_{b} (u) + \log_{b} (v)$

Am Beispiel $r = 2$